2023中考数学常见几何模型《最值模型-费马点问题》含答案解析

专题12最值模型-费马点问题

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模

型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说

明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶•德・费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫

业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领

域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大

定理”等.费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

【模型解读】

结论1：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM,当M与三个顶点连线的

夹角为120。时，MA+MB+MC的值最小。

注意:上述结论成立的条件是AABC的最大的角要小于120°,若最大的角大于或等于120°,

此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）

【模型证明拟AB为一边向外作等边三角形△ABE,将绕点B逆时针旋转60。得到BN,

连接EN.

:△ABE为等边三角形，：.AB=BE,ZABE=60°.而NMBN=60。，:.NABM=NEBN.

AB=BE

在公AMB与AENB中，VJZABM=NEBN，八AMB色AENB(SAS).

BM=BN

连接MN.由AAAffi丝△ENB知，AM=EN.；NMBN=60°,BM=BN,:.ABMN为等边

三角形.

：.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM..•.当E、N、M,C四点共线时，AM+BM+CM

的值最小.

此时，N8MC=1800-NNMB=120°；NAMB=/ENB=180°-/BNM=120°；

ZAMC^360°-ZBMC-120°.

费马点的作法：如图3,分别以AA8C的A8、AC为一边向外作等边AA8E和等边△AC凡

连接CE、BF,设交点为则点M即为△A8C的费马点。

结论2：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP,求xAP+yBP+zCP最小值。（加

权费马点）

【模型证明】第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

如：保持3P不变，；必尸+汨/3+2。尸=丫（'42+3夕+三。?），如图，B、P、外、4四点共线时，

yy

取得最小值。

①一动点，三定点；②以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最外

的顶点与已知三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点；③同时

线段前可以有不为1的系数出现，即：加权费马点。

【最值原理】两点之间，线段最短。

例1.（2021•山东滨州•中考真题）如图，在，ABC中，ZACB=90°,ABAC=30°,AB=2.若

点P是，ABC内一点，则E4+P3+PC的最小值为.

B

例2.（2021•辽宁丹东•中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形

的费马点.如果ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足

NAP3=NBPC=NCR4=120。.（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）.若

AB=AC=yfl,BC=2^3,P为ABC的费马点，则P4+P3+PC=；若

AB=26,BC=2,AC=4,P为ABC的费马点，则己4+P3+PC=.

例3.（2022•宜宾•中考真题）如图，：ABC和4汨都是等腰直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,

点。是BC边上的动点（不与点8、C重合），DE与AC交于点F,连结CE.下列结论：

4

①BD=CE；（2）ZDAC=ZCED；③若8D=2CD,则一=-；④在ABC内存在唯一

AF5

一点尸，使得上4+PB+PC的值最小，若点。在AP的延长线上，且AP的长为2,贝U

CE=2+6♦其中含所有正确结论的选项是（）

A.①②④B,①②③C.①③④D.①②③④

例4.（2022・江苏•九年级阶段练习）探究题

A

AAA

B/C

PD

图1图2图3图4

(1)知识储备：①如图1,已知点尸为等边0ABe外接圆的弧3c上任意一点.求证:P8+PC=R1.

②定义：在0ABe所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P

为0ABe的费马点，此时PA+PB+PC的值为0ABe的费马距离.

(2)知识迁移：我们有如下探寻S48c(其中她，0B,EIC均小于120。)的费马点和费马距离的方

法：如图2,在0ABe的外部以BC为边长作等边MC。及其外接圆，根据(1)的结论，易知线

段—的长度即为0ABe的费马距离.

⑶知识应用：①如图3所示的0ABe(其中NA/&/C均小于120。),

AB=3,3C=4,ZABC=30°,现取一点P,使点尸到AB、C三点、的距离之和最小，求最小值；

②如图4,若三个村庄A&C构成R/&48C,其中AC=6km,3c=4限m,/C=90°.现选取

一点尸打水井，使P点到三个村庄A氏C铺设的输水管总长度最小，画出点尸所对应的位

置，输水管总长度的最小值为.(直接写结果)

例5.(2020•重庆中考真题)如图，在及—ABC中，ZBAC^9Q°,AB=AC,点。是

BC边上一动点，连接AD,把A。绕点八逆时针旋转90。，得到AE,连接CE,DE.点F是

。£的中点，连接CF.

