2024-2025学年福建省部分达标学校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省部分达标学校高二(上)期中

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.直线2避x-2y+3=。在K轴上的截距为()

A晅B-晅C-D--

a2•2°，2-2

T1TT7T

2.已知数列｛an｝满足an=sinCy+目)，其前几项和为Sn,贝(IS2025=()

C

a--4B--I.|D-段

3.已知直线/过点P(l,避)，Q(2,m),若/的倾斜角的取值范围是［30。,60。］,则根的取值范围是()

A咯堂B.［宇2响C.唱2的D.［手两

4.已知等差数列｛册｝的前几项和为外,的+劭=55,贝心16=()

A.880B.220C.110D.440

5.已知圆C：%2+y2—8%+4y+16=0的圆心为C,。为坐标原点，则以。C为直径的圆的方程为()

A.(x-2)2+(y+I)2=25B.(%+2)2+(y-l)2=5

C.(x-2)2+(y+1)2=5D.(%+2)2+(y-l)2=25

6.已知圆4%2+(y—3)2=1与圆B关于直线y=%对称，则圆8的方程为()

A.%2+y2=1B.(%—3)2+(y-3)2=1

C.x2+(y+3)2=1D,(X—3)2+y2=1

7.记等比数列5｝的前几项和为S”若软=5则符=()

.2c67„65「4

A-9B.痛C.痴D.g

8.已知圆C：(久+1)2+0—2)2=2,直线I：3x—4y—14=0,M为圆C上一动点.N为直线上一动点，定点

P(l,-2),则|MN|+|PN|的最小值为()

A.A/2B.2"C.3避D.4^/2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知等比数列｛%｝的首项为1,公比不为1,若。3,。2,成等差数列,则()

A.的公比为一3B.｛即｝的公比为—2

C.｛册｝的前10项和为—341D.a7,a5,口6成等差数列

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10.已知直线，i：mx-y-2m=0^12：2%-(血-1)丫-6=0,八过定点P,则下列说法正确的是()

A.am=-1”是“卬”的必要不充分条件B.'%1%”的充要条件是“m=”

C.点P的坐标为(2,0)D.点尸到直线%的距离的最大值为1

11.在平面直角坐标系xOy中，△48。的顶点4(一1,0),5(2,0),且sin/CBA=2sinNC4B,记ATIBC的顶点

C的轨迹为E,则下列说法正确的是()

A.轨迹E的方程为(%-3)2+y2=4

B.△ABC面积的最大值为3

C.4C边上的高的最大值为呼

D.若△ABC为直角三角形，则直线BC被轨迹E截得的弦长的最大值为粤

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋数学家沈括首创的“隙积术”就是关于

高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层

比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为即，则。200=

13.若点(1,3)在圆/+y2一ax-2ay+5a=0的外部，则正实数a的取值范围是.

14.若等差数列｛a“｝满足由7+的8+。19<0,«17+«20>0>则当n=时，｛斯｝的前几项和最小.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知点M(—2,3),N(4,—3).

(1)求直线MN的一般式方程；

(2)求以线段MN为直径的圆的标准方程；

(3)求(2)中的圆在点P(4,3)处的切线方程.

16.(本小题15分)

111

己知数列｛即｝满足ai=1,a=-,a^a+3aa-4a^a=0(n>2,neN).记既=9-

24nnnn+1nn+1an+lan

(1)证明：数列｛%｝是等比数列.

(2)求｛4｝的通项公式.

17.(本小题15分)

已知圆C：+入+y2+2y=34+84(4为常数).

(1)当4=2时，求直线4x-3y-4=0被圆C截得的弦长.

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(2)证明：圆C经过两个定点.

(3)设圆C经过的两个定点为P,Q,若"(4,12-4),且|PM|=\QM\,求圆C的标准方程.

18.(本小题17分)

在递增的等差数列｛&J中，a3a8=250,a5+a6=35.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛an•2即｝的前几项和7n.

19.(本小题17分)

已知圆C：x2+y2=r2(r>0),点QOo，yo)(x()yo70)在圆C上，点D,G在x轴上，且关于y轴对称.

111

(1)圆C在点Q处的切线的斜率为七，直线QD,QG的斜率分别为卜2,k3,证明：而(瓦+瓦)为定值.

(2)过点Q作QE1x轴，垂足为E,4(0,r),点。满足4D1AE.

