《机器人学简明教程》课件第5章

第5章速度与静力学关系5.1速度的符号表示5.2刚体的线速度和角速度5.3机器人连杆间速度传递5.4机器人雅可比矩阵5.5机器人静力关系 5.1速度的符号表示

图5－1给出了矢量Q在坐标系{B}下的表示BQ，以{B}为参考系可以得到Q点相对{B}的速度矢量，即矢量Q的微分(5－1)假设Q点相对于坐标系{B}固定，即不随时间变化，则式（5－1）的微分结果为零，即使它相对其他坐标系是变化的。速度矢量在坐标系{A}下可表示为(5－2)图5－1矢量表示因此，点的速度描述通常取决于两个坐标系:一个是进行微分的坐标系（物理学中的参考系），另一个是描述该速度矢量的坐标系。若两个坐标系相同，如都是坐标系{B}，则外层上标可以省略。

经常使用的情况是一个坐标系原点相对固定的世界坐标系{U}的速度，这种情况下定义缩写符号vC=UVCO

（5－3）式（5－3）表示坐标系{C}原点速度，参考系为{U}。采用该缩写符号，则该速度在坐标系{A}下表示为AvC，但需要说明的是，它是相对固定（世界）坐标系{U}的速度。

图5－2所示为角速度矢量表示。角速度矢量用Ω表示，描述刚体的旋转运动。AΩB表示坐标系{B}相对于{A}的旋转角速度矢量，方向代表转轴，大小表示转动速度值。相对于固定参考系{U}的角速度可省略参考系符号，例如坐标系{C}的角速度可以表示为（5－4）式中，ωC是角速度矢量在{A}下的表示，但角速度观测是相对于{U}的。图5－2角速度矢量表示 5.2刚体的线速度和角速度

1.线速度

如图5－3所示，坐标系{B}固连在刚体上，要求描述Q相对{A}的运动。已知坐标系{B}相对坐标系{A}的描述，并假设不随时间变化,则(5－5)式（5－5）只适合坐标系{B}相对{A}位姿不变，即刚体只做平移运动而没有旋转的情况。图5－3

Q相对（A）的运动

2.角速度

当AΩB≠0即刚体存在旋转运动时，公式推导比较复杂。下面只给出结果：(5-6)

例5－1如图5－4所示，机器人质心沿XA轴以1m/s速度移动，同时绕质心以1rad/s角速度转动，半径r=0.5m，求下边缘点Q的速度。图5－4圆盘机器人

解:在坐标系{A}下机器人中心速度AVBO=1m/s，Q点相对坐标系{B}静止，所以BVQ=0，矢量AQ垂直向下。机器人转动速度大小AΩB=1rad/s，方向沿ZA轴,代入到式（5－5）得Q点相对坐标系{A}的速度结果与我们的直观理解相同。

5.3机器人连杆间速度传递

一般选基座参考系{0}作为参考系,vi表示坐标系{i}原点的线速度,ωi表示坐标系{i}的角速度(都是相对参考系{0}的)。

机械手的各连杆的速度可以从基坐标系{0}开始依次计算。如图5－5所示,连杆速度用线速度vi和角速度ωi描述,矢量用{i}描述比较方便。图5－5连杆速度表示同时，将相邻连杆的速度矢量用同一坐标系表示，则速度可以相加。连杆i+1的角速度等于i的角速度加上连杆i+1关节旋转引起的角速度（相对坐标系{i}）。图5－6所示为连杆间速度传递关系。图5－6连杆间速度传递在坐标系{i}下，连杆i+1的角速度表示为(5－7)在式（5－7）两端同乘，得(5－8)由式（5－6）得连杆i+1的线速度(5－9)在坐标系{i+1}下表示为(5－10)例5－2图5－7所示为两连杆机械臂，坐标系{0}~{3}给定，计算各连杆速度。图5－7两连杆机械臂解:坐标系间的旋转矩阵为连杆1的速度为根据式（5－8），可以计算连杆2的角速度为根据式（5－10），可以计算连杆2的线速度为坐标系{3}和{2}固连在一个连杆上，所以3ω3=2ω2。根据式（5－10），可以计算坐标系{3}原点的线速度为坐标系{3}原点的线速度在基坐标系下表示为5.4机器人雅可比矩阵

