2023中考数学常见几何模型《最值模型-阿氏圆问题》含答案解析

专题U最值模型-阿氏圆问题

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查

转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题

就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】已知平面上两点A、B,则所有满足PA=k-PB（原1）的点尸的轨迹是一个圆，

这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

【模型解读】如图1所示，。。的半径为r,点A、8都在。。外，P为。。上一动点，

已知鼻Q8,连接PA、PB,则当“PA+kPB”的值最小时，尸点的位置如何确定？

图3

如图2,在线段0B上截取0c使0C=kr,则可说明小BP0与△PC0相似，即kPB=PC。

故本题求“PA+左的最小值可以转化为“PA+PC''的最小值，

其中与A与C为定点，尸为动点，故当A、P、C三点共线时，“E4+PC”值最小。如图3

所示：

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kRl+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而

当尸点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。

例1.（2022•安徽・九年级期末）如图，在R/S4BC中，S4CB=90。，CB=7,AC=9,以C为

圆心、3为半径作国C,P为回C上一动点，连接AP、BP,则gAP+BP的最小值为（）

A.7B.572C.4+V10D.2万

例2.（2020•广西中考真题）如图，在RtA3c中，45=AC=4,点E,尸分别是AB,AC

的中点，点尸是扇形&所的EF上任意一点，连接BP,CP,贝的最小值是.

例3.（2022・四川成都•模拟预测）如图，已知正方A2CD的边长为6,圆B的半径为3,点

尸是圆2上的一个动点，则加-的最大值为一.

例4.（2022•浙江•舟山九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,以B为圆心，

以BC为半径画圆交边48于点E,点P是弧CE上的一个动点，连结P2PA,贝丹AP+OP

的最小值为（）

DC

A.s/lQB.vnC.屈

例5.(2022•广东•广州市第二中学九年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，A(2,0),

B(0,2),C(4,0),0(5,3),点尸是第一象限内一动点，且NAP8=135。，则4PD+2PC的

最小值为

例6.(2021•浙江金华•一模)问题提出：

如图1,在等边0ABC中，42=9,回C半径为3,尸为圆上一动点，连结AP,BP,求AP+；

8尸的最小值

⑴尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将;

8尸转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)

如图2,连结。尸，在C3上取点，使8=1,贝I有C少D=C君P=31

又团团PCD=团

回回团

0-=-^\PD=-BP

BP33

胤4尸+-BP=AP+PD

3

团当A,P,。三点共线时，AP+PO取到最小值

请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为.

（2）自主探索：如图3,矩形ABC。中，BC=6,AB=8,P为矩形内部一点，且尸8=4,则：

AP+PC的最小值为.（请在图3中添加相应的辅助线）

⑶拓展延伸：如图4,在扇形C。。中，。为圆心，ECOD=120°,0c=4.。4=2,。8=3,

点尸是CZ）上一点，求2B4+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程.

例7.（2022・广东•二模）（1）初步研究：如图1,在△外8中，已知外=2,A8=4,。为48

上一点且4。=1,证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2,已知正方形42。的边长为4,

0A的半径为2,点P是0A上的一个动点，求2PC+P8的最小值；（3）拓展推广：如图3,

已知菱形ABCQ的边长为4,0A=60。，0A的半径为2,点尸是0A上的一个动点，求2PC-PB

的最大值.

图1图2图3

例8.（2022,江苏•苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

pA

已知平面上两点A,B,则所有符合==以左＞0且左w1）的点P会组成一个圆.这个结论最先

由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

【问题】如图1,在平面直角坐标中，在X轴，y轴上分别有点c（根,0）,0（0,〃），点P是平

OP

面内一动点，且OP=r,^—=k,求尸C+HZ＞的最小值.

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1,在0D上取点使得OM:OP=OP:OD=k；

第二步：证明狂第三步：连接CM,此时CM即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在。。上取点使得OM:OP=QP:OD=M

又QAPOD=AMOP,:NPOM:NDOP.

任务：（1）将以上解答过程补充完整.（2）如图2,在RtABC中，ZACB=9Q°,AC=4,BC=3,D

2

为，ABC内一动点，满足CD=2,利用⑴中的结论，请直接写出的最小值.

