确定圆的条件 教案

个性化教学辅导教案姓名年级：初三教学课题确定圆的条件阶段基础（）提高（）强化（）课时计划第（4）次课共（）次课教学目标知识点：1、理解不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法。3、了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。考点：方法：讲练法重点难点重点：理解不在同一直线上三个点确定一个圆及作圆的方法

难点：过不在同一条直线上的三个点作圆的方法教学内容与教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________【知识梳理】定理——不在同一直线上的三点确定一个圆。相关概念及性质——1.三角形的外接圆、圆的内接三角形、三角形的外心2.三角形的外心的性质：三角形的外心到各个顶点的距离相等。[扩展]定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角【课堂讲解】知识点1：过三点的圆。由圆的定义可知，圆有两个要素：一个是圆心，另一个是半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，作图的关键是确定圆心的位置和半径的大小。探索1：作圆，使它经过已知点A由于所求的圆的圆心和半径都没有限制，因此，只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点（圆心）与点A的距离为半径，就可以作出要求作的圆，这样的圆有无数个。探索2：作圆，使它经过A，B两点。要作经过A、B两个点的圆，就必须以与点A、B距离相等的点为圆心。所以只要以线段AB为垂直平分线上任意一点为圆心，以这点与A或B的距离为半径长，就可以作出要求作的圆，这样的圆也有无数个。探索3：作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点。作圆的关键是圆心和半径，要求圆心到三点的距离相等。因此符合这样条件的点是唯一的，而半径也是唯一的。所以这样的圆是唯一的。【结论】不在同一条直线上的三个点确定一个圆，同一直线上三点不能作圆。

知识点2：三角形外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念。三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这圆的内接三角形。如图，⊙O为△ABC的外接圆，O为△ABC的外心，△ABC是⊙O的内接三角形。说明：1、锐角三角形的外心在三角形的内部2、“接”说明三角形的顶点与圆的位置关系，“内”“外”是相对的位置关系。以三角形为准，那么圆在其外，并且三个顶点都在圆上，就说圆是三角形的外接圆。

【典型例题】例1.下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形。③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

例2.如图，直角坐标系中一条圆孤经过网格点A、B、C，其中B点坐标为（4，4），则该圆孤所在的圆的圆心的坐标。

例3.图中△ABC外接圆的圆心坐标是

例4.如图，方格纸上一圆经过（2，5），（2，－3）两点，则该圆圆心的坐标为例5.一只猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只猫应蹲在地方，才能最省力地顾及到三个洞口。

例6已知，锐角△ABC用直尺和圆规，作△ABC的外接圆，写出作法，并保留作图痕迹。作法：

例7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边长a，b是方程的两个根。求Rt△ABC的外接圆的半径。

例8.在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12求其外接圆的半径。

例9.已知直线：y＝x－3和点A（0，－3），B（3，0）设P为a上一点，试判断P、A、B是否在同一个圆上。分析：P、A、B三点能否确定圆的关键是判断P、A、B是否在同一直线上，已知点P在直线a上，应判断A、B两点是否在直线a上。

例10.大家知道：四个点不能确定一个圆，但是有些特殊的四边形的四个顶点在同一个圆上请说出这些特殊的四边形，并研究这些四边形的四个内角之间有什么特殊的大小关系。

例11.如图，已知圆的内接三角形ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD的延长线与△ABC外接圆的交点。（1）求证：AB2＝AD·AE（2）当D为BC延长线上一点时，第（1）问的结论成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。

【课堂练习】1.判断题（正确的在题后括号内打“√”，错误的打“×”）（1）经过三个点一定可以作圆（）（2）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等（）（3）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆（）（4）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（）2.三角形的外心是（）（A）三条边中线的交点（B）三条边高的交点（C）三条边垂直平分线的交点（D）三条角平分线的交点3.在同一个圆中画两条直径，依次连接四个端点得到的四边形是（）（A）菱形（B）等腰梯形（C）正方形（D）矩形4.如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB等于（）（A）150°（B）135°（C）115°（D）120°5.若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的外部，则△ABC是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定6.下列命题中，正确的是（）A.三点可确定一个圆 B.三角形的外心是三角形三边中线的交点C.一个三角形有且只有一个外接圆D.三角形的外心必在三角形的内部或外部7.等腰直角三角形的外接圆的半径为（）A.腰长 B.腰长的倍 C.底边长的倍 D.腰上的高8.Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12则其外接圆半径为9.若直角三角形的两直角边长分别为6，8，则这个三角形的外接圆直径是10.等腰三角形ABC内接于半径为5cm的⊙O中，若底边BC＝8cm，则△ABC的面积是11.在Rt△ABC中，如果两条直角边的长分别为3、4，那么Rt△ABC的外接圆的面积为12.等边三角形的边长为4，则此三角形外接圆的半径为13.如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点（1）作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）（2）如果AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°，求该残破圆轮片的半径。

