2024-2025学年人教版八年级数学上册复习：垂直平分线的性质与判定（解析版）

特训11垂直平分线的性质与判定

【特训过关】

I.线段48的垂直平分线上一点P到点/的距离为5,则点尸到点8的距离（）

A.等于5B.大于5C.小于5D.无法确定

【答案】A.

【解析】解：•••点尸在线段A8的垂直平分线上，

PB=PA,

PA=5,

：.PB=5,

故选：A.

2.如图，在△48C中，是8c的垂直平分线.若4B=5,AC=8,则△46。的周长是（

【答案】A.

【解析】解：是8c的垂直平分线，

/.BD=CD,

：.AABD的周长是Z8+8£）+AD=A8+C£）+AD=Z8+ZC=13.

故选：A.

3.如图，三座商场分别坐落在/、B.C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离

相等，该地铁站应建在（）

A.三角形三条中线的交点B.三角形三条高所在直线的交点

C.三角形三个内角的角平分线的交点D.三角形三条边的垂直平分线的交点

【答案】D.

【解析】解：：该地铁站到三座商场的距离相等,

该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点处.

故选：D.

4.如图，在中，AC=5,BC=3,48的垂直平分线分别交48、AC于点、D、E,则ABCE的

周长等于（）

B.6C.7D.8

【答案】D.

【解析】解：是线段48的垂直平分线,

:.AE=BE,

VAC=5,BC=3,

：.ABCE的周长=8£+CE+8C=ZC+8C=5+3=8.

故选：D.

5.如图，尸为A45C内一点，过点尸的线段"N分别交46、8c于点M、N,且M、N分别在尸Z、

PC

的中垂线上.若N48C=80°,则N4PC的度数为（）

C.130°D.135°

【答案】C.

【解析】解：：NA8C=80°,

/.ZBMN+ZBNM=180°-80°=100°,

:M、N分别在尸幺、尸C的中垂线上,

：.MA=MP,NC=NP,

ZMPA=ZMAP,NNPC=NNCP,

：.AMPA+NNPC=3（/BMN+NBNM[=50°,

/.Z^PC=180°-50°=130°,

故选：C.

6.在△45C中，N8=50°,ZC=35°,分别以点/和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧

2

相交于点M,N,作直线交5c于点。，连接Z。，则/氏4。的度数为（）

A.60°B.70°C.75°D.85°

【答案】A.

【解析】解：ABAC=130°-ZB-ZC=95°,

由作图可知，跖V是线段/C的垂直平分线,

?.DA=DC,

：.ZDAC=ZC=35°,

/BAD=ABAC—ADAC=95°-35°=60°，

故选：A.

7.如图，AZBC中，ZBAC=105°,AB、ZC的垂直平分线分别交8c于点E、F,则NE4尸的度数

D.45°

【答案】C.

【解析】解：•••NA4C=105°,

o

/.ZJ5+ZC=180-105°=75°,

•••AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,

:.EA=EB,FA=FC,

：.ZEAB=ZB,ZFAC=ZC,

ZEAB+ZFAC=ZB+ZC=75°,

NE4P=105°—75°=30°,

故选：C.

8.如图在AZBC中，边AB,ZC的垂直平分线交于点P,连结AP,CP,若NN=50°,则N5PC=

C.90°D.50°

【答案】A.

【解析】解：连接4P,延长AP交ZC于。，

:.ZBPC=ZPDC+ZACP=ZBAC+ZABP+ZACP,

.点尸是4B,ZC的垂直平分线的交点，

/.PA=PB=PC,

ZABP=NBAP,ZACP=ZCAP,

ZBPC=ABAC+NBAP+ZCAP=ZBAC+ABAC=2ABAC=2x50。=100°,

故选：A.

9.点M是AZBC三边垂直平分线的交点，连接MZ、MB、MC,若NMBC+ZACM=75°,则

NBAM

的值是（）

A

B^且------------

A.45°B.30°C.25°D.15°

【答案】D.