B

图2

课后专项训练

1.（2022•福建南平九年级期中）如图，在RtHABC中，0ACB=90°,CB=7,AC=9,以C

为圆心、3为半径作回C,P为团C上一动点，连接AP、BP,则;AP+BP的最小值为（）

A.30.B.C.375D.5a

2.（2022,江苏•无锡市九年级期中）如图，回。与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N,

回。半径为3,点A（0,1）,点8（2,0）,点尸在弧MN上移动，连接B4,贝U3阴+P8

的最小值为

3.（2022•陕西•三模）如图，在四边形ABCD中，AB=2g,对角线

AC=2,ABAC=ZACD=60°,设AD=b3£»,则上的最小值为

4.（2022•湖北武汉•模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点A,B,所有满足育=k

PD

（左为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为"阿氏圆"，

【问题解决】如图，在0ABe中，CB=4,AB=2AC,则0ABe面积的最大值为.

A

5.（2022•浙江•九年级期中）如图，在RtzXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,D、E

分别是边BC、AC上的两个动点，且。E=4,尸是。E的中点，连接B4,PB,则%

4

的最小值为一.

6.（2022•江苏•苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABC。的边长为4,点E为边AD上一

个动点，点尸在边。上，且线段EF=4,点G为线段EE的中点，连接BG、CG,贝U8G+

7.（2022•山西•九年级专题练习）如图，在.ASC中，ZB=90°,AB=CB=2,以点B为圆

心作圆B与AC相切，点P为圆8上任一动点，则PA+1gPC的最小值是.

2

8.（2022・湖北•九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4,EIB的半径为2,点P

是国B上的一个动点，则PD-yPC的最大值为

9.（2022•北京•九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为团。，尸是团。上一动

点，则0PA+PB的最小值为.

10.（2022•山东•九年级专题练习）如图，在RtABC中，NACB=90。，CB=4,C4=6,

圆C半径为2,P为圆上一动点，连接”，台p原+1^最小值__________.+尸最

2---------------3

小值__________.

11.（2022・重庆•九年级专题练习）（1）如图1,已知正方形ABCD的边长为9,圆8的半径

22

为6,点尸是圆8上的一个动点，那么PO+耳尸C的最小值为的最大值为

（2）如图2,已知菱形A8CD的边长为4,&8=60。，圆B的半径为2,点尸是圆B上的一

个动点，那么PD+[PC的最小值为，PD-\PC的最大值为.

2—2一

ADAD

12.(2022•江苏淮安•九年级期中)问题提出：如图1,在等边国ABC中，AB=12,回C半径为

6,P为圆上一动点，连结AP,BP,求AP+^BP的最小值.

(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在CB上

取点D,使CD=3,则有笠.=空=：,又团团PCD=©BCP,00PCDMBCP,IS-=y,团PD=；

CPCB2BP22

BP,0AP+yBP=AP+PD.请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+；BP的最小值为.

(2)自主探索：如图1,矩形ABCD中，BC=7,AB=9,P为矩形内部一点，且PB=3,1AP+PC

的最小值为.(3)拓展延伸:如图2,扇形COD中，。为圆心，0COD=12O°,0C=4,0A=2,

0B=3,点P是CO上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程.

13.（2022•湖北,九年级专题练习）（1）如图1,己知正方形ABCD的边长为4,圆8的半径

为2,点尸是圆B上的一个动点，求PD+JPC的最小值，0尸D+4PC的最小值，PD-^PC

的最大值.

（2）如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆8的半径为6,点尸是圆8上的一个动点，

求尸O+=PC的最小值，尸O—PC的最大值，PC+变产。的最小值.

333

（3）如图3,已知菱形A5CD的边长为4,/3=60。，圆B的半径为2,点P是圆2上的一

个动点，求PD+4尸C的最小值和也》-3女的最大值.PC+且PD的最小值

226

14.（2022•山东聊城二模）如图，抛物线y=+/+C经过点A（<-4）,B（0,4）,直线

AC的解析式为y=-；x-6,且与y轴相交于点C,若点E是直线上的一个动点，过点

E作砂，x轴交AC于点E

（1）求抛物线>=一/+法+。的解析式；（2）点”是y轴上一动点，连结EH,HF,当点E

运动到什么位置时，四边形出切是矩形?求出此时点E,"的坐标；（3）在（2）的前提下，

以点E为圆心，即长为半径作圆，点M为E上以动点，求!AM+CM的最小值.

