北师大版九年级下册试卷合集2【1-3章单元试卷含期中期末试卷】

北师大版九年级下册试卷合集

【1-3章单元试卷，含期中期末试卷】

单元测试（二）

一、选择题

1.如图，已知在Rt^ABC中，AC=90°,AB=5,BC=3,则cosB的值是（）

2.如果a是锐角，且sina=g,那么cos（90°-a）的值为（）

5

A.-1B.WC.1D.A

5543

3.已知：在RtZ\ABC中，AC=90°,sinA=W,则cosB的值为（）

4

A.近B.AC.1D.0

4554

4.在aABC中，若tanA=1,sinB二返，你认为最确切的判断是（）

A.aABC是等腰三角形B.△ABC是等腰直角三角形

C.AABC是直角三角形D.ZiABC是一般锐角三角形

5.在4ABC中，若IsinA-返口（4_cosB）2=0,LA、£B都是锐角，则乙

2

C的度数是（）

A.75°B.90°C.105°D.120°

6.如图，电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直，/CAB二a,则

拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）

c

h

---D.h*cosa

sinCtcosCltana.

7.如图，一辆小车沿倾斜角为。的斜坡向上行驶13米，已知cosa二理，则小

13

A.5米B.6米C.6.5米D.12米

8.如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处

安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45。，向前走20米到达A，处，测得

点D的仰角为67.5。，已知测假器AB的高度为1.6米,则楼房CD的高度约为（结

果精确到01米，V2-1.414）（）

A.34.14米B.34.1米C.35.7米D.35.74米

9.如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40。，若

DE=3米，CE=2米CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1：0.75,坡长BC=10

米，则此时AB的长约为（)(参考数据：sin40°«0.64,ccs40°«0.77,tan40°

R0.84).

A.5.1米B.6.3米C.71米D.9.2米

二、填空题

10.若尸(m-l)xK+2哟1+2威-1是二次函数，则m的值是.

11.在RtZXABC中，4090°,AB=2,BC=V3,贝IJsin&二

2---------

12.如图，BC是一条河的直线河岸，点A是河岸BC对岸上的一点，AB1BC于

B,站在河岸C的C处测得乙BCA=50。，BC=10m,则桥长AB=m(用计

算器计算，结果精确到0.1米)

13.如图，在直角ABAD中，延长斜边BD到点C,使DC=&D,连接AC,若

2

tanB二互，则tan/CAD的值

3

14.如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位

于地面R处的雷达测得AR的距离是40km,仰角是30°,n秒后，火箭到达B点,

此时仰角是45。，则火箭在这n秒中上升的高度是km.

B

A

L3o：'r\R

三、解答题

15.计算:tan2600-2sin300-V2cos450.

16.16（2017•宝应县一模）计算：小弓）」-4cos45。-（畲-兀）°.

17.如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31。，AB的长为12米，求

大厅的距离AC的长.（结果精确到0.1米）（参考数据：5皿31。=0.515,

cos31°=0.857,tan310=0.60）

18.如图，信号塔PQ座落在坡度i=l：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌.当

太阳光线与水平线成60。角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2V5

米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高.（结果不取近似值）

19.如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点

D的仰角为45。，再沿AC方向前进60m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为

60°,塔底点E的仰角为30。，求塔ED的高度.（结果保留根号）

D

20.耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图

1）.数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的

A,B两点的俯角分别为17.9°22。，并测得塔底点C到点B的距离为142米（A、

B、C在同一直线上，如图2）,求运河两岸上的A、B两点的距离（精确到1米）.

（参考数据：sin22°«0.37,cos22°«0.93,tan22°«0.40,sinl7.9°«0.31,cosl7.9°

=0.95,tanl7.9°=0.32）

21.如图，为了测得一棵树的高度AB,小明在D处用高为1m的测角仪CD,

测得树顶A的仰角为45。,再向树方向前进10m,又测得树顶A的仰角为60°,

求这棵树的高度AB.

10m

答案与解析

1.如图，已知在RtaABC中：乙090。，AB=5,BC=3,则cosB的值是（）

【考点】T1：锐角三角函数的定义.

【专题】选择题

【分析】根据余弦的定义解答即可.

【解答】解：在RtZkABC中,BC=3,AB=5,

AB5

故选：A.

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边a与斜边c的比

叫做乙A的余弦是解题的关键.

2.如果a是锐角，且sina二号，那么cos(90°-a)的值为()

5

A.-1B.WC.1D.1

5543

【考点】T3：同角三角函数的关系.

【专题】选择题

【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可.

【解答】解：二口为锐角，sina咯

5

*,•cos(900-a)=sina=—.

5

故选B.

【点评】本题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答

的基础.

3.已知：在Rt^ABC中，ZC=90°,sinA二女，则cosB的值为（）

4

A.近B.&c.2D.1

4554

【考点】T4：互余两角三角函数的关系.

【专题】选择题

【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案.

【解答】解：由在RQABC中，NC=90。，得

ZA+ZB=90°,

Q

cosB=smA=—,

4

故选：D.

【点评】本题考查了互余两角三角函数关系，利用一个角的余弦等于它余角的正

弦是解题关键.

4.在aABC中，若tanA=l,sinB二孚，你认为最确切的判断是（）

A.AABC是等腰三角形B.AABC是等腰直角三角形

C.aABC是直角三角形D.aABC是一般锐角三角形

【考点】T5：特殊角的三角函数值.