【解析】解：•点M为A4BC三边垂直平分线的交点，

：.MA=MB=MC,

?.ZMCA=ZMAC,ZMBC=ZMCB,ZMAB=ZMBA,

'：ZMBC+ZACM=75°,

：.ZMAC+ZMCA+ZMCB+ZMBC=150°,

ZMAB=ZMBA=^x[18Q0-15Q°）=15°,

故选：D.

10.如图，已知Z。是A4BC的角平分线，Z。的中垂线交48于点R交8c的延长线于点£.以下四个

结论：®ZEAD=ZEDA；②DF〃AC；（3）ZFDE=90°；④N5=NCZE.恒成立的结论有（）

BDCE

A.①②B.②③④C.①②④D.①②③④

【答案】C.

【解析】①•••£厂是的垂直平分线，

EA=ED,可证NEAD=NEDA.

②•/EF是AD的垂直平分线，

:.FA=FD,可证ZFQZ=/"£),

,/AD平分NBAC,

：.ZFAD=ACAD,

NFDA=ACAD,

/.DF//AC.

③•••FD与BE不一定互相垂直，

.•.③不一定成立.

④由①②得ZEAD=ZEDA,ZFAD=ZCAD,

又,/ZEDA=ZB+ZFAD,ZEAD=ZCAD+ZCAE,

：.NB=ZCAE.

故选：C.

11.如图，在△48C中，以点N为圆心，NC的长为半径作圆弧交8c于点。，再分别以点8和点。为圆

心，大于工8。的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,连接&W交48于点£.若48=9,

2

AC=7,

则AADE的周长为.

【答案】16.

【解析】解：由作图可得/£>=ZC=7,上W垂直平分AD,

EB=ED,

的周长为/£+。£+2。=幺£+5£+幺。=幺8+幺。=16,

故答案为：16.

12.如图，在AZBC中，AB,ZC的垂直平分线分别交5c于点。，E,垂足分别为M,N,已知

△ADE

的周长为22,则5c的长为.

【解析】解：因为AB,NC的垂直平分线分别交BC于点D,E,

所以AD=8£),AE=EC,

所以8c=8。++CE=40++ZE,即为AADE的周长，

又因为AZQE的周长为22,

所以8c=22.

故答案为：22.

13.如图，0E、。尸分别是ZC、8。的垂直平分线，垂足分别为E、F,且Z8=CD,

ZABD=116°,

ZCDB=28°,则N08£>=0.

【答案】44.

【解析】解：如图，连接。4、0C,

,：0E、分别是NC、AD的垂直平分线,

0A=0C,OB=0D,

：.ZOBD=ZODB,

在AAOB和ACOD中,

OA=OC

AB=CD,

OB=OD

：.AAOBaCOD(SSS),

ZABO=ZCDO,

VZABD=116°,ZCDB=28°,

ZABO+ZOBD=116°,ZCDO-ZODB=28°,

：.ZABO=72°,ZOBD=44°,

故答案为：44.

14.如图，在平面直角坐标系中，点2(4,0),8(0,8),点C在48的垂直平分线上，且NZC8=90°,

则点C的坐标为.

【答案】(6,6)和(—2,2).

【解析】解：分两种情况：

(1)如图1所示，过点C作于。，。£，。4于£

,/ZACB=ZDCE=90°,

ZBCD=NACE=90°-ZACD,

•..点C在48的垂直平分线上，

BC=AC,

在△BCD与AZCE中,

ZBDC=ZAEC

</BCD=NACE,

BC=AC

：.ABCD^AACE(AAS),

：.AE=BD,CE=CD=OE,

4+AE=8—AE,

/.AE=2,

/.OE=OD=6,

则点C坐标为(6,6)；

(2)如图2所示，过点C作于。，CEL04于E.