2

15.（2022•江苏泰州•一模）如图，已知RtAABC中，ZC=90°,AC=6,AB=9,E是AB

上的一点，3E=5,点。是线段2C上的一个动点，沿AD折叠AACD,点C与C'重合，连

接3C'.

（1）求证：AAEC'SAAC'B；（2）若点尸是3c上的一点，且BFf,①若ABC'F与ABC'E

的面积比是。，请用无刻度的直尺和圆规在图（2）中作出折叠后的AACD（保留作图痕

迹，不写作法）；②求8C'+：FC'的最小值.

图1图2图3

16.（2022・广东•九年级专题练习）如图1,已知正方形ABC，AB=4,以顶点B为直角顶

点的等腰RtSBEP绕点B旋转，BE=BF=回,连接AE,CF.

（1）求证：0AB030CBF.（2）如图2,连接。E,当。E=8E时，求S—CE的值.（S-CF表示

&BCP的面积）（3）如图3,当RtaBEF旋转到正方形ABC。外部，且线段AE与线段CP存在

交点G时,若"是CD的中点,P是线段OG上的一个动点,当满足0Mp+PG的值最小时，

求MP的值.

17.（2022•河北•九年级专题练习）如图1,在R7EIABC中，0ACB=9O。，CB=4,CA=6,

圆C的半径为2,点尸为圆上一动点，连接AP,BP,求：

@AP+^-BP,②2AP+5P,③;AP+8P,④AP+33尸的最小值

专题11最值模型-阿氏圆问题

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查

转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题

就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】已知平面上两点A、B,则所有满足PA=k-PB（原1）的点P的轨迹是一个圆，

这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

【模型解读】如图1所示，。。的半径为广，点A、8都在外，P为。。上一动点，

已知片408,连接PA、PB,则当"PA+k-PB”的值最小时，尸点的位置如何确定？

图3

如图2,在线段0B上截取0C使OC=k-r,则可说明小BPO与4PCO相似，即kPB=PC。

故本题求“PA+EPB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，

其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“E4+PC”值最小。如图3

所示：

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kM+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而

当尸点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。

例1.（2022•安徽•九年级期末）如图，在吊0ABe中，0ACB=90°,CB=7,AC=9,以C为

圆心、3为半径作团C,P为回C上一动点，连接AP、BP,则的最小值为（）

A.7B.5&C.4+710D.2^/13

【答案】B

【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM,使得CM=1,连接尸M,PC,BM.利用相

似三角形的性质证明|AP+BP^PM+PB>BM,利用勾股定理求出即可

解决问题.

答案详解：如图，在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.

：PC=3,CM=1,CA=9,:.PO=CM・CA,：.—=——，

CACP

PMPC1

'：ZPCM=ZACP：.APCM^AACP,——=—=-,

fPAAC3

：.PM=-PA,：.-AP+BP^PM+PB,

33

"：PM+PB>BM,在RtABCM中，'：ZBCM=90°,CM=1,BC=1,

；.BM7f+72=50,：.^AP+BP>5y/2，；•的最小值为5啦.故选：B.

例2.（2020・广西中考真题）如图，在Rtj.ABC中，AB=AC=4,点E,尸分别是AB,AC

的中点，点尸是扇形&所的EF上任意一点，连接BP,CP,则gBP+CP的最小值是.

【答案]V17.

【分析】在上取一点T,使得AT=1,连接PT,PA,CT.证明,4Ts,54。，推出二

PB

AP1]]

=——=一，推出PT=一PB,推出一PB+CP=CP+PT,根据PC+PT^TC,求出CT即可

AB222

解决问题.

【详解】解：在A8上取一点T,使得AT=1,连接尸7,PA,CT.

