2024-2025学年河南省百师联盟高二年级上册10月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年河南省百师联盟高二上学期10月联考数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设直线Z：2比+4y+3=。的倾斜角为a,则cosa的值为

A更B-£C2非D，非

入5匕5。5口5

2.已知直线人的方向向量为可=(k1),直线%的方向向量为何=(2-匕£),若。〃以则卜=

A.-2B.1C.-2或1D.0或2

3.在四面体04BC中，OA=a,OB=b,OC=c,OM=^A,JN=ABC(Z>0),若加=-五+货+2

c,则;I=

A.B.C.1■D.7

4.若｛无，变，无｝是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量五，存在唯一的有序实数组Q,y,z),使得之=x

互+ye^+z百，我们把有序实数组(x,y,z)叫做基底｛耳幅看｝下向量方的斜坐标.设向量力在基底｛3旅｝下的

斜坐标为(-1,2,3),则向量方在基底值-3+防-蕨+Z｝下的斜坐标为

A.(2,—4,-1)B.(—2,—4,1)C.(—2,4,1)D.(2,—4,1)

5.平行六面体ABCD—41B1C1E4的底面4BCD是矩形，其中力。=2,AB=4,且NAIAD=^ArAB=60°,

A4i=4,M为&Ci，Bi%的交点，则线段BM的长为

A.V15B.4C.严D.3”

6.已知从点(3,3)发出的一束光线，经过直线2久-y+2=0反射，反射光线恰好过点(4,0),则反射光线所在

的直线方程为

A.3%+y—12=0B.3%+7y—12=0

C.%+y-4=0D.%=4

7.圆C：(%—l)2+y2=i与圆。：％2+旷2-2汽+8、+8=0的公切线的条数为

A.0B.1C.2D.3

8.已知圆C：(%+2)2+y2=4,直线/：(m+l)x+4y—1+m=0(me/?),则

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A.直线Z恒过定点(-1,1)

B,直线I与圆C有两个交点

C.当爪=1时，圆C上恰有两个点到直线1的距离等于1

D.过直线的勺平行线3久+4y-7M=0上一动点P作圆C的一条切线，切点为4则|P41m讥=4

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知空间向量Z=(1,2,3),2a+b=(0,3,7),c-(2,m,6),且勿",则下列说法正确的是()

A.\b\=^/6B.m=4

C.(2b+c)1aD.cos(b,c)=

10.下列说法中错误的是

A.任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率

B,若一条直线的斜率为1,则该直线的倾斜角为苧

C.直线的斜率越大，倾斜角越大

D.设4(—1,4),5(1,3)，若直线I：a久+y+1=0与线段4B有交点，贝必的取值范围是(—8,—5]U[4,+8)

11.如图，在正三棱柱28。一4再也1中，E,F分别为BC,4C1的中点，AC=2,则下列说法正确的是

A.若异面直线力F和BC所成的角的余弦值为，，贝=2避

B.若441=后则点C到平面4EF的距离为甯

C.存在441，使得BC1EF

D.若三棱柱力BC-4iBiCi存在内切球，贝|441=早

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在空间直角坐标系中，点4(0,2,2),点B(5,-4,6),点C(2,1,1),则荏在不方向上的投影向量的坐标为

13.已知实数%,y满足%-3y+7=0,且一1<%<2,则号的最小值为

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14.已知圆Cl：0-1)2+0—2)2=12和圆G：炉+丫2+6%+2y—6=。交于两点，点P在圆Cl上运动，点Q

在圆。2上运动，则下列说法正确的是.

①点C］和点。2关于直线8久+6y—l=0对称；

②圆C1和圆C2的公共弦长为等；

③|PQ|的取值范围为［0,5+2避］;

④若M为直线x—y+8=0上的动点，则|PM|+|MQ|的最小值为/丽—2，^—4.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知△ABC的顶点2(6,-2),顶点C在x轴上，4B边上的高所在的直线方程为尤+2y-2=0,4C边上的中

线所在的直线方程为x-y+m=0.