•/ZACB=ZDCE=90°,

?.ZBCD=NACE=90°-ZACD,

•..点C在4B的垂直平分线上，

BC=AC,

在△BCD与AZCE中，

ZBDC=ZAEC

<ZBCD=ZACE,

BC=AC

：.ABCD均ACE(AAS),

：.AE=BD,CE=CD=OE,

/.4+OE=8—OE,

OE=2,

则点C坐标为(—2,2).

综上可知点C坐标为：(6,6)和(—2,2).

故答案为：(6,6)和(-2,2).

15.如图，ZE是NCZM的角平分线，点8在射线ZW上，QE是线段5c的中垂线交NE于£,

EF1AM.若NZC8=26°,ZCBE=25°,则NZEQ=.

【解析】解：连接CE,过£作£R_LZC于R,交CD于0,AE文BC于0,

是线段BC的中垂线，

/.ZEDC=90°,CE=BE,

：.ZECB=ZCBE,

•••ZCBE=25°,

：.NECB=25°,

NDEB=NCED=90°-25°=65°,

,：ERLAC,EDLBC,

ZQRC=ZQDE=90°,

/.N4CB+ZCQR=90°,ZEQD+ZQED=90°,

•/ZCQR=ZEQD,

/.ZACB=ZQED,

,/ZACB=26°,

ZQED=26°,

平分NG4M,ERLAC,EF1AM,

ER=EF,

在Rt^ERC和Rt^EFB中，

CE=BE

<ER=EF'

RtAERC名RMEFB(HL),

NEBF=ZACE=ZACB+ZECD=26°+25°=51°,

,/ZEFB=90°,

/.ZBEF=90°-NEBF=90°—51°=39°,

AREF=ZRED+ZBED+ZBEF=26°+65°+39°=130°,

,/ZARE=ZAFE=90°,

ZCAM=360°-90°-90°-130°=50°,

,/ZE平分NC4M,

ZCAE=-ZCAM=25°,

2

?.ZDOE=ZCAE+NZC8=250+26°=51°,

,/EDLBC,

NEDB=90°,

ZAED=90°-ZDOE=90°—51°=39°,

故答案为：39°.

16.如图，AZBC中，斯垂直平分ZC,交ZC于点足交BC于点E,AD1BC,垂足为。，且

BD=DE,

连接ZE.

(1)求证：AB=EC；

(2)若△4SC的周长为20c冽，AC=7cm,则的长为多少？

【答案】（1）证明见解析；（2）DC=—cm.

2

【解析】（1）证明：/垂直平分NC,

/.AE=EC,

,/AD1BC,BD=DE,

AB=AE,

：.AB=EC-,

（2）解：A48c的周长为20c»j,

AB+BC+AC=20cm,

AC=7cm,

AB+BC=13cm,

,/AB=EC,BD=DE,

：.AB+BD=DE+EC=DC,

•：AB+BC=AB+BD+DC=2DC=13cm,

•nr13

2

17.电信部门要修建一座电视信号发射塔尸，按照设计要求，发射塔尸到两城镇/、2的距离必须相等，到

两条高速公路加和〃的距离也必须相等.请在图中作出发射塔尸的位置.（尺规作图，不写作法，保留作图

【解析】解：设两条公路相交于。点.P为线段48的垂直平分线与NMCW的平分线交点或是与N0ON

的平分线交点即为发射塔的位置.如图，满足条件的点有两个，即尸、P'.

\E

18.如图，在AZBC中，Z8的垂直平分线交N5于点£,交NC于点。，且ZC=15c机,△BCD的

周长等于25cm.

(1)求8c的长；

(2)若NZ=36°,并且48=ZC,求证：BC=BD.

【答案】(1)BC=lQcm,(2)证明见解析.

【解析】(1)解：,••肱V是48的垂直平分线，

AD=BD,

AC=15cm,△BCD的周长等于25c机，

BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=25cm,

BC=10cm.

(2)证明：：N/=36°,AB=AC,

•—1^=72°'

AD=BD,

：.ZABD=ZA=36°,

ZDBC=ZABC-NABD=36°,

ZBDC=180°-ZDBC-ZC=72°,

ZC=ZBDC,

BC=BD.

