2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路：数列求通项（隔项等差（等比）数列）（学生版+解析）

专题04数列求通项(隔项等差(等比)数列)

(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍..............................................1

二、典型题型..............................................2

题型一：隔项等差数列...................................2

题型二：隔项等比数列..................................10

三、专题04数列求通项(隔项等差(等比)数列)专项训练.......3

一、必备秘籍

1、隔项等差数列

已知数列｛。,｝,满足a.+i+a.=/(")------⑴，

则an+2+an+\=/("+1)-----(2)；+_1)------(3)

(2)-(1):4+2-a”=d(其中。为常数)；或⑴一(3):an+x-an_x=d(n>2)则称数列｛%｝

为隔项等差数列，其中：

①1,4,%，叫…构成以%为首项的等差数列，公差为d;

②为，。4，。6，。8…构成以。2为首项的等差数列，公差为d；

2、隔项等比数列

已知数列｛%｝,满足%+1•%=/(H)------(1)，

a

则4+2,n+\=/(n+1)------(2)；an-an_x=/(n-1)------(3)

出=q(其中q为常数)；或?：&旦=鼠〃22)则称数列伍“｝为隔项等比数列,

(1)an(3)%

其中：

①q,%,%，%…构成以%为首项的等比数列，公比为q;

②外,4，。6，。8…构成以为首项的等比数列，公比为q；

二、典型题型

题型一：隔项等差数列

1.（23-24高三上•湖南益阳•期末）已知他“｝是等差数列，满足:对V九eN*，a“+an+x=In,

则数列仅“｝的通项公式4=（）

A.nB.n-1C.n--D.n+-

22

2.（2024高三・全国・专题练习）已知数列｛a.｝的前〃项和为S“，a,=1,an+an+l=2n+l,

则%o的值为，S21的值为.

3.（2024•广西•二模）在等差数列｛%｝中，出=6,且等差数歹匹凡+“用｝的公差为4.

（1）求“io;

4.（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛aw｝满足aw+a〃"=2"，a7=l（”WN*）,求数列｛aw｝

的通项公式.

5.（四川省眉山市2024届高中第三次诊断性考试数学（文史类）试题）将①q=1,

atl+an+l=4n,②用+病+…+底=”（'）,③%＞。，4S.-1=寸+2对之一填入空

格中（只填番号），并完成该题.

已知臬是数列｛4｝前〃项和，.

（1）求｛q｝的通项公式；

4.（江苏省苏州市第十中学2023-2024学年高二数学10月阶段检测数学试题）在①

aa2，，+1

n,1+i=2>（2）20^~（an+I-an+l=0,③a“+]+/+…+%+2,这三个条件中任

选一个，补充在下面问题中，并解答（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给

分）

已知正项数列｛4｝满足，6=2,.

（1）求数列｛q｝的通项公式：

三、专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练

1.（广东省深圳市2023届高三二模数学试题）已知数列｛4｝满足，4=3,1M=9x221,

N*.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

2.（湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题）已知数列｛q｝的前"项和为

%满足2s“+a“=3；数列也｝满足6“+%=2〃+1,其中4=1.

（1）求数列｛4｝,｛〃｝的通项公式；

3.（河北省唐山市玉田县2018-2019学年高一下学期期中数学试题）已知数列｛巩｝的前"项

和为S",2Sn=anan+l,且％=3,。,产0,（neN*）

（1）求出，并证明：当〃22时，氏+1-2.

4.（新疆维吾尔自治区普通高考2022届高三第一次适应性检测数学（理）试题）已知数列

｛%｝满足4=2%=2,an+2=an+9-4"-.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

专题04数列求通项(隔项等差(等比)数列)

(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍..............................................1

二、典型题型..............................................2

题型一：隔项等差数列...................................2

题型二：隔项等比数列..................................10

三、专题04数列求通项(隔项等差(等比)数列)专项训练.......3

一、必备秘籍

1、隔项等差数列

已知数列｛2｝,满足4+1+4="")------(1),

aa

则n+2+n+i=/~(〃+1)------(2)；+an_x=------(3)