,PAAB

：B4=2.AT=1,AB=4,：.B^=4=AT-AB,：.——=——，

ATPA

PTAP111

VZB4T=ZE4B,；.PAT^BAP,；•——=——=—,:.PT=—PB,：.—PB+CP

PBAB222

=CP+PT,

'：PC+PT>TC,在Rt_ACT中，"：ZCAT=90°,AT=1,AC=4,

**-CT=y]AT-+AC2=V17，:.三PB+Pr&i,；.；PB+PC的最小值为故答

案为g.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三

角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键.

例3.（2022・四川成都•模拟预测）如图，已知正方A8CC的边长为6,圆8的半径为3,点

尸是圆8上的一个动点，则的最大值为.

3

【分析】如图，连接5P,在3c上取一点M,使得=进而证明△BPMS/XBCP,

则在点尸运动的任意时刻，均有PM=；PC,从而将问题转化为求PD-PM的最大值.连接

PD,在EIPOM中，PD-PM<DM,故当。、M、尸共线时，为最大值，勾股定理

即可求得DM.

3

【详解】如图，连接成在2c上取一点使得.二,

3

BP31.BMBP

，

BM_1BC-6-2,,^P-BC

BP~2

MPBM11

ZPBM=ZCBPABPM^ABCP「.——=——=—1.MP=—PC

PCBP22

:.PD--PC=PD-MD

2

在13Pz加f中，PD-PM<DM,当。、M、尸共线时，为最大值,

四边形ABCD是正方形，ZC=90°

在咫CDA/中，DM=《DC。+MC2=卜+肖故答案为：y.

【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的

2

关键.

例4.（2022•浙江・舟山九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,以B为圆心，

以3c为半径画圆交边AB于点E,点P是弧CE上的一个动点，连结PRPA,则:AP+DP

的最小值为（）

A.MB.VTTC.V13D.而

【答案】C

【分析】连接BP,取BE的中点G,连接PG,通过两组对应边成比例且夹角相等，证明

BPGBAP,得到尸G=^AP,则LAP+Z)P=PG+DP,当P、D、G三点共线时，取最

22

小值，求出DG的长得到最小值.

【详解】解：如图，连接BP,取BE的中点G,连接PG,

BP21

团AD=BC=BP=2,AB=4,团——=—,

BA42

BG1BPBG

团G是BE的中点团---——,团-------,

BP2BABP

PGBP11

国NPBG=NABP,国BPGBAP,回一=—=—,回尸G=—AP,

APBA22

则+=+当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长,

2

DG=ylAD1+AG2=y/4+9=y/vi-故选：C.

【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似

三角形将尸转换成尸G,再根据三点共线求出最小值.

例5.(2022・广东・广州市第二中学九年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，A(2,0),

8(0,2),C(4,0),£)(5,3),点尸是第一象限内一动点，且NAP3=135。，则4PC+2PC的

最小值为.

【答案】20

【分析】取一点7(1,0),连接OP,PT,TD,首先利用四点共圆证明。尸=2,再利用相似三

角形的性质证明PT=；PC,推出4PD+2PC=4(PD+1PC)=4(PD+PT),根据PD+PT>DT,

过点D作。E1.OC交0C于点E,即可求出。T的最小值，即可得.

【详解】解：如图所示，取一点7(1,0),连接。尸，PT,TD,

0A(2,0),B(0,2),C(4,0),^\OA=OB=2,OC=4,

以。为圆心，0A为半径作C。，在优弧A2上取一点。，连接QB,QA,

0Z2=1zAOB=45°,ZAPS=135°,0Z2+ZAPB=45°+135O=18O°,

0A,P,B,。四点共圆，回OP=Q4=2,

OPOT

0OP=2,OT=1,OC=4,回Op2=OC・OT,0—=—,

PTOP11

团/尸OT=NPOC,HAPOr-ACOP,0—=——=-,aPT=-PC,

PCOC22

04PD+2PC=4（PD+1PC）=4（PD+PT）,过点。作DE_LOC交OC于点E,

SD的坐标为（5,3）,回点£的坐标为（5,0）,TE=4,0£>T=A/32+42=5

SPD+PT>DT,EI4PD+2PC>20,134ao+2PC的最小值是20,故答案为：20.

【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌

握这些知识点.