(1)求证：CF上AD；(2)如图2所示，在点。运动的过程中，当5£)=28时，分

2

别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

(3)在点。运动的过程中，在线段A。上存在一点P,使以+尸5+PC的值最小.当

B4+M+PC的值取得最小值时，AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长.

例6.（2022•河北・九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（0,2）,

点。在x轴的正半轴上，ZODB=30°,0E为EIBOD的中线，过B、E两点的抛物线

>+立x+c与x轴相交于A、歹两点（A在歹的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）

6

等边回。肱V的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；（3）点尸为回A50内的一个动点，

^m=PA+PB+PO,请直接写出用的最小值，以及加取得最小值时，线段AP的长.

例7.（2022•浙江•九年级专题练习）如图，E1A3C中，SBAC=45°,AB=6,AC=4,尸为平

面内一点，求208P+GAP+3PC最小值

B

课后专项训练

1.（2021•山东淄博市•中考真题）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD,如图所

示.若Ncr=30。，则对角线BD上的动点P到AB,C三点距离之和的最小值是

2.（2022•成都实外九年级阶段练习）如图，在中，ZCAB=90°,AB=AC=1,尸是二ABC

内一点，求B4+P3+尸C的最小值为.

3.（2022•广东广州•一模）如图，在R他A8C中，0BAC=9O°,AB=AC,点P是A8边上一动

点，作尸。aBC于点。，线段上存在一点°,当Q4+Q8+QC的值取得最小值，且AQ=2

时，则尸。=

A

4.（2019•湖北武汉•中考真题）问题背景：如图，将AABC绕点A逆时针旋转60。得到AADE,

DE与BC交于点、P,可推出结论：PA+PC=PE

D

问题解决：如图，在AM7VG中，MN=6,NM=75。,MG=4后.点。是AMZVG内一点,

则点O到AMNG三个顶点的距离和的最小值是

5.（2022・重庆•九年级专题练习）如图，EWBC中，0B/4C=30°MAB=AC,P是底边上的高AH

上一点.若AP+BP+CP的最小值为2近，则BC=.

6.（2022・江苏•九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=6,且0ABe=60。，

M是菱形内任一点，连接AM,BM,CM,则AM+BM+CM的最小值为.

7.（2022•陕西•二模）已知，如图在一ABC中，ZACB=30°,BC=5,AC=6,在ABC内

部有一点。，连接。4、DB、DC.则ZM+D3+后DC的最小值是.

A

8.（2022・陕西•八年级期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在BC边上，且BE

=1.点P是AB边上的动点，连接PE,将线段PE绕点E顺时针旋转90。得到线段EQ.若在

正方形内还存在一点M,则点M到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为

9.（2022•广东•九年级专题练习）如图，四边形ABC。是正方形，0ABE是等边三角形，M

为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点、8逆时针旋转60。得到BN,连接EN、

AM.CM.

（1）求证：AMBWENB；

⑵①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由;

⑶当的最小值为6+1时，求正方形的边长.

10.（2022•福建九年级开学考试）如图，四边形ABC。是正方形，AABE是等边三角形，M

为对角线3。（不含B点、）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连接EN、AM、

CM.设点N的坐标为（m,n）.