(2)-(1)：4+2-4,=d(其中d为常数)；或⑴一(3):a.-*=d(n>2)则称数列｛4｝

为隔项等差数列，其中：

①1,4,%，叫…构成以%为首项的等差数列，公差为d;

②生,4，。6，4…构成以为首项的等差数列，公差为d；

2、隔项等比数列

已知数列｛%｝,满足%+1•%=/(H)------(1)，

a

则4+2,n+\=/(n+1)------(2)；an-an_x=/(n-1)------(3)

名:嗅=q(其中q为常数)；或?：4包=q(〃22)则称数列｛为｝为隔项等比数列,

(1)an(3)%

其中：

①q,%,%，%…构成以%为首项的等比数列,公比为q；

②外,4，。6，。8…构成以为首项的等比数列，公比为q；

二、典型题型

题型一：隔项等差数列

1.(23-24高三上•湖南益阳•期末)已知｛an｝是等差数列，满足:对V"eN*，4+an+i=In,

则数列仅“｝的通项公式4=()

B.n-1D.n+—

【答案】C

【分析】由％+。”+1=2〃得氏+1+。.+2=2〃+2,两式相减得。“+2-%=2,可得d的值，可得

答案.

4+«„i=

【详解】解:由+2n得an+l+an+2=2n+2,

两式相减得勺+2-。(1=2=2〃=>〃=1,

故。“+。“+d=2〃na“=.

故选C.

【点睛】本题主要考查由递推公式求等差数列的通项公式，由已知得出氏+2-4=2是解题

的关键.

2.(2024高三•全国•专题练习)已知数列｛a.｝的前〃项和为S,，囚=1,an+an+i=2n+l,

则%0的值为，521的值为.

【答案】20231

【分析】由数列的递推关系式可得｛加｝的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，由等

差数列的通项公式和前n项和公式求解即可得到答案.

【详解】将"=1代入an+an+i—2n+l中得。2=3-1=2.

Btjan+an+i=2n+l(l),an+i+an+2=2n+3(2).

②一①，得an+2—。"=2,所以数列｛an｝的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，

则<721=1+10x2=21,020=2+9x2=20,

.....................(1+21)x11,(2+20)x10

S21—(ai+aj+as+...+021)+(02+04+05+...+020)-----------1-------------231.

故答案为：20；231

【点睛】本题考查数列递推关系式的应用，考查等差数列的通项公式和前"项和公式的应用，

属于基础题.

3.（2024・广西•二模）在等差数列｛%｝中，的=6,且等差数歹£%+“向｝的公差为4.

（1）求“io;

【答案】⑴/=22；

【分析】（1）利用等差数列的求出公差d,再求得首项%后可得通项公式；

【详解】（1）设］“｝的公差为d,则（4+i+4+2）一（4+4+1）=4+2-4=2d=4,d=2,

又的=6,所以弓=6-2=4,

所以。力=4+2（“-1）=2〃+2,«1（,=22.

4.（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛即｝满足aw+a〃"=2〃，a7=l（“WN*）,求数列｛即｝

的通项公式.

…拈、_\n,〃为奇数

【详解】

解：由即+〃几+/=2〃①，得应2时，an-i~\-an=2（n—l）②.由①一②得加即_/=2,

所以该数列奇数项和偶数项分别成公差为2的等差数列，由见+〃2=2,得〃2=1,

._｛n,〃为奇数

‘为偶数

5.（四川省眉山市2024届高中第三次诊断性考试数学（文史类）试题）将①弓=1,

4+4+1=4〃，②+S+…+底="丁）,③%>0，他-1=片+2见之一填入空

格中（只填番号），并完成该题.

已知S,,是数列｛%｝前w项和，.

⑴求｛%｝的通项公式；

［答案］⑴%=2〃-1

【分析】（1）若选①，类比作差证明数列是隔项等差数列即可；

若选②，利用类比作差和阶差法可以求解；

若选③，利用公式作差后因式分解，找出。“与的关系，再根据等差数列的定义和通项

公式即可求出4,=2"-L

（2）利用数学归纳法证明结论即可.