例6.（2021•浙江金华,一模）问题提出：

如图1,在等边0ABe中，AB=9,回C半径为3,尸为圆上一动点，连结AP,BP,求AP+g

8尸的最小值

⑴尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将g

8户转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）

如图2,连结CP,在CB上取点。，使8=1,则有C方D=MCP=g1

又团团PCD=团

团团团

0—=-^\PD=-BP

BP33

胤4尸+-BP=AP+PD

3

团当A,P,。三点共线时，AP+PD取到最小值

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+；BP的最小值为.

⑵自主探索：如图3,矩形ABC。中，BC=6,AB=S,尸为矩形内部一点，且尸2=4,则g

AP+PC的最小值为.（请在图3中添加相应的辅助线）

⑶拓展延伸：如图4,在扇形C。。中，。为圆心，0COD=12O°,0C=4.0A=2,0B=3,

点尸是CD上一点，求2B4+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程.

【答案】（1）BCP,PCD,BCP,土吧；（2）2^10;（3）作图与求解过程见解析，2B4+P8

2

的最小值为质.

【分析】（1）连结A。，过点A作AH3cB于点F,AP+^BP=AP+PD,要使AP+；8P最小，

AP+AD最小，当点A,P,。在同一条直线时，AP+A。最小，即可求解；

⑵在A8上截取8尸=2,连接PF,PC,AB=8,PB=4,BF=2,证明0ABpEBPBF,当点F,

点P,点C三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；

0A1Qp

⑶延长0C,使3=4,连接3凡OP,PF,过点尸作尸施。。于点=-=—,

OP2OF

且她。尸=她。尸，0AOP00POF,当点F,点尸，点B三点共线时，2A尸+PB的值最小，即可

求解.

【详解】解：⑴如图1,

A

图1

连结AD,过点A作A尿C2于点R

^AP+^BP^AP+PD,要使AP+；8P最〃、，

0AP+4。最小，当点A,P,D在同一条直线时，AP+A。最小，即：AP+；BP最小值为AD,

0AC=9,AfBBC,EIACB=6OO0CF=3,AF=^~；

2

SDF=CF-CD=3-1=2,HAD=VAF2+DF2=,

2

0AP+：BP的最小值为立亘；故答案为：立亘；

322

(2汝口图2,

在AB上截取BF=2,连接尸况PC,0X2=8,尸3=4,BF=2,

Bp]BF

0—=-=—,且EL4BP=EL48P,00ABP00PBF,

AB2BP

FPBP1ii

0—=—=-,^PF=-AP,S-AP+PC=PF+PC,

APAB222

回当点R点P,点C三点共线时，AP+PC的值最小，

回CP=VBF2+BC2=V62+22=2^0，

*AP+PC的值最小值为2M，故答案为：29；

（3）如图3,延长0C,使Cr=4,连接BROP,PF,过点尸作尸况1。。于点M,

0OC=4,FC=4,团尸。=8,且OP=4,OA=2,

OA1OP

0一=一=一，且她。尸=MOPfflAO尸酿尸。尸

OP2OF

APOA1

E——=——=一，0PF=2API32E4+PB=PF+PB,

PFOF2

回当点R点P,点2三点共线时，2AP+PB的值最小，

00COD=12O°,00FOM=6O°,且尸0=8,FMSOM

E1OM=4,FM=46SMB=OM+OB=4+3=7

^FB=>JFM2+MB2=屈，S2PA+PB的最小值为国.

【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关

键是根据材料中的思路构造出相似三角形..

例7.（2022・广东•二模）（1）初步研究：如图1,在△B4B中，已知出=2,AB=4,。为AB

上一点且AQ=1,证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2,已知正方形A8CQ的边长为4,

0A的半径为2,点尸是0A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3,

已知菱形A8CD的边长为4,EIA=60o,0A的半径为2,点P是0A上的一个动点，求2PC-PB

的最大值.

图1图2图3

【答案】（1）见解析；（2）10；（3）2A/37

【分析】（1）证明△以。回ABAP,根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ

（2）在AB上取一点。，使得4。=1,由（1）得PB=2PQ,推出当点C、P、Q三点共线时，

PC+P。的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+P8的最小值；（3）作出如图的辅助线，

同（2）法推出当点尸在C。交妫的点P时，PC-尸。的值最大，再利用勾股定理即可求得

2PC-PB的最大值.