（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段上，点8（T,0）,40,1）.且=r

（0<?<2）,则点。的坐标为，点C的坐标为；请直接写出点N纵坐标”的

取值范围是;

（2）若正方形的边长为2,求EC的长，以及AM+3M+Q欣的最小值.（提示：连接MN:

^/4+2V3=#）+1，^4—2A/3=y[3—1）

备用图

11.（2022・广东•九年级专题练习）阅读材料:平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、

被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德・费马提出的一个著名的几何问题.1643年，在一封写给

意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性

的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A,B,C,求平面上

到这三个点的距离之和最短的点尸的位置.托里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们

就把平面上到一个三角形的三个顶点A,B,C距离之和最小的点称为，A8C的费马-托里拆

利点，也简称为费马点或托里拆利点.问题解决：

（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法.如图1，我们可以将，BPC

绕点B顺时针旋转60。得到BDE,连接PZ）,可得那尸。为等边三角形，故尸。=尸2,由旋

转可得DE=PC,因PA+PB+PC=PA+PD+DE,由可知，B4+P3+PC的最小值与线段的

长度相等；

（2）如图2,在直角三角形ABC内部有一动点P,SBAC=90。，fflACB=30°,连接E4,PB,

PC,若42=2,求B4+P2+PC的最小值；（3）如图3,菱形ABC。的边长为4,0ABC=6O°,

平面内有一动点E,在点E运动过程中，始终有SBEC=90。，连接AE、DE,在ADE内部是

否存在一点尸，使得B4+PD+PE最小，若存在，请直接写出B4+PZ）+PE的最小值；若不存在，

请说明理由.

12.（2022•山西•九年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：

费马，17世纪德国的业余数学家，被誉为"业余数学家之王”，他独立于笛卡儿发现了解析

几何的基本原理.

费马得到过这样的结论：如图①，当三角形的三个角均小于120°时，在三角形内有一点尸,

使得//皿3=4尸0=/2尸0=120。，且该点到三角形三个顶点的距离之和最小，这个点被

称为费马点.

图①图②

证明：如图②，把绕A点逆时针旋转60。得到，APC',连接PP,则NPAP'=60。,

♦,

W为等边三角形.

/.AP=PP\PC=PC

:.PA+PB+PC=PP+PB+PC,

点C’可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60。而得的定点,BC为定长,

.•.当8、P、P、C四点在同一直线上时，R4+M+PC最小，

这时ZBPA=180°-ZAPP=180°-60°=120°,

ZAPC=ZAP'C'=180°-ZAPP=180°-60°=120°,

ZBPC=360°-ZBPA-ZAPC=360°-120°-120°=120°.

任务：（1）横线处填写的条件是;

（2）已知正方形A3c。内一动点E到4B、C三点的距离之和的最小值为夜+#,求此

正方形的边长.

13.（2022・山西•八年级阶段练习）综合与实践

材料一："转化思想"是几何变换中常用的思想，例如将图形进行旋转变换，实现图形位置的

"转化"，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易.它是一种以变化的、运动的观点来

处理孤立的、离散问题的思想.

材料二：皮埃尔•德•费马（如图），17世纪法国律师和业余数学家，被誉为"业余数学家之

王1638年勒•笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的问题，费马经过思考并由此

推出费马点的相关结论.

定义：若一个三角形的最大内角小于120。,则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为

120，此时该点叫做这个三角形的费马点.如图1,当三个内角均小于120。时，费马点尸

在，ABC内部，此时ZAPB=NBPC=ZCPA=120°,PA+PB+PC的值最小.

图4

(1)如图2,等边三角形ABC内有一点尸，若点P到顶点的距离分别为3,4,5,求

的度数.为了解决本题，小林利用"转化”思想，将一A5尸绕顶点A旋转至ACP处，

连接尸产,此时，ACP'M这样就可以通过旋转变换，将三条线段尸4尸8,PC转化到一

个三角形中，从而求出Z4PB=°；

(2)如图3,在图1的基础上延长3尸，在射线上取点RE,连接使AO=AP,

ND4E=NP4C,求证：BE^PA+PB+PC；(3)如图4,在RtABC中，

NABC=90,ZACB=30°,48=1,点尸为RtABC的费马点，连接AP,BP,CP,请直接写出

B4+P3+PC的值.

14.(2022•重庆藜江•九年级期末)如图，在菱形ABC。中，0ABe=60。，点£、尸分别是A3、

上的动点，连接。E、DF.EF.