19.如图，在A4BC中，DE,。尸分别为8C,48边的垂直平分线，连接/£),CD.若N8=50°,

求NNCD的度数.

【答案】ZACD=40°.

【解析】解：如图，连接

ZB=50°,

/.ABAC+NBCA=180°-50°=130°,

DE,DF分别为BC,48边的垂直平分线，

/.DB=DC,DB=DA,

:.NDCB=NDBC,NDAB=/DBA,DC=DA,

：.NDCB+ZDAB=ZDBC+/DBA=50°,

/.ADAC+ZDCA=130°-50°=80°,

DC=DA,

ZACD=ZCAD=40°.

20.如图所示，Z。是/氏4c的平分线，DELAB,DFLAC,垂足分别为E,F,连接EE,EF与

AD

交于点G,求证：4D垂直平分EE.

A

【答案】证明见解析.

【解析】证明：是NR4c的平分线,

DELAB,DFLAC,

：.DE=DF,ZAED=ZAFD=90°,

在Rt^AED和Rt^AFD中

DE=DF

AD=AD'

/.Rt^AED^Rt^AFD(/tt),

AE=AF,

•；NO是/氏4c的平分线，

NO垂直平分E尸.

21.已知：如图，NA4c的角平分线与5C的垂直平分线QG交于点。，DELAB,DFLAC,垂足

分别为E,F.

（1）求证：BE=CF；

（2）若4r=6,BC=1,求△48C的周长.

【答案】（1）证明见解析；（2）△48C的周长为19.

【解析】（1）证明：连接C。，

•.•。在的中垂线上

?.BD=CD,

'：DELAB,DFA,AC,4D平分NBAC,

DE=DF,

/BED=ZDCF=90°,

在Rt^BDE和Rt^CDF中，

DE=DF

BD=CD'

RtABDE沿RtKDF〈HL),

/.BE=CF；

(2)解：易证，Rt^ADE=Rt^ADF,

AE=AF=6,

AASC的周长=Z5+8C+NC=(ZE+8£)+5C+(AF—CF)=6+7+6=19.

22.如图，OE,。尸分别是△48C中4B,ZC边的中垂线(即垂直平分线)，NOBC、N0C5的平分

线相交于点/,试判定。/与8c的位置关系，并给出证明.

【答案】01工BC,理由见解析.

【解析】解：OILBC.

理由：连接CM,过点/作血J.05于点/，过点/作WJ.OC于点N,过点/作/G,5c于点G,

OE,。/分别是48,ZC边的中垂线，

OA=OB,OA=OC,

OB=OC,

•：NOBC,N0C5的平分线相交于点/,IMLOB,INIOC,IGLBC,

：.IM=IG,IN=IG,

：.IM=IN,

'：IM1OB,INIOC,

...点/在N50C的角平分线上,

•••OB=0C,

23.如图所示，在RMZ5C中，ZACB=90°,AC=BC,。为5c边上的中点，。£，2。于点£,

BF//AC

交CE的延长线于点凡求证：45垂直平分。尸.

【答案】证明见解析.

【解析】证明：连接。尸，

'：ZBCE+ZACE=90°,ZACE+ZCAE=90°,

：.ZBCE=ZCAE.

•：ACLBC,BF//AC.

：.BF1BC.

ZACD=ZCBF=90°,

AC=CB,

：.AACDaCBF,

CD=BF.

■：CD=BD=-BC,

2

BF=BD.

，△皮力为等腰直角三角形.

VZACB=90°,CA=CB,

：.ZABC=45°.

ZFBD=90°,

ZABF=45°.

NABC=ZABF,即R4是NFBD的平分线.

...A4是即边上的高线，氏4又是边EO的中线,

即AB垂直平分

24.如图，在A/BC中，DM,EN分别垂直平分NC和8C,交4B于M,N两点，。河与EN相交于

点尸.

(1)若NZC5=110。，则NAfCN的度数为