备战2025年高考二轮复习数学中低档大题规范练2

规范练2(分值:43分)学生用书P2271.(13分)(2024·江苏扬州模拟)已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,且2Sn=an(an+1).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:1S1+1S2+(1)解因为2Sn=an(an+1),①所以2Sn+1=an+1(an+1+1),②2S1=a1(a1+1),③由③得a1(a1-1)=0.又因为{an}各项均为正数,所以a1=1,②-①得2an+1=(an+12-an2)+整理得(an+1+an)(an+1-an-1)=0.又因为{an}各项均为正数,所以an+1-an=1,所以{an}是公差为1的等差数列,an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n.(2)证明由(1)可得Sn=n(所以1S所以1S1+1S2+…+1Sn=21-22+22-23+2.(15分)(2024·宁夏银川二模)一批产品需要进行质量检验,检验方案是先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列.解(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=4(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=800)=14,P(X=500)=1P(X=400)=1-116-14=X400500800P11113.(15分)棱长均为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,A1在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处,P为棱A1B1(包含端点)上的动点.(1)求点P到平面ABC1的距离;(2)若AP⊥平面α,求直线BC1与平面α所成角的正弦值的取值范围.解(1)依题意知A1O⊥平面ABC,OB⊥AC(底面为正三角形),且A1O=OB=3以O为原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,则O(0,0,0),A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,3),C1(0,2,3),AB=(3,1,0),AC1=(0,3,3),BC1=(-3,2,3),AA由A1B1∥AB,A1B1⊄平面ABC1,AB⊂平面ABC1,则A1B1∥平面ABC1,即点P到平面ABC1的距离等于点A1到平面ABC1的距离.设n=(x,y,z)为平面ABC1的一个法向量,则n取z=3,得n=(1,-3,3),因此点A1到平面ABC1的距离d=|A所以点P到平面ABC1的距离为2(2)设A1P=λA1则AP=AA1+A1P=AA1+λA1B1=AA1+由AP⊥α,得AP为平面α的一个法向量.设直线BC1与平面α所成角为θ,则sinθ=|cos<BC1=|=5令t=5-λ,则λ=5-t,t∈[4,5],则sinθ=t=t=12由