图1图2

(1)如图1,连接AF,若AE3BC,E为AB的中点，且EF=5,求。尸的长；

(2)如图2,若BE=BF,G为。E的中点，连接AG、FG,求证：AG0FG；

⑶如图3,若AB=7,将勖石尸沿EF翻折得到SEEP(始终保持点P在菱形ABCD的内部),

连接AP、BP及CP,请直接写出当R1+P8+PC值最小时尸3的长.

15.(2022•广东•九年级专题练习)如图，抛物线；y=^+法+；经点A。,。),8(5,0),与y轴

相交于点C.

1)求抛物线的解析式；⑵定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距

离，称为点到二次函数图象的垂直距离.如：点0到二次函数图象的垂直距离是线段OC的

长.已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以

为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点尸到二次函数图象的垂直距离.(3)在(2)中，

当点尸到二次函数图象的垂直距离最小时，在A,瓦瓦厂为顶点的菱形内部是否存在点。，

使得AQ,8Q,尸。之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

备用图

专题12最值模型-费马点问题

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模

型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说

明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶•德・费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫

业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领

域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大

定理”等.费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

【模型解读】

结论1：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM,当M与三个顶点连线的

夹角为120。时，MA+MB+MC的值最小。

注意:上述结论成立的条件是AABC的最大的角要小于120°,若最大的角大于或等于120°,

此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）

【模型证明拟AB为一边向外作等边三角形△ABE,将绕点B逆时针旋转60。得到BN,

连接EN.

:△ABE为等边三角形，：.AB=BE,ZABE=60°.而NMBN=60。，:.NABM=NEBN.

AB=BE

在小AMB与△ENB中，•/JZABM=NEBN，•*-AAMBmAENB(SAS).

BM=BN

连接MN.由AAAffi丝△ENB知，AM=EN.；NMBN=60°,BM=BN,:.ABMN为等边

三角形.

：.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM..•.当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM

的值最小.

此时，N8MC=1800-NNMB=120°；NAMB=/ENB=180°-/BNM=120°；

ZAMC^360°-ZBMC-120°.

费马点的作法：如图3,分别以AA8C的A8、AC为一边向外作等边AA8E和等边△AC凡

连接CE、BF,设交点为则点M即为△A8C的费马点。

结论2：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP,求xAP+yBP+zCP最小值。（加

权费马点）

【模型证明】第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=y（£AP+BP+-CP），如图，B、尸、P2,4四点共线时，

yy

取得最小值。

模型特征：PA+PB+PC（尸为动点）

①一动点，三定点；②以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最外

的顶点与已知三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点；③同时

线段前可以有不为1的系数出现，即：加权费马点。

【最值原理】两点之间，线段最短。

例1.（2021•山东滨州•中考真题）如图，在，ABC中，ZACB=90°,/胡C=30。，AB=2.若

点P是.ABC内一点,则PA+PB+PC的最小值为.

B

【答案】不

【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转AAPB至SAPE,旋转角是60。，

作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到

PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,再根据两点之间线段最短，可以得到%+PB+PC的最小值就是C&的

值，然后根据勾股定理可以求得C&的值，从而可以解答本题.

【详解】以点A为旋转中心，顺时针旋转AAPB到△AP'B',旋转角是60°,连接BB'、PP',CB',

如图所示，

贝lJ/%P，=60°,AP=AP，，PB=P，B，，.^.△APP，是等边三角形，.^.AP=PP，，.^.PA+PB+PC=PP，+PB+PC,

'：PP'+P'B'+PC>CB',，PPWB，+PC的最小值就是CB，的值，即R4+PB+PC的最小值就是CB'的

值，

ZBAC=30°,ZBAB'=60°,AB=AB'=2,：.ZCAB'=90°,AB'=2,AC=AB»cosZBAC=2xcos30°=

2XB=0,

2

.,.CB'=ylAC2+AB'2-故答案为：币.

c

【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的

关键是作出合适的辅助线，得出力+PB+PC的最小值就是CB，的值，其中用到的数学思想是

数形结合的思想.