①直线2D与圆C的另一个交点为F,且尸为线段4D的中点，|4E|=警，求r；

②证明：直线QG与圆C相切.

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参考答案

LB

2.C

3.B

4.D

5.C

6.D

7.B

8.C

9.BCD

10.BC。

11.SO

12,20300

13.(4,5)

14.18

15.解：⑴因为M(-2,3),N(4,—3),

所以直线MN的斜率为荐ly=-1,

则直线MN的方程为y—3=-(x+2),

即％+y—1=0；

(2)由题意可知圆心C为线段MN的中点，即C(LO),

半径r=等=必三笋王受=3#,

故所求圆的标准方程为。-1)2+y2=18;

(3)直线CP的斜率为管=1,则所求切线的斜率为-1,

故所求的切线方程为y-3=-(%-4),

即％+y—7=0.

16.解：⑴证明：=1,a2=-,即_逆„+3&„厮+1-4。计1斯+1=0(?i22,几eN),

134

两边同时除以即-1。九%+1，可得不二+「/一F=o，

un+lun—lun

所以含£=36—/)，而“=士一0

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所以勾=3b7,

所以｛,｝是首项为4-1=3,公比为3的等比数列；

11

(2)由(1)知％=工二一瓦=3力

所以工一二=3,-=32,---=33,...,---=371-1,

«2«i0-3a2'a4a3anan—i

累加可得42=3+32+33+.•.+3-1=丝芋=耍，

anal1—3乙

nn

4TZB1y,3-33-l

因为01=1,-可得丁=Id--厂=「厂，

un乙Z

2

所以an—3九

17.(1)解：当4=2时，圆C：(%+l)2+(y+l)2=52,

可得圆C的圆心为C(—1,—1),半径R==2

则圆心C(—1,—1)到直线4x—3y—4=0的距离d=匕4乜=1,

所以直线4支-3y-4=。被圆C截得的弦长为2年二不=2J(2J13)2_12=2寻;

(2)证明：由%2+丘+y2+Ay=34+8/1,得%2+丫2-34+%(%+y—8)=0,

令汽+y—8=0,因为4为常数，

所以得%2+y2-34=0,

(x+y-8=0

™(%2+y2-34=0J

解得修片或修片,

所以圆C经过两个定点，且这两个定点的坐标为(3,5),(5,3)；

(3)解：(方法一)设PQ的中点为N,

不妨设P(3,5),Q(5,3),则点N的坐标为(4,4),

因为|PM|=\QM\,所以MN1PQ,

所以丽•所=0,

即(4一尢4一(12-;I)).(2,-2)=0,

即2(4—/1)_2(/1_8)=0,

解得％=6,

所以圆C的标准方程为Q+3)2+(y+3)2=100.

(方法二)不妨设P(3,5),Q(5,3),因为|PM|=|QM|,

2

可得|PM『=\QM\,

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22

即(4—5)2+(12-2-3)=(2-3)+(12—4—5)2,

解得4=6,

所以圆C的标准方程为。+3)2+(y+3)2=100.

18.解：(1)设｛斯｝的公差为d(d>0),

由题意可得｛温笃；朗，解得｛霭弹

所以d=他5即=3,所以an=CI3+(n-3)d=3n+1.

3n+1n

(2)由(1)可得an•2)=(3n+1)-2=(6n+2)-8,

231n

则7n=8X81+14x8+20x8+…+(6n-4)-8"-+(6n+2)•8①，

234nn

87n=8x8+14x8+20x8+■■■+(6n-4)-8+(6n+2)•8+1②,

①一②得一7〃=64+6X(82+83+…+8n)-(6n+2)-8n+1=8-8n+1,

则%=丹/守+1端.

19.(1)证明：点D,G在x轴上，且关于y轴对称.

设D(—1,0)，G(t,0).七=含・

记坐标原点为。，直线OQ的斜率为即fci=-g.

状+专)=一亲呼+若)=-2.

综上，*(*+专)为定值，定值为—2.

(2)①解：圆C：/+丫2=产&>o),点。(^，打乂曲出力。)在圆。上，点。，G在无轴上，过点Q作QE1比

轴，垂足为E,4(0,r),点。满足2D1AE.

在△04。中，4。为斜边，。F为斜边上的中线，\AD\=2|OF|=2r.

又=r,\OD\=，|明2-10*2