【题组训练】1.锐角三角形的外心在_______.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上,则该三角形是______.如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_____.2.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________.3.△ABC的三边为2,3,,设其外心为O,三条高的交点为H,则OH的长为_____.4..三角形的外心是______的圆心,它是_______的交点,它到_______的距离相等.5.已知⊙O的直径为2,则⊙O的内接正三角形的边长为_______.6.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________次就可以找到圆形工件的圆心.7.下列条件,可以画出圆的是()A.已知圆心B.已知半径;C.已知不在同一直线上的三点D.已知直径8..三角形的外心是()A.三条中线的交点;B.三条边的中垂线的交点;C.三条高的交点;D.三条角平分线的交点9.下列命题不正确的是()A.三点确定一个圆B.三角形的外接圆有且只有一个C.经过一点有无数个圆D.经过两点有无数个圆10.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形;C.锐角三角形D.等边三角形11.等腰直角三角形的外接圆半径等于()A.腰长B.腰长的倍;C.底边的倍D.腰上的高12.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为()A.1个或3个B.3个或4个C.1个或3个或4个D.1个或2个或3个或4个13.要将如图所示的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径?(写出找圆心和半径的步骤).14.如图,已知:线段AB和一点C(点C不在直线AB上),求作:⊙O,使它经过A、B、C三点。(要求:尺规作图,不写法,保留作图痕迹)15.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站,使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保留作图痕迹).16.如图,已知△ABC的一个外角∠CAM=120°,AD是∠CAM的平分线,且AD与△ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E.(1)判断△FBC的形状,并说明理由.(2)请给出一个能反映AB、AC和FA的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.17.已知:AB是⊙O中长为4的弦,P是⊙O上一动点,cos∠APB=,问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形?若不存在,试说明理由;若存在,求出这个三角形的面积.18．如图,在钝角△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2-7x+12=0的两个根(AD<DC),⊙O为△ABC的外接圆,如果BD的长为6,求△ABC的外接圆⊙O的面积.课后巩固作业________________________________;巩固复习_______________________________;预习布置____________________________签字学科组长签字：学习管理师:老师课后赏识评价老师最欣赏的地方：老师的建议：备注【试题答案】1.⑴×⑵√⑶√⑷×2.C3.D4.D5.C6.C7.B8.6.59.1010.8cm2或32cm211.12.13.（1）作图略（2）60cm【题组答案】答案：1.三角形内部直角三角形钝角三角形2.23.4.其外接圆三角形三条边的垂直平分线三角形三个顶点5.6.两7.C8.B9.A10.C11.B12.C13(1)在残圆上任取三点A、B、C。(2)分别作弦AB、AC的垂直平分线,则这两垂直平分线的交点即是所求的圆心(3)连接OA,则OA的长即是残圆的半径.14.略.15.(1)△FBC是等边三角形,由已知得:∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC,∴∠BFC=∠BAC=60°,∠BCF=∠BAF=60°,∴△FBC是等边三角形.(2)AB=AC+FA.在AB上取一点G,使AG=AC,则由于∠BAC=60°,故△AGC是等边三角形,从而∠BGC=∠FAC=120°,又∠CBG=∠CFA,BC=FC,故△BCG≌△FCA,从而BG=FA,又AG=AC,∴AC+FA=AG+BG=AB.【探究创新】16存在.∵AB不是直径(否则∠APB=90°,而由cos∠APB=知∠APB<90°,矛盾)∴取优弧的中点为P点,过P作PD⊥AB于D,则PD是圆上所有的点中到AB距离最大的点.∵AB的长为定值,∴当P为优弧的中点时,△APB的面积最大,连接PA、PB,则等腰三角形APB即为所求.由作法知:圆心O必在PD上,如图所示,连接AO,则由垂径定理得AD=AB=2.又∠AOD=∠1+∠2,而∠2=∠3,∠1=∠2故