例2.（2021•辽宁丹东•中考真题）己知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形

的费马点.如果池。是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足

NAPB=NBPC=NCPA=120。.（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）.若

AB=AC=®BC=26,P为ABC的费马点，贝|JR4+PB+PC=；若

AB=2y/3,BC=2,AC=4,P为ABC的费马点，贝ijR4+P3+PC=.

【答案】52币

【分析】①作出图形，过民C分别作".=/。"=30。,勾股定理解直角三角形即可

②作出图形，将△APC绕点A逆时针旋转60。，。为.4?。的费马点则B,P,P',C'四点共线,

即%+P3+PC=BC,再用勾股定理求得即可

【详解】①如图，过A作AD_LBC,垂足为

过氏C分别作NO3P=/ZXP=30。，则尸5=PC,P为ABC的费马点

AB=AC=SBC=26:.BD=DC=3BC=6tan30°=—=—

2BD3

PD___________

PD=1PB=——=2AD=^AB2-BD2=^7-3=2--PA+PB+PC=5

sm30

②如图：AB=2^/3,BC=2,AC=4.AB2+BC2=16,BC2=16

AB2+BC2=AC2ZABC=90°sinABAC=—=1=sin30°ABAC=30°

AC2

将△AFC绕点A逆时针旋转60。由旋转可得：AAPC^/\AP'C

AP'=AP,PC=PC,AC=ACZCAC=ZPAP1=60°APP'是等边三角形，二

ABAC=90°

P为，ABC的费马点，即氏P,P',C'四点共线时候，PA+PB+PC=BC

•••PA+PB+PC=BP+PP'+P'C'=BC=^JAB2+AC'2=J（2君>+4?=2s故答案为:①5,

②2币

【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的

图形是解题的关键.本题旋转△上4民△尸BC也可，但必须绕顶点旋转.

例3.（2022•宜宾•中考真题）如图，,MC和,愈£都是等腰直角三角形，ZBAC=ZZME=90°,

点。是BC边上的动点（不与点8、C重合），与AC交于点F,连结CE.下列结论：

CF4

①BD=CE；②ZDAC=NCED；③若%>=2CD,则丁==;④在内存在唯一

~AF5

一点尸，使得“4+尸8+尸。的值最小，若点。在A尸的延长线上，且A尸的长为2,则

CE=2+y/3.其中含所有正确结论的选项是（）

C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】证明白胡度一C4E,即可判断①，根据①可得/4DB=NAEC,由

/4DC+/4EC=180°可得ARCE四点共圆，进而可得/Q4C=NDEC,即可判断②，过

点A作AG1BC于G,交即的延长线于点〃，证明根据相似三角形的性质

CF4

可得丁==，即可判断③，将绕A点逆时针旋转60度，得到△AB'P，则APP'是

等边三角形，根据当",p,尸,c共线时，K4+P8+PC取得最小值，可得四边形妣下是正

方形，勾股定理求得DP，根据CE=AD=AP+PD即可判断④.

【详解】解：ABC和：4下都是等腰直角三角形，ZBAC=ZZME=90°,

AB=AC,AD^AE,/BAD=NCAEABAD^ACAE：.BD=CE故①正确；

BAD^_CAEZADB=ZAECZADC+ZAEC=180°.1ADC,E四点共圆，

CD=CD;.4MC=NDEC故②正确；如图，过点A作AG1BC于G,交ED的延长线于点

BAD^_CAEZACE=ZABD=45°,ZACB=45°.-.ZDCE=90°：.FC//AH

r)c1CD1

BD=2CD,BD=CE..tan/DEC=——二—,——二—

CE2BC3

设BC=6a,则。C=2〃，AG=^-BC=3a,EC=2DC=4c^\GD=GC—DC=3a—2a=a

2

GDI

FC//AHtanH=——=-GH=2GD=2aAH=AG+GH=3。+为=5。

GH2

CFCFCF4/74CF4…

由比，,一碗s/CE.•行=初.•.赤=丁］则而下故③正确

如图，将jAB尸绕A点逆时针旋转60度，得到Wp,则APP'是等边三角形,

:.PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC>B'C,当3',尸'，尸，。共线时，B4+PB+PC取得最小值,