【详解】（1）若选①：

因为4,+“用=4〃

所以见_1+。.=4(〃-1)(〃22),

两式相减得。“+1-=4,

所以｛%｝是隔项等差数列，

a｛+a2=4且〃]=1,

n—1

所以q,=q+(^-)d=2w-l("为奇数)，

YI—2

^n=a2+(—^~)d=2n-15为偶数)，

所以。“二2〃-1.

若选②:屈+厄+…+厄=n(n；D，

所以后+病+…+师=”为，

两式相减得，£=〃，

所以S,="2,

所以=S“-Se=2〃-L

若选③：

因为45“-1=。；+2。“①，

所以4"1=。"2%(〃22)②，

所以4(5,-3-)=a^+2an--24T，

即4a“=a；+2an--2%,

所以a；-2a“-a3-2a,i=。,

所以(4+%.i)(4-i)-2(a“+%_])=0,

所以(%+%"(%-)-2(%+%_])=0,

所以(4+%一J(4-%.i-2)=0,

因为所以%+。〃一1"°，

所以a“一%T-2=0,

所以%-a,i=2,

=

3^,441—1a；+2q,

所以。；-2弓+1=0,

所以("1一1)=0,

所以4=1，

所以｛%｝是首项为1,公差为2的等差数列,

所以为=1+（〃-1）*2=2〃-1,

所以｛凡｝的通项公式。"=2”L

6.（2023届山东省潍坊市三县高三最后一次模拟考试理数）已知数列｛见｝满足

%+1+。〃=4〃一3（几eN*）.

（1）若。i=2,求数列｛4｝的前〃项和，；

2〃？—3〃+5c71

---------------,n=2k-l

【答案】（1）5„=,2，4eZ+；（2）（y，T31，+"）・

2"-3n2k

I2

【分析】（1）由%+l+。“=4〃一3（〃£N*）得q^+2+a〃+l=4〃+l（〃£N*）,两式相减，得

〃〃+2一为二%分奇数、偶数两种情况，分别利用等差数列通项公式求解即可;

【详解】(I)由%+%=4"3(二wN*),an+2+an+1=4n+l(nGN*),

两式相减，得〃〃+2一心=4.

所以数列｛的〃7｝是首项为生,公差为4的等差数列；数列｛%/是首项为〃2,公差为4的等

差数列.

=

由。2+%=1，%=2,得出—1.

2n,n=2k-\卜才

所以。〃二

2n—5,n=2k'

①当〃为奇数时，an=2n,

Sn=%+a?+%+...+cin=(q+%)+(/+%)+•••+(。〃_2+。九-1)+

〃一1

——x(l+4n-ll)。2公「

2'入2n-3n+5.

=l+9+...+(4n—11)+2〃=--------------------+2n=---------------

22

n

②当为偶数时，5〃=%+%+/+■••+〃〃=(4+%)+(%+。4)+,一+(见一1+。〃)

Y八.f2n2-3n

=1+9+...+(4〃—7)=---------

2/—3〃+5

,n=2k-l

2

所以S.二欢wZ+

2n2-3Tl

,n=2k

2

题型二：隔项等比数列

L（多选）（广东省广州市白云区2023-2024学年高二上学期期中数学试题）已知数列｛q｝

中，4=1,an-an+t=r,”eN*,则下列说法正确的是（）

A.«4=9B.｛%/是等比数列C.a2n-a2n_i=2-rD.生“一+出”=4・3片

【答案】ABD

【分析】先由。""用=3"分析出数列｛4｝的奇数项和偶数项均为等比数列，再逐项判断即可.

【详解】解：数列｛%｝中，q=1,an-an+l=y,neN,

所以q♦%=3,即。2=3

因为凡“1=3"，所以%+「%+2=3向

所以吐=3

所以数列｛4｝的奇数项和偶数项，均为以3为公比的等比数列

所以%=3X3"T=3"

为"T=1X3"T=3"T

2

对A,a4=3=9,故A正确；

对B,由分析知，｛的,｝是等比数列，故B正确；

对C,%-*=3"-3日=2.32,故C错误；

对D,+%,=3"+3"一’=4・3"一，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题的关键是通过对已知数列的递推公式进行变形整理，得到新的递推

公式，从而得到数列｛%｝的奇数项和偶数项均为等比数列.