给定m个多元函数（其中x是t的函数）(5－11)计算函数对时间的导数得(5－12)写成向量形式(5－13)J(x)称为雅可比矩阵，维数为m×n，一般情况下是时变的，其表达式如下:(5－14)将式（5－13）应用于机械臂(5－15)式中，是笛卡尔速度矢量；θ是关节角。对于6关节机械臂(5－16)即笛卡尔速度矢量表示机械臂末端的线速度和角速度。式（5－15）通过雅可比矩阵建立了机械臂末端笛卡尔空间速度和关节空间速度之间的关系。假设雅可比矩阵J(θ)可逆，得(5－17)如果给定笛卡尔空间期望速度，则式（5－17）是关于关节角的常微分方程组。给定关节角的初值，式（5－17）的解即为期望的关节角轨迹。一般不能求出式（5－17）的解析解，可以采用数值方法获得近似解。

例5－3图5－7所示为两连杆机械臂，建立机械臂末端速度与关节速度的关系，并计算末端沿X0轴以1m/s速度运动时两个关节的速度。

解:采用几何方法求解该问题。机械臂末端在固定坐标系下的位置和速度为因此，根据式（5－14），可以计算出雅可比矩阵机械臂末端速度与关节速度的关系为该结果与前面直接的导数计算结果完全相同。因此，可以采用直接计算位置对时间导数的方法得到雅可比矩阵。下面根据式（5－15）,得出机械臂关节速度与末端速度的关系。首先计算雅可比矩阵行列式的值，然后采用伴随矩阵计算雅可比矩阵的逆:因此，当θ2→0时，关节角速度→∞。本例题表明，雅可比矩阵可能存在奇异问题，此时期望的末端速度无法实现，实际应用中必须避免。 5.5机器人静力关系

为了方便地得到机器人静力关系，下面简要介绍虚功原理以及相关的基本概念。

(1)约束:对质点系位置或速度的限制条件称为约束。

例如图5－8（a）所示的单摆，刚性杆长为l。摆锤受到的限制条件为x2+y2=l2

（5－18）图5－8（b）所示的纯滚动轮子。轮心移动速度与轮子转动角速度之间的限制条件为（5－19）图5－8约束例子(2)约束力:由于约束而使物体受到的力。

例如图5－8(a)所示的单摆摆锤受到的力F，图5－8（b）所示的地面对轮子的支持力N，以及图5－8(c)所示的铰链对连杆的作用力F等。

(3)虚位移:质点（质点系）满足约束的无限小位移，称为虚位移。

例如图5－8(c)所示的铰链B的虚位移可以在两个方向上，用δr表示。(4)虚功:力在相应虚位移上做的功，称为虚功。

w=F

r

（5－20）（5）理想约束:若质点系约束力在任意虚位移上所做虚功之和为零，则称质点系受理想约束。（6）虚功原理:在理想约束条件下，质点系平衡的充要条件是主动力在任意虚位移上所做虚功之和为零。虚功原理是质点系静力学平衡和动力学分析的理论基础。

例5－4如图5－9所示杠杆，杆端A受到力FA作用，忽略杠杆质量和支点摩擦影响，用虚功原理确定杠杆在水平位置平衡时，杆端B需要施加的力FB。

解:杠杆受理想约束，主动力为FA和FB，根据虚功原理得FA

xA+FB

xB=0

xA=LA

q，

xB=LB

q

代入到虚功方程得(FA

LA

+FB

LB)

θ=0因为δθ是任意的,所以上式中括号内的值必为零,因此式中负号表示实际方向与假设方向相反。显然,虚功原理计算结果与直接用杠杆原理计算结果完全相同。图5－9杠杆平衡图5－10机械臂静力学关系在推导过程中采用以下规定符号:

r=[r1,

r2,

,

rm]T

为m×1维手爪虚位移矢量；为n×1维关节虚位移矢量；F=[f1,f2,

,fm]T

为m×1维手爪受力矢量；t

=[t1,t2,

,tn]T

为n×1维关节驱动力矢量。图5－10中手爪对环境的作用力F和环境对手爪的作用力F′是一对作用力和反作用力，所以，F′=-F。忽略机械臂重力和关节摩擦影响，由虚功原理得:tT

θ

+F′T

r=0（5－21）因此，tT

θ

-FT

r=0（5－22）根据雅可比矩阵的含义可得

r=J

θ（5－23）把式（5－23）代入到式（5－22）得（5－24）因为δθ是任意的，所以（5－25）最后，可以得到机械臂平衡时，关节驱动力矩与末端手爪生成对环境作用力关系:（5－26）

例5－5如图5－11所示2自由度机械臂，当关节角θ1