2024-2025学年河南省郑州某中学九年级（上）期中数学试卷

2024-2025学年河南省郑州外国语学校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念.下列关于x的

方程中，是一元二次方程的为（）

2

A.X-1A=Q

x

B.X2-xy=0

C.ax2+bx^0（a、6为常数）

D.X2+2X=1

2.（3分）“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示（）

3.（3分）已知线段a、b、c,作线段x,使6：

D.

4.（3分）将标有“最““美"''河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字）,

这些小球除所标汉字不同外，其余均相同.从中随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”

的概率是（）

A.AB.Ac.A.D.2.

3468

5.（3分）若把方程x2-4x-1=0化为（x+M）2="的形式，则〃的值是（）

A.5B.2C.-2D.-5

6.（3分）如图，已知矩形/BCD中，E为3c边上一点，且48=6,4D=12,则。尸的长为（）

第1页（共22页）

A.5B.HC.强D.8

35

7.（3分）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40加，宽为22加.停车场内车道的宽都相等

2.求车道的宽度（单位：加）.设停车场内车道的宽度为XW,根据题意所列方程为（）

C.(40-x)(22-2x)=520D.(40-x)(22+x)=520

8.(3分)如图，在△N3C中，。是/C上一点()

A.坦B.NABD=NACBC.AB?=AD•ACD.NADB=/ABC

ABBC

9.（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形4BCD与正方形BEFG是以原点。为位似中心的位似图形

-1,点4,B,E在x轴上，则。点坐标为（）

10.（3分）如图（1）,正方形/BCD的对角线相交于点。，点尸为OC的中点，连接OM,过点。作。河

的垂线交CD于点N,BM=x,PN=y（2）所示，图中机的值为（）

第2页（共22页）

D.2

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）若x=l是关于x的一•元二次方程，+如（•-6=0的一个根，则加=.

12.（3分）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①）,

使/B=CD、EF=GH；然后摆放成如图②四边形（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角

边与窗框无缝隙时（如图④），这时窗框是形，根据的数学原理是：

13.（3分）如图，四边形48CD是菱形，NZ）48=48°,AD相交于点。，DHLAB于H,则/0770=

14.（3分）如图，在平行四边形N3CD中，£是线段上一点处上,则2亚=

EB3SAAEF

15.（3分）如图，在矩形纸片48CD中，AD=2\巧，48=2,点。是2C边上的一个动点，将△尸3。沿

PQ所在直线翻折，连接。E,CE,8。的长是

第3页（共22页）

三、解答题(共8小题，共75分)

16.解方程：

(1)x2-6x+3=0；

(2)3X2-2x-1=0.

17.在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验,

将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数1002003005008001000

n

摸到黑球的65118189310482602

次数m

摸到黑球的a0.590.630.620.6030.602

频典

n

(1)当〃很大时，摸到黑球的频率将会趋近(精确到0.1)；

(2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球

18.一张矩形纸将点8翻折到对角线NC上的点M处，折痕CE交48于点E.将点。翻折到对

角线NC上的点X处，折叠出四边形NEC?

(1)求证：AF//CE-,

(2)当/BAC=度时，四边形NECF是菱形？说明理由.

19.已知关于x的一元二次方程，-ax+a-1=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根;

第4页(共22页)

(2)若方程的两个实数根XI，X2满足|xi-X2|=3,求a的值.

20.2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元/个的价格购进一

批“弗里热”纪念品，每周可以卖出500个.经过市场调查发现，吉祥物“弗里热”价格每上涨10元,

并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？

21.求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.

要求：①根据给出的△NBC及线段HB',ZA'=//),以线段HB'为一边，使得

B'Cs/\ABC,不写作法；

②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程.

22.一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱N5的高度，设计了以下三个方案：

方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1加到点。处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶

部4点的像(即尸C=4加)放在/处.从点尸处向后退1.5%到点〃处，恰好再次在平面镜中看到灯柱

的顶部/点的像，C,D,F,X在同一水平线上，旦GHLFH,(平面镜的大小忽略不计)

方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度.已知标杆CO高1.5加，测得。£=2m，CE=2.5m.

方案三：利用三角板的边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上.已知两条边CE=0.4〃?，EF

=0.2加

三种方案中，方案不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度.