此时NCB4=180°—NAPP=180°-60。=120。,

ZAPB=ZAP®=180°—ZAP'P=180°-60°=120。,

ZBPC=3600-ZBPA-ZAPC=360°-120°-120°=120°,此时ZAPB=ZBPC=ZAPC=120°,

AC=AB^AB',AP=”，ZAPC=ZAP'B',:.^AP'B'^._APC,:.PC=PB'PB,

ZAPP'=ZDPC=a)°,.•.。/>平分/8P。，..「。18。,

A,DC,E四点共圆，：.ZAEC^ZADC=90°,

又AD=OC=8D.54。空.C4E,.♦.AE=EC=4)=OC,则四边形4)CE是菱形,

又NADC=90。，:四边形ADCE是正方形,

ZB'AC=NB'AP+ZPAC+ZPAP=90°+60°=150°,

则8'A=班=AC,NB，=/ACB'=；(180°-ZB'AC)=15°,

ZPCD=30°,-.DC=s/3PD,DC=AD,AP=2,

则AP=AD—£>P=(g-l)£>P=2,:.DP=-^-^=yf3+l,

AP=2,CE=AD=AP+PD=y/3+3,故④不正确，故选B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，费马点，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定,

全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质与判定，掌握以上知识

是解题的关

例4.(2022•江苏•九年级阶段练习)探究题

3()。

图3图4

(1)知识储备:①如图1,已知点P为等边0ABe外接圆的弧8C上任意一点.求证:PB+PC=B4.

②定义：在0ABe所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P

为0A8C的费马点，此时PA+PB+PC的值为a42c的费马距离.

（2）知识迁移：我们有如下探寻0ABC（其中0A,勖，IBC均小于120。）的费马点和费马距离的方

法：如图2,在0ABe的外部以BC为边长作等边SBCD及其外接圆，根据⑴的结论，易知线

段—的长度即为财8C的费马距离.

⑶知识应用：①如图3所示的（其中/A/&NC均小于120。），

AB=3,BC=4,ZABC=30°，现取一点P,使点P到A民C三点的距离之和最小,求最小值；

②如图4,若三个村庄AB、C构成R/I3A8C,其中AC=6km,8C=40km,NC=9O°.现选

取一点尸打水井，使尸点到三个村庄AB、C铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的

位置，输水管总长度的最小值为.（直接写结果）

【答案】⑴证明见解析；（2）AD（3）5,2而.

【分析】（1）在以上截取PD=PC,可证明HACOEHBCP,则4£>=尸2,从而得出B4=PB+PC；

（2）利用（1）中结论得出B4+P8+PC=B4+（PB+PC）=B4+Pr>,再根据"两点之间线段最短"

可得答案；

（3）①在（2）的基础上先画出图形，再利用勾股定理求解；

②仿照①的方法可画出产的位置，利用勾股定理可求出输水管总长度的最小值，

（1）解：①证明：在必上截取尸£）=PC,连接CD,

SAB=AC=BC,所以A8=AC=BC,

00APB=E1APC=6OO,EHPCZ)为等边三角形，00PC£)=0ACB=6O°,CP=CD,

EZPCD-ZDCM=ZACB-NDCM,即0ACMBCP,

AC=BC

在她CD和回BCP中,IZACD=ZBCP00ACD00BCP(SAS),^AD=PB,

CP=CD

^PA=AD+DP,DP=PC,0B4=PB+PC；

(2)如图2,根据(1)的结论得：PA+PB+PC=PA+{PB+PC)^PA+PD,

国当A、P、。共线时，E4+PB+PC的值最小，

团线段的长度即为0ABe的费马距离，故答案为：AD；

(3)①如图，以BC为边长在财BC的外部作等边SBC。，连接A。，则线段A。的长即为最

短距离，

瓯BCD为等边三角形，BC=4,fflCBD=60°,BD=BC=4,

00ABC=3O°,00AB£)=9O°,在R/HAB。中，0AB=3,BD=4,

EAD=~JAB2+BD1=-S/32+42=5;