(1)求直线AB的方程；

(2)求m的值.

16.(本小题12分)

如图，在六棱柱力BCDEF—AiBiCiDiEiFi中，底面力BCDEF是正六边形，设同=五AF=b,京=".

(1)用五,b,工分别表示4。,AEr.

(2)若COSNBAAI=COSNF/MI="，AB-2,AA1=5,求：

(i)力修,21。；

(ii)Kl.

17.(本小题12分)

已知点P(2,2),圆C：(x-3)2+(y—l)2=9.

(1)求圆C过点P的最长弦、最短弦所在的直线方程；

(2)若圆C与直线x-y+a=0相交于4B两点，。为坐标原点，且。410B,求a的值.

18.(本小题12分)

如图，已知四棱锥P—4BCD的底面4BCD是正方形，侧面PCD1底面4BCD,△PCD是以CD为底边的等腰

三角形，点E,G分别是DC,DP的中点，点F在棱力B上且BF

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(1)求证：FG〃平面BPE；

(2)若4B=6,cos乙PDC=f,求直线FG与平面PBC所成的角的正弦值.

19.(本小题12分)

如图，在平行六面体ABCD—AiBiCiDi中，D£)i_L平面力BCD,AD=2,DC=4,D%=23DCrLDr

B.

(1)求证：DA1DB；

(2)求三棱锥C-&CiD的体积；

(3)线段QDi上是否存在点E,使得平面EBD与平面力BBMi的夹角的余弦值为呼？若存在，求。止的长;

若不存在，请说明理由.

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参考答案

1.D

2.C

3.X

4.D

5.C

6.C

7.0

8.B

9.ABD

1Q.BCD

11.AB

12.(4,—2,—2)

13.-3

14.②④

15.解：(1)设AB边上的高为CE,

•••CELAB,且直线CE的方程为x+2y-2=0,故斜率为一］,

直线AB的斜率为2,•••4(6,—2),

直线AB的方程为y+2=2(久—6),即2x-y-14=0；

(2)因为顶点C在式轴上，设C(t,0),。为AC的中点，则1),

因为点C在的直线x+2y—2=0上，所以t—2=0,解得t=2,即C(2,0),D(4,-l)

又点。在的直线％-y+m=0上，故4+l+zn=0,解得zn=-5,所以zn的值为一5

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16.解：（1）如图,连接4D,

因为六边形48CDEF是正六边形，所以同+屈=河，则而=2之+2另

所以41。=AD—AAx=2a+2b—c,

--->>>--->>>>—>—>—>—>—>—>

AEr=AD+DE+EE1=AD—AB+AA1=2a+2b—a+c=a+25+c；

⑵因为六边形4BCDEF是正六边形，所以NB4F=等

1

又COSNB44I=coszJS/i=『AB=2,AA^=5,

所以|a|=2,⑻=2,|c|=5,a-b=\a\\b\cos—=-2,a-c=b'c=\a\\c\x-=2.

--->>—>—>—>—>—>—>

(^i)A^C,A^D=(2a+b-c),(2a+2b—c)

>2>2^^2>>>—>

=4a+2b+c+6a-b—3b•c—4a•c

=16+8+25-12-6-8=23.

(ii)因为AEi=AD+DE+EE1=AD—AB+AA1=2a+2b—a+c=a+2b+c,

所以I福I=^+2b+cy=^+4f+c2+4a-b+4b-c+2a-c

=^4+16+25-8+8+4=7.