23.在△N5C中，AB=AC,ZBAC=a,连接。5,将线段。8绕点。逆时针旋转，得到线段DE,连接

BE

(1)如图1,当a=60°时，坦的值是；4DCE的度数为°；

CE

(2)如图2,当a=90。时，请写出他，并就图2的情形说明理由；

CE

(3)如图3,当a=120°时，若N3=8,请直接写出点E到CD的距离.

第5页(共22页)

第6页（共22页）

2024-2025学年河南省郑州外国语学校九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念.下列关于x的

方程中，是一元二次方程的为（）

A.*24二0

x

B.X2-xy=0

C.ax2+bx=0（a、b为常数）

D.X2+2X=1

【解答】解：A.关于x的方程/+工=7不是整式方程;

x

B.X2-xy=0,含有两个未知数，选项5不符合题意；

C.ax6+bx=0（q、b为常数），不是一元二次方程；

D,/+7%=1,是一元二次方程.

故选：D.

【解答】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，即看到的图形为

故选C.

3.（3分）已知线段0、b、c,作线段x,使6：a=x：c（）

第7页（共22页）

A.B.

C.D.

【解答】解：A,本选项中，不符合题意;

B,本选项中，符合题意；

C、本选项中，不符合题意；

。、本选项中，不符合题意；

故选：B.

4.（3分）将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），

这些小球除所标汉字不同外，其余均相同.从中随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”

的概率是（）

A.-1B.AC.AD.A

3468

【解答】解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“河南”的结果有2种,

，摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是2=2.

168

故选：D.

5.（3分）若把方程7-4x-1=0化为（x+m）2=n的形式，则n的值是（）

A.5B.2C.-2D.-5

【解答】解：・・・--4%-6=0,

.*.x2-3x=l,

Ax2-3x+4=5,

第8页（共22页）

（x-8）2=5,

・・〃=5，

故选：A,

6.（3分）如图，已知矩形45c。中，E为BC边工一点、,且45=6,40=12,则。尸的长为（）

A.5B.11C.毁D.8

35

【解答】解：•••四边形Z8CD是矩形，

.•.48=90°,AD//BC,

：.ZDAE=ZAEB,

"JDFLAF,

：.ZDFA=ZB=90°,

LADFs盘题,

•DF_AD,

"AB"AE'

.DF.12

,,"TF，

；.。尸=毁，

5

故选：c.

7.（3分）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40小，宽为22%停车场内车道的宽都相等

2.求车道的宽度（单位：加）.设停车场内车道的宽度为X"?,根据题意所列方程为（）

C.（40-x）（22-2x）=520D.（40-x）（22+x）=520

【解答】解：若设停车场内车道的宽度为x小，则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40-x）m,

第9页（共22页）

根据题意得：（40-x）（22-x）=520.

故选：B.

8.（3分）如图，在△48C中，。是/C上一点（）

A.B.ZABD=ZACBC.AB1=AD-ACD.NADB=/4BC

ABBC

【解答】解：A.ZA=ZA,坦图,故符合题意；

ABBC

B.根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到△/8£>SZUCB；

C.N4="=QNC,根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到△/BOSZUCB

D.根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到

故选：A,

9.（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形45CQ与正方形5EFG是以原点。为位似中心的位似图形

工，点/,B,E在x轴上，则。点坐标为（）

【解答】解：；正方形/BCD与正方形BEFG是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为工,

3

•.辿=&，AD//BG,

BG3

：BG=6,

\AD=BC=2,

JAD//BG,

\/\OAD^AOBG,

-0A_AD_1an0A_1

•—————“，，P>l-J.，，

OBBG30A+33

第10页（共22页）

解得：OA=2,

点坐标为：（1,2）,

故选：C.

10.（3分）如图（1）,正方形/BCD的对角线相交于点。，点P为。C的中点，连接。过点。作。M

的垂线交CA于点N,设BM=x,PN=y（2）所示，图中加的值为（）

2

【解答】解：当点M与点3重合时，如图,

：.AC±BD,

此时，点N与点C重合，

：.m=PN=CP,

当点M与点。重合时，如图,

BC函）

•.•四边形N2CD为正方形，

：.ACLBD,OD=OC,

此时，点N与点D重合，

由图（2）可知，PN=PD=居,

设OD=OC=a,

第11页（共22页）

・・•点尸为。。的中点,

：.OP=CP=L7t,

2a

在Rt△尸OD中，0声=PD8,

(ya)2+a2=(V5)3,

解得：Q=2,或Q=-2（舍去）,

CP=4,即冽=1.