2.（北京市大兴区2023届高三上学期期末检测数学试题）已知数列｛4｝中，q=l,

。•。加=2"，［。*，则下列结论错误的是（）

A.%=2B.%—%=2

C.｛%｝是等比数列D.%7+羯=2向

【答案】D

【分析】AB项，分别令〃=1,n=2,〃=3求出。2，。3，〃4的值验证；CD项，由%•4+i=2"可

得4+4+2=2M，^-=2,继而得至|｛%“｝及｛%“_1｝均为等比数列，根据等比数列的通项

4”

求解.

【详解】当〃=1时，％=2〃=2=>g=2,故A正确.

n

当〃=2时，an-an+i=2na2a3=22n2•%=4n%=2,

当〃=3时，an-an+x=2"n/g=2^n2•&=8n%=4,/.a4-a3=2,故B正确.

C项，•・.。屋%+1=2”①，

二•4+1。〃+2=2〃”②，

所以祟得吐=2,所以&旦=氏也=2,二.｛%,｝是以电为首项，2为公比的等比数列，

a

①na2na2n

故C正确.

D项，由C项得a2n=a2-2"T=2-2"一'=2",

又•.•必也=2,&"巴=2,.M%-｝是以q=l为首项，2为公比的等比数列，

a2n-la2n-l

lB+1

：.*=%.2"T=2"T...%“T+a2n=2"T+2"=2"-'+2x2"一=3xT~丰2,故D错误.

故选：D

3.（四川省德阳市2023-2024学年高二下学期期中数学理科试题）已知正项等比数列｛““｝对

任意的"WN*均满足%*=2”，

（1）求｛%｝的通项公式；

【答案】⑴4=2,

【分析】⑴根据%*=?用，得当"22时，%T%=22M,两式相除可求得公比，再求

出首项，再根据等比数列得通项即可得解；

【详解】（1）设公比为4（4>。），

由的用=2?用,得当心2时,4T练=22"T,

两式相除得色包=4=d,所以q=2,

a„-!

3

又aYa2=2,贝2"；=8,所以q=2（a1=-2舍去），

所以=2x2"—=2"；

4.（江苏省苏州市第十中学2023-2024学年高二数学10月阶段检测数学试题）在①

aa2+1

nn+\=2">②2。；一（q+1-2”“-%]=。，③%+]=%+。2+…+%+2,这三个条件中任

选一个，补充在下面问题中，并解答（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给

分）

已知正项数列｛4｝满足，4=2,.

⑴求数列｛凡｝的通项公式：

由=9x2]，％=3得。2=6,

所以，数列｛生i｝是首项为3,公比4为的等比数列，%M=3X22〃-2,

数列｛%,｝是首项为6,公比为4的等比数列，的“=6x41=3x22^,

综上，数列｛4｝的通项公式为%=3x2。

2.(湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题)已知数列｛%｝的前"项和为

Sn,满足2s“+。“=3；数列也｝满足2+%=2〃+1,其中仇=1.

(1)求数列｛4｝,｛2｝的通项公式；

【答案】⑴,bn=n[n6N*)

【分析】(1)根据S“,a,的关系式可得｛%｝是首项为1,公比为g的等比数列，再根据

b„+bn+l=2〃+1可分别对｛〃｝的奇数项和偶数项分别求通项公式可得

【详解】(1)由说+见=3①，当"22时，2s,一+%=3②，

。②得2an+an-an_x=0..-.a„=-«„_1(«>2),

当”=1时，2%+%=3,/.q=1,

二.｛%｝是首项为1,公比为g的等比数列，故eN*),

由4+%=2"+1③.由伉=1

得仇=2,又%+%2=2〃+3④.

④-③得以2-2=2,

｛b,,｝的所有奇数项构成首项为1,公差为2的等差数列：

所有偶数项构成首项为2,公差为2的等差数列.

得打“_]=1+(〃-1)x2=2〃一I,%。=2+(n—l)x2=2n,;.b,=〃(〃eN*).

综上可得%=')也="(〃eN*)；

3.(河北省