②以BC为边，在BC下方作等边I33CK,设等边EIBCK外接圆为回。，连接AK交回。于P,

则由①知此时以+PB+PC最短，且最短距离等于AK的长度，过K作K70AC交AC延长线

于T,如图：

瓯BCK是等边三角形，a3BCK=60°,CK=BC=&6E0CAB=9O0,0.EITCK=30。，

在R/0AKT中，TK、CK=2瓜CT=£TK==6,0

22

AT=AC+CT=6+6=12,

在Rl^AKT中，AK=>]AT2+TK2=J12?+(2时=2739，故答案为：2而.

【点睛】本题考查圆的综合应用，也是阅读理解型问题，主要考查了新定义：三角形费马点

和费马距离，还考查了等边三角形的性质、三角形全等、勾股定理等知识，难度很大，理解

新定义是本题的关键.

例5.(2020重庆中考真题)如图，在ABC中，4AC=90°,A6=AC,点。是

BC边上一动点，连接AD,把AD绕点A逆时针旋转90。，得到AE,连接CE,DE.点F是

OE的中点，连接CR

(1)求证：CF=*AD；(2)如图2所示，在点。运动的过程中，当3£)=28时，分

2

别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

(3)在点。运动的过程中，在线段4。上存在一点P,使B4+P5+PC的值最小.当

PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长.

GEA

AA

【答案】（1）证明见解析；（2）BC=3也AG;（3）CE=—

【分析】（1）先证ABAD取ZkCAE,可得/ABD=NACE=45。，可求/BCE=90。，由直角三角

形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；（2）连接AF,由（1）得AABDMAACE,

CE=BD,ZACE=ZABD=45。,推出ZDCE=ZBC4+ZACE=450+45°=90°,然

后根据现有条件说明

在Rf_DCE中,DE=4CD2+CE-=4CD1+BD2=-J5CD>点A,D,C,E四点共圆，F

为圆心，贝ICF=AF,在Rt_AGC中，推出AG=^CG2-AC2=JsCD2-—C£>2=—CD,

V42

即可得出答案；

（3）在AABC内取一点P,连接AP、BP、CP,将三角形ABP绕点B逆时针旋转60。得到AEBD,

证明点P位于线段CE上，同理得到点P位于线段BF上，证明NBPC=120。，进而得到

ZAPB=ZBPC—Z.CPA=120°,设PD为。，得出BD=，AD-BD-y/3a>得出

a+m=®，解出a,根据即可得出答案.

【详解】解：（1）证明如下：,/ABAC=ZDAE=90°,ZBAD=ZCAE,VAB=AC,

AD=AE,

ZBAD=ZCAE

...在△AB。和△4。石中（AB=AC,：.AABD=AACE,

AD=AE

：.ZABD=ZACE=45°,AZDCE=ZACB+ZACE=90°,

在HfAADE中，F为DE中点（同时A£>=AE）,ZADE=ZAED=45。,

：.AFLDE,即HLADE为等腰直角三角形，•••AF=DF=、一AD,

2

・：CF=DF,：.CF=—AD；

2

（2）连接AF,由（1）得AABDwAACE,CE=BD,ZACE=ZABD=45。,

：.ZDCE=ZBCA+ZACE=45°+45°=90°,

在RtDCE中，DE=4CD2+CE2=^CD2+BD2=^CD>

：F为DE中点，/.DF=EF=-DE=—CD,

在四边形ADCE中，有/DAE=ZDCE=90°,ZDAE+ZDCE=180°,.•.点A,D,C,E四

点共圆，

:F为DE中点，；.F为圆心，则（/二人/，

在AGC中，：中二”，，F为CG中点，即CG=2CF=Jk：D，

/.AG=y/CG2-AC2=J5CD2--C£>2-—CD,即8C=3^2AG;