故选：B.

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）若x=l是关于x的一元二次方程/+冽％-6=0的一个根，则m=5.

【解答】解：把x=l代入方程，+加工-3=0得1+冽-5=0,

解得加=5.

故答案为：3.

12.（3分）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），

使4B=CD、EF=GH；然后摆放成如图②四边形（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角

边与窗框无缝隙时（如图④），这时窗框是矩形,根据的数学原理是：有一个角是直角的平行

四边形是矩形.

A।।BI..II,J-----------

①②③④

【解答】解：因为/8=C£＞、EF=GH,

所以窗框是平行四边形，

当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，即有一个角是直角的平行四边形是矩形.

故答案为：矩，有一个角是直角的平行四边形是矩形.

13.（3分）如图，四边形N8CD是菱形，/D4B=48°,8。相交于点O,DHLAB于H,则24

度.

第12页（共22页）

D

【解答】解：•••四边形ABCD是菱形,

：.OD=OB,ZCOD=90°,

DHLAB,

：.OH=1.BD=OB,

J.ZOHB^ZOBH,

又•：AB//CD,

：.ZOBH^ZODC,

在RtZ\CO〃中，ZODC+ZDCO=90°,

在RtAD/ZB中，ZDHO+ZOHB^9Q0,

:./DHO=/DCO=殳NDCB=24°,

故答案为：24.

c

14.（3分）如图，在平行四边形/BCD中，E是线段上一点坐=2,则：&蛙■=_»

EB3SAAEF

【解答】解：,四边形/BCD是平行四边形,

：.AB//CD,AB=CD,

•••=A-E---2，

BE3

.•.设/E=7a,则2E=3a,

.,.AB=CD=5a,

■:ABHCD,

：.AAEFsACDF,

第13页（共22页）

.AE_EF=5

"CD"DFT

S=5

•■•---A--A--D--F-，，

,△AEF6

故答案为：立.

2

15.（3分）如图，在矩形纸片中，AD=2\历，/8=2,点0是8C边上的一个动点，将△尸30沿

尸0所在直线翻折，连接DE,CE,2。的长是一—或1.

【解答】解：①当。£=DC时，如图1,DQ,

:点P是48的中点，/2=2&,四边形/BCD是矩形,

/.ZA=90°,AP=PB=\,

DP=A/AD2+AP^=N8+1=5,

,/将△P3。沿PQ所在直线翻折，得到△PEQ,

：.PE=PB=\,

•；DE=DC=AB=2,

：.PE+DE=l+2=3,

：.DP=4=PE+ED,

:.点P,E,。三点共线，

•：/B=/DCB=90°,

/.ZDEQ=ZDCQ=9Q°,

设BQ=x,则QE=XM-x,

在RtADEQ和RtADCQ中，根据勾股定理得：DQ1=DE1+EQ1=DC1+CQi,

.\22+X5=22+(3&-x)2,

解得：x=遍,

②当。£=EC时，如图2,

,:DE=EC,

第14页（共22页）

点E在线段CD的垂直平分线上，

，点E在线段AB的垂直平分线上，

;点、P是4B的中点，

；.EP是AB的垂直平分线，

:./BPE=9G,

,/将沿PQ所在直线翻折，得到△PE。,

:./B=NPEQ=90°,PB=PE,

四边形是正方形，

:.BQ=PB=3,

综上所述：3。的长为：&或1.

故答案为：企或1.

图2

图1

三、解答题(共8小题，共75分)

16.解方程：

(1)x2-6x+3=0；

(2)3--2x-1=0.

【解答】解：⑴/-6x+6=0,

x2-6x+9=-3+8,

(x-3)2=8,

x-3=

所以超=3+遥，x2=3-，n；

第15页（共22页）

（2）8/-2x-2=0,

（x-1）（5x+l）=0,

x-8=0或3x+7=0,

所以Xl=4,X2=--.