【详解】解：(1)证明：0B4=2,AB=4,AQ=1,0B42=A2-AB=4.0—=-J.

A。rA

PQpA1

又EEA=0A,S^PAQ^BAP.EI-^-=—=-.^\PB=2PQ；

(2)如图，在AB上取一点Q,使得AQ=1,连接4P,PQ,CQ.

0AP=2,AB=4,AQ=1.由(1)MPB=2PQ,S2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ).

^\PC+PQ>QC,田当点C、P、。三点共线时，PC+P。的值最小.

@QC=QQB2+BC?=5,mPC+PB=2(PC+PQ)>W.回2尸C+PB的最〃、值为10.

(3)如图，在A8上取一点Q,使得40=1,连接AP,PQ,CQ,延长C。交她于点P,

过点C作C//垂直AB的延长线于点X.易得AP=2,AB=4,AQ=1.

由(1)得PB=2PQ,S2PC-PB=2PC-2PQ=2(PC-PQ),

^\PC-PQ<QC,且当点P在C。交0A的点P时，PC-P。的值最大.

^QC^^QH-+CH2=屈，02PC-PB=2(PC-PQ)42屈.回2PC-PB的最大值为2折'.

【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、

两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想

思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决.

例8.(2022•江苏•苏州九年级阶段练习)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

pA

已知平面上两点A,B,则所有符合诟=以4>0且％片1)的点P会组成一个圆.这个结论最先

由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

【问题】如图1,在平面直角坐标中，在X轴，y轴上分别有点c("2,o),o(o,〃)，点尸是平

面内一动点，且。尸=厂，设==%，求PC+APD的最小值.

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1,在。。上取点使得OM:。尸=。尸:8=左；

第二步：证明狂＞_D=PW；第三步：连接CM,此时CM即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在。。上取点使得OM:OP=OP:OD=k,

又QAPOD=AMOP,:NPOM:NDOP.

任务：⑴将以上解答过程补充完整.⑵如图2,在RtABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,D

为ABC内一动点，满足CD=2,利用⑴中的结论，请直接写出+的最小值.

【分析】国将PC+kPD转化成PC+MP,当PC+kPD最小，即PC+MP最小，图中可以

看出当C、P、M共线最小，利用勾股定理求出即可；

0根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入,C对应0,D对应P,A对应C,

B对应M,当D在AB上时AO+|B。为最小值，所以+==

【详解】解⑴尸力>=匕尸=如。，

;.PC+kPD=PC+MP,当PC+H>D取最小值时，PC+MP有最小值，即C,尸，/三点共线

时有最小值，利用勾股定理得CM=\l0C2+0M。=[+（kr）~=Jm1+kd.

（2）AD+^BD的最小值为巫,

33

提示：,AC=m=4,|cr>=^=|,">+辆的最小值为卜m半.

【点睛】此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题

的关键.

课后专项训练

1.（2022•福建南平九年级期中）如图，在RfflABC中，0ACB=9O°,CB=7,AC=9,以C

为圆心、3为半径作团C,尸为团C上一动点，连接AP、BP,则gAP+BP的最小值为（）

A.372.B.4石C.36D.5近

【答案】D

【分析】作辅助线构造相似三角形，进而找到P在何时会使得;AP+8P有最小值，进而得

到答案.

【详解】解：如图，连接CP,作PE交AC于点E,使NCPE=S1C

prFP|

^\ZPCE=ZACP[?].PCE^lAAPC团——=——AC=9,PC=3^\EP=-AP

ACAP3

^AP+BP=EP+BP,当B、尸、E三点共线，即P运动P时有最小值EB

=团后。=1^\EB=y/EC2+CB2=5yf2回£AP+3P的最/J、值为50故选：D.

yACj

【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题

的关键.