V42

GE

(3)如图1,在AABC内取一点P,连接AP、BP、CP,将三角形ABP绕点B逆时针旋转60。

得到AEBD,得到ABPD为等边三角形，所以PD=BP,AP+BP+CP=DE+DP+CP,

.•.当K4+PB+PC的值取得最小值时，点P位于线段CE上；

B图1

A

图2

如图2,将三角形ACP绕点C顺时针旋转60。得到△FCG,得到△PCG为等边三角形，所以PC=GP,

；.AP+BP+CP=GF+GP+BP,当？A+M+PC的值取得最小值时，点P位于线段BF上；

综上所述：如图3,以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF,连接CE、BF,

则交点P为求作的点，.♦.△AEC丝ZiABF,NAEC=/ABF,/EPB=EAB=60°,二/BPC=120°,

如图4,同理可得，ZAPB^ZBPC=ZCPA=120°,：.ZBPD=60°,设PD为

BD=y/3a，

又AD=BD=6a，；.a+m=6a，m=（布-l）a。=冒、又BD=CE：.

e3+6

CE=-----m.

2

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，

旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解本题的关键.

例6.（2022■河北■九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（0,2）,

点。在x轴的正半轴上，NOD6=30°,0E为团BOD的中线，过B、£两点的抛物线

丫="2+必^+°与*轴相交于人、/两点（A在厂的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）

6

等边国0MN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；（3）点户为团AB0内的一个动点,

设加=24+尸6+尸。，请直接写出〃z的最小值,以及〃z取得最小值时，线段AP的长.

【答案】（1）、=一工必+且x+2（2）AE=y/13；AM=AM=（3）可

■261313

以取到的最小值为当，〃取得最小值时，线段AP的长为之姮

13

【分析】（1）已知点B的坐标，可求出0B的长；在RtAOBD中，已知了回ODB=30°,通过解

直角三角形即可求得0D的长，也就得到了点D的坐标；由于E是线段BD的中点，根据B、

D的坐标即可得到E点的坐标；将B、E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数

的值，由此确定抛物线的解析式；

（2）过E作EG取轴于G,根据A、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长；过。作AE的

垂线，设垂足为K,易证得AAOK回回AEG,通过相似三角形所得比例线段即可求得OK的长；

在RtAOMK中，通过解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的长可在R3AOK中由勾股

定理求得，根据AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的长；（3）由于点P到AABO三顶

点的距离和最短，那么点P是AABO的费马点，即回APO=13OPB=l3APB=120。；易证得AOBE是

等边三角形，那么PA+PO+PB的最小值应为AE的长；求AP的长时，可作AOBE的外接圆（设

此圆为国Q）,那么回Q与AE的交点即为m取最小值时P点的位置；设回Q与x轴的另一交点

（0点除外）为H,易求得点Q的坐标，即可得到点H的坐标，也就得到了AH的长，相对

于回Q来说，AE、AH都是回Q的割线，根据割线定理（或用三角形的相似）即可求得AP的长.

【详解】（1）过E作EGI30D于G0[3BOD=0EGD=9OO,0D=0D,00BOD00EGD,

团点B(0,2),0ODB=3O°,可得OB=2,00=273;

EGDEGD1

ISE为BD中点，0—=—=—=一EIEG=1,GD=JiEOG=Ji0点E的坐标为(如，1)

BODBOD2

团抛物线y=ar2+*x+c经过B(O,2)、网收1)两点，

回1="(行『+走x百+2.可得口=一，.回抛物线的解析式为、=-工/+且x+2.

I,6226

(2)回抛物线与x轴相交于A、F，A在尸的左侧，回A点的坐标为卜6,0).过E作EG取轴

于G

回AG=2区EG=1，团在AAGE中，ZAGE=90°,AE=«2国+12=屈.过点0作0K团死于

K，

可得aAOK回团AEG.0—.团窄=2.^\OK=^-SAK=ylAO2-OK2=.

AOAEA/3J131313

屈

瓯。MN是等边三角形，回4W=60°.回依4OK病.

tanZKMO7313

易证0E=0B=2,