3

17.在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验,

将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数1002003005008001000

n

摸到黑球的65118189310482602

次数加

摸到黑球的a0.590.630.620.6030.602

频也

n

（1）当〃很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.6（精确至U0.1）：

（2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球

【解答】（1）当〃很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.6,

故答案为：6.6；

（2）从袋中拿出1个黑球，2个白球放入一个新的不透明袋子中，列表如下：

黑白白白

黑-（白，黑）（白，黑）（白，黑）

白（黑，白）-（白，白）（白，白）

白（黑，白）（白，白）-（白，白）

白（黑，白）（白，白）（白，白）-

由表知，共有12种等可能结果，

所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为互=1.

123

18.一张矩形纸/BCD,将点8翻折到对角线NC上的点M处，折痕CE交45于点£.将点。翻折到对

角线/C上的点X处，折叠出四边形/ECF

（1）求证：AF//CE-,

第16页（共22页）

(2)当NBAC=30度时,四边形/ECr是菱形？说明理由.

【解答】(1)证明：：四边形/BCD为矩形，

：.AD//BC,

：./DAC=/BCA,

由翻折知，/DAF=NHAF=工,/BCE=NMCE=L,

22

，/HAF=ZMCE,

：.AF//CE；

(2)解：当/A4C=30°时四边形4BCF为菱形，理由如下:

:四边形/BCD是矩形，

?.ZD=ZBAD=90°,AB//CD,

由(1)得：AF//CE,

...四边形/EC歹是平行四边形，

VZBAC^30°,

：.ZDAC=6Q°.

：.ZACD=30°,

由折叠的性质得尸=/肛4广=30°,

/HAF=ZACD,

：.AF=CF,

四边形NEW是菱形；

故答案为：30.

19.已知关于x的一元二次方程x2-ax+a-1=0.

(I)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若方程的两个实数根XI,X2满足|X1-X2|=3,求a的值.

【解答】(1)证明：，.,△=(-a)2-4(a-5)

<r-4a+2

第17页(共22页)

=(4-2)2三4,

・・・该方程总有两个实数根；

(2)解：由题意，x\+xi=a,xj*X2=a-1,

=3,

,,X7-X2I—(xg-x2)(X4+X2)2-3xix2a-4a+4=5

a2-4a-3=0.

.*.<2=5或a=-3.

20.2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元/个的价格购进一

批“弗里热”纪念品，每周可以卖出500个.经过市场调查发现，吉祥物“弗里热”价格每上涨10元,

并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？

【解答】解：设售价应定为x元，

(x-20)[500-端(x-30)]=8000)

X2-100x+2400=0,

、8=40,X2=60,

・・,更大优惠让利消费者，

・\x=40,

答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者售价应定为40元.

21.求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.

要求：①根据给出的△N3C及线段B',/⑷(//'=NA),以线段B'为一边，使得

B'Cs/\4BC,不写作法；

②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程.

【解答】解：(1)如图所示，B'C'即为所求;

ABBCAC

第18页(共22页)

：.AD=1AB^4'B',

22

.A2.京B'

A'B

""AB

•."AABC^AA'B'C,

.WB'=A；C1，/一/,

ABAC

*D'=A'C：/一/,

ADAC

，AA'CD'^AACD,

•••C--'---D--'--=--N-----C--'--jAV•

CDAC

22.一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案:

方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1加到点。处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶

部/点的像（即尸C=4〃?）放在尸处.从点尸处向后退1.5根到点8处，恰好再次在平面镜中看到灯柱

的顶部N点的像，C,D,F,〃在同一水平线上，且GHLFH,（平面镜的大小忽略不计）

方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度.已知标杆CD高1.5"，测得r>E=2〃?，CE=2.5m.

方案三：利用三角板的边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上.已知两条边C£=0.4加，EF

=0.2冽

三种方案中，方案二、三不可行,请选择可行的方案求出灯柱的高度.

【解答】解：根据相似三角形的知识可知方案二中△/8E缺少边长的条件，故方案二不可行，故方案三

不可行,

第19页（共22页）

选方案一,

•：NECD=/ACB,/EDC=/ABC,

：.△ABCs^EDC,

•・•-A-B---B-C-,

EDCD

•J_BC*ED«fC

H—=1.5BC)

设BC=xm,

贝UAB=4.5xm,

同理可得445尸s△G〃F,

•・•—AB——BF