17.解：(1)由题知，点P在圆C内，所以过点P的最长弦所在的直线就是圆心C与点P的连线所在的直线,

因为圆心C(3,l),P(2,2),

所以最长弦所在直线的方程为汽=尸|,BPx+y-4=0,

过点P的最短弦和圆心c与点P的连线垂直，

因为圆心c(3,l),P(2,2),所以最短弦所在直线的斜率k=—在=—写=1,

所以过点P的最短弦所在直线的方程为y—2=x—2,即x—y=0；

⑵由惬?3篙祗I)'=%消去旷得(久一3)2+(久+a-1)2=9,

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化简得2/+(2a—8)x+(a—1)2=0,

因为圆C与直线x-y+a=0交于2,B两点，

所以/=(2a—8)2—8(a—l)2>0,即a2+4a—14<0,

解得-2-<a<—2+3A/2,

(a1)2

设B(%2,y2)，则Xi+-2=—a+4,%i%2=~»

因为。力1OB,所以市•南=0,即+丫，2=°，

222g2

由=x^+2得力及=(%i+a)(%2+a)=%i%2+a(x1+x2)+a=^y^-a+4a+a=++1

从而若上+生土啜^=9+1)2=0,解得a=—1.

18.解：(1)如图，取PE的中点“，连接GH,BH,

因为点G是DP的中点，所以GH〃DE,且GH-|DE.

在正方形ABC。中，点E是CD的中点，BF=^AF,

所以BF=^AB=^DE,5.BF//DE,

所以G”〃BF,且G”=BF,

所以四边形BHGF是平行四边形，所以GF〃BH.

又GFC平面BPE,BHu平面BPE,

所以FG〃平面BPE.

(2)解：由题意知PC=PD,点E是DC的中点，所以PE1CD.

因为CD=AB=6,cos乙PDC=黑=1££=京='|,

rupDPD5

所以PD=5,所以PE=闻七万声=声孕=4.

又侧面PCD1底面ABCD,侧面PCDCl底面ABCD=CD,PEu平面PCD,

所以PE1平面48CD.

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如图，以点E为坐标原点，过点E且平行于40的直线为无轴，直线EC,EP分别为y轴和z轴建立空间直角坐

标系，

则E(0,0,0),P(0,0,4),F您,0),£>(0-3,0),B(6,3,0),C(0,3,0),

所以G(0,—1,2),所以而=(—6,—3,2),BP=(-6-3,4).近=(—6,0,0).

设五=是平面PBC的一个法向量，

(n-BC=-6x=0,

“[n-BP=-6x—3y+4z=0,

取z=3,得％=0,y=4,所以元=(0,4,3),

所以cos<n,前>=?吧="::：：+j=一蔡.

\n\\FG\5x，36+9+435

设直线FG与平面PBC所成的角为仇

贝！JsinO=|cos<n,FG>|=I-£l=蔡，

所以直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为之.

19.解：(1)因为DDi_L平面4BCD,ZMu平面ABCD,

所以。。1_1,。力，所以西•万1=0,

因为DQ1D1B,所以西•37=0,

又因为西=反+西，~D^B=~DB-DD[=DA+~DC-DD1,

所以(反+西)•(瓦1+反一西)=0,化简得52•反=-4,

-->--->--->--->-->--->2---»--»

所以。A-DB^DA-(DA+DC)=DA+DA-DC=4-4=0,

所以D41DB;

(2)因为DC=2DA=4,由(1)知乙ADB=90°,所以AADC=120°,

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过点4作AH，CD于H,

则AH=AD-sin60°=避.

由DDiJ.平面4BCD,u平面*小£),

可得平面CCiDi。1平面4BCD,

又平面“以1。n平面力BCD=DC,AHu平面ABC。，

所以4”1平面CCiDiD,

因为44,/CCi，441c平面CCi%。，CQu平面CCiDi。，

所以441〃平面CCiDiD,

则点心到平面CCiDi。的距离等于点4到平面CCiDi。的距离，为AH,

所以Vc-A1C1D=VA1-CC1D=CC1D-AH=|x(|xDCxCQ)xAH

=|x1x4x2^/3X避=4；

(3)假设存在点E满足条件，

因为1平面4BGD,DA1DB,

所以以。为原点，建立空间直角坐标系。-孙