2.(2022•江苏•无锡市九年级期中)如图，回。与y轴、无轴的正半轴分别相交于点M、点N,

回。半径为3,点A(0,1),点8(2,0),点尸在弧MN上移动，连接B4,PB,贝U3必+PB

的最小值为

【答案】V85

C)AApi

【分析】如图，在y轴上取一点C(0,9),连接PC,根据僚=舞=(,她。尸是公共角,

可得0Aop0SPOC,得PC=3朋，当8,C,尸三点共线时，3以+PB的值最小为BC,利用勾股定

理求出3C的长即可得答案.

【详解】如图，在y轴上取一点C(0,9),连接尸C,

030半径为3,点A(0,1),点B(2,0),回。尸=3,OA=1,OB=2,OC=9,

OAOP1

0—=-=j,0A。尸是公共角，HBAOPEEIPOC,0PC=3E4,

^PA+PB=PC+PB,^B,C,P三点共线时，3E4+PB最小值为BC,

团BC=Joe?+OB2=的2+2?=庖，团3出+P8的最小值为相.故答案为：底

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解C、尸、B三点在

同一条直线上时3B4+PB有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

3.(2022・陕西•三模)如图，在四边形ABCD中，AB=2^/3,对角线

AC=2,ZBAC=ZACD=60°,设AD=k*BD,则发的最小值为.

【答案】V2-l##-l+V2

【分析】如图，过点C作C7,钻于点J,过点B作交。C的延长线于点在

A3的上方构造必/VIBE,使得ABEsMBD,取BE的中点/，连接ARDF.由

RFAD)R

ABEs.MBD,推出一=—=%=2,/BAE=NM=90。,设BD=〃z,则3E=2祖，由勾

DBMB6

股定理求得。尸，根据两点之间线段最短可得4。的最小值，进而根据4)=心跳＞,即可求

解.

【详解】解：如图，过点C作C/LAB于点J,过点8作3加，DC交。C的延长线于点M,

在AB的上方构造使得.ABES,MBD,取8E的中点尸，连接ARDF.

E

在RfAC7中，AC=2,ZGV=60°,0CJ=AC-sin60°=A/3,0ZACD=ZBAC=60°,0

AB//CD,

0BM±CACJAB,团四边形BJCM是矩形，®BM=CJ=6ZMBJ=90°,

RFADO/o

0ABEsMBD,—=—=^=2,ZBAE=ZM=90°,回设8£>=利，则3£=2加,

0DBMB6

SiEF=FB,^AF=^BE=m^ZABE=ZMBD,^ZEBD=ZABM=90°,0

DF=A/BF2+BD2=启n，

0AD2DF-AF=6m-m，HAD的最小值为0机一”，

^AD=kBD,瞅是最小值为叵二二=近一1.故答案为：V2-1.

m

【点睛】本题考查轴对称问题，勾股定理，相似三角形的性质等知识，解题的关键是相似构

造相似三角形解决问题.

pA

4.（2022•湖北武汉•模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点A,B,所有满足不；=k

（左为定值）的尸点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆",

【问题解决】如图，在0ABe中，CB=4，AB=2AC,则面积的最大值为

【答案】y

【分析】以A为顶点，AC为边，在I3ABC外部作13cAp=IBABC,AP与BC的延长线交于点P,

证出ElAPCEBBPA,列出比例式可得BP=2AP,CP=1-AP,从而求出AP、BP和CP,即可求出点

A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论.

【详解】解：以A为顶点，AC为边，在回ABC外部作EICAPWABC,AP与BC的延长线交于点

P,

00APC=0BPA,AB=2AC130APCEI0BPA,

APCPAC11

0一=一=一=-EBP=2AP,CP=-AP

BPAPAB22

B］BP—CP=BC=4EI2AP-4AP=4解得:AP=-0BP=—,CP=-,即点P为定点

2333

Q

回点A的轨迹为以点P为圆心，］为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P

于点Ai,此时Ai到BC的距离最大，即0ABe的面积最大

SAAIBC=；BGAIP=；x4x，即［3ABC面积的最大值为与■故答案为：学.

//3333

【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌

握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键.

5.（2022•浙江•九年级期中）如图，在中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,D、E

分别是边BC、AC上的两个动点，且。E=4,P是。E的中点，连接B4,PB,则朋

4

的最小值为.

B

【解答】解：如图，在