数学课堂探究：分类加法计数原理与分步乘法计数原理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一分类加法计数原理分类加法计数原理是涉及完成一件事的不同方法的计数种类，每一类中的各种方法都是相互独立的，且每一类中的每一种方法都可以独立地完成这件事，在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方法,必属于某一类且仅属于某一类．【典型例题1】某校高三共有三个班，各班人数如下表.男生人数女生人数总人数高三（1）班302050高三（2）班303060高三(3）班352055(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法；（2)从高三(1）班、（2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？思路分析：(1）从每个班选1名学生任学生会主席都能独立完成这件事，因此应采用分类加法计数原理．（2）完成这件事有三类方案，因此也应采用分类加法计数原理．解：(1）从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类,从高三(1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类,从高三（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．（2)从高三(1）班、(2）班男生或高三（3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长,共有3类不同的方案：第1类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法;第2类，从高三(2）班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第3类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知,从高三（1)班、（2）班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．规律总结注意分类标准要明确，不能相互交叉或重复,每类办法都能独立地完成这件事．探究二分步乘法计数原理利用分步乘法计数原理解决问题时应注意：(1）按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事．【典型例题2】已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1,2}，P(a，b）(a，b∈M）表示平面上的点，问：（1)点P可表示平面上多少个不同的点?（2）点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点？思路分析：完成“确定点P"这件事，需要依次确定点P的横坐标和纵坐标，应运用分步乘法计数原理求解．解：（1)确定平面上的点P（a，b），可分两步完成：第一步确定a的值,有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上不同点的个数为6×6＝36。（2)确定平面上第二象限内的点P(a，b）,可分两步完成：第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由b＞0，所以有2种不同方法．由分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上第二象限内不同的点的个数为3×2＝6。规律总结利用分步乘法计数原理计数的一般思路：首先考虑这件事要经过哪几个步骤才能完成,然后找出每一步中有多少种不同的方法,最后求其积,但应注意各个步骤是既相互独立又密切相关的,都完成后才能完成整件事．探究三分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用解决此类题的关键在于区分该问题是“分类”还是“分步”．首先要有意识地去区分该问题是“分类"还是“分步”，如果完成这件事，可以分几种情况,每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分事件,且只有依次完成各种情况，才能完成这件事,则是分步．【典型例题3】王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书,4本不同的数学书，3本不同的物理书,他欲带参考书到图书馆阅读．(1）若他从这些参考书中带1本去图书馆,有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？(3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？思路分析：解决两个原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法完成后,是否完成整件事，从而区分加法原理和乘法原理．解：(1)完成的事情是带1本书，无论带外语书,还是数学书、物理书,事情都可完成，从而确定应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12（种）．（2)完成的事情是带3本不同学科的参考书,只有从外语、数学、物理书中各选1本后,才能完成这件事,因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60（种）．（3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法；即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47（种)．规律总结对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏；分步时要注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序，使各步互不干扰，也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题．探究四易错辨析易错点两个基本原理分辨不清【典型例题4】(1)把3封信投到4个信箱,所有可能的投法共有（)．A．24种B．4种C．43种D．34种(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种．错解：(1)每个信箱有三种选择，由分步乘法计数原理可得共有34种方法，选D。(2）因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，根据分步乘法计数原理，可得此人的走法有4×3＝12（种)，故填12.错因分析：解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计算．解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于（1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择,所以可能的投法有34种；对于（2)，易混淆“类”与“步”,误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用分步乘法计数原理计算．正解：（1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种