【专题】选择题

【分析】先根据特殊角的三角函数值求出4A,乙B的值，再根据三角形内角和

定理求出4C即可判断.

【解答】解：•.,tanA=l1sinB二返，

2

•••乙A二45°,ZB=45°.

又•「三角形内角和为180°,

ZC=90°.

:.△ABC是等腰直角三角形.

故选B.

【点评】解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值，三角形内角和定理及等腰

三角形的判定.

5.在aABC中，若lsinA-*"（4-cosB）2=0,4A,4B都是锐角，则匕

C的度数是（）

A.75°B.90°C.105°D.120°

【考点】T5：特殊角的三角函数值；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的

性质：偶次方.

【专题】选择题

【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0,这两个非负数的值

都为0分别求出乙A、4B的值.然后用三角形内角和定理即可求出乙C的值.

【解答】解：•・•|sinA-¥l=0,-cosB）2=0,

「.sinA-返=0,亚-cosB=0,

22

•，•sinA=^^,^^=cosB,

22

•••乙A=45°,ZB=30°,

•••△0180°-ZA-乙B二105M

故选C.

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决

此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式、绝对值、非负

数等考点的运算

6.如图，电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直，乙CAB-Q,则

拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）

A.—B.---C.---D.h*cosa

sinCtcosCItanCL

【考点】T8：解直角三角形的应用.

【专题】选择题

【分析】根据同角的余角相等得乙CAD二4BCD,由os4BCD二型知

BC

BC=———二一.

CQS/BCDcosa

【解答】解：.••4CAD+乙ACD=90°,4ACD+4BCD=90°,

ZCAD=ZBCD,

在Rt^BCD中，•「cos乙BCD二型，

BC

•BC二CD_h

cosZBCDcosa

故选：B.

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函

数的定义是解题的关键.

7.如图，一辆小车沿倾斜角为Q的斜坡向上行驶13米，已知cosa二理，则小

13

车上升的高度是（）

A.5米B.6米C.6.5米D.12米

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】选择题

【分析】在Rt^ABC中，先求出AB,再利用勾股定理求出BC即可.

【解答】解：如图AC=13,作CB_LAB,

BC=VAC2-AB2=132-12?=5,

「•小车上升的高度是5m.

故选A.

【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的

关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

8.如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处

安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45。，向前走20米到达A，处，测得

点D的仰角为67.5。，已知测假器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结

果精确到0.1米，V2-1.414)()

D

A.34.14米B.34.1米C.35.7米D.35.74米

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】选择题

【分析】过B作BFJ_CD于F,于是得到AB=AB=CF=1.6米，解直角三角形即

可得到结论.

【解答】解：过B作BFLCD于F,

・••AB二AB二CF二1.6米，

在RtZXDFB'中，B'F二——空k，

tan67.5°

在RtZ\DFB中，BF=DF,

•/BB'=AA'=20,

DF

BF-B'F=DF-——Q=20,

tan67.5

「•DFQ34.1米，

「.CD=DF+CF=35.7米，

答：楼房CD的高度约为35.7米,

故选C.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生借助俯角构

造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形.

9.如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40。，若

DE=3米CE=2米，CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=l：0.75,坡长BC=10

米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°«0.64,ccs40°«0.77,tan40°

=0.84）.

A.5.1米B.6.3米C.71米D.9.2米

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用

-坡度坡角问题.

【专题】选择题

【分析】延长DE交AB延长线于点P,作CQ_LAP,可得CE二PQ二2、CQ二PE,

由i二丝二二^二且可设CQ=4x、BQ=3x,根据BQ2+CQ2=BC，求得x的值，即可

BQ0.753

知DP=11,由AP二DP—结合AB=AP-BQ-PQ可得答案.

tanZAtan40

【解答】解：如图，延长DE交AB延长线于点P,作CQLAP于点Q,

ABQP

・•.CE〃AP,

ADP1AP,

••・四边形CEPQ为矩形,

/.CE=PQ=2,CQ=PE,

.•.jI_一C—Q'-_'1-_-4.

BQ0.753

•••设CQ=4x、BQ=3x,

由BQ2+CQ2=BC2可得(4x)2+(3x)2=1O2,

解得：x=2或x=-2(舍)，

贝IJCQ=PE=8,BQ=6,

••.DP=DE+PE=11,

在RtZ\ADP中，TAP二DP二—旦丁=13.1,

tanZAtan40

AB=AP-BQ-PQ=13.1-6-2=5.1,

故选:A.

【点评】此题考查了俯角与坡度的知识.注意构造所给坡度和所给锐角所在的直

角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解

决问题的关键.

10.若尸(m-l)-2+2x1+23.1是二次函数，则m的值是-3.

【考点】H1：二次函数的定义.

【专题】填空题

【分析】根据二次函数的定义列出有关m的方程，然后求解即可.

【解答】解：由二次函数的定义可知：m?+2m-1=2,

解得：m=-3或1,

又m-1#0,m#l,

:♦m=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题考查了二次函数的定义，属于基础题，难度不大，注意掌握二次函

数的定义.

11.在RQABC中，乙090°,AB=2,BC=V3.则sin&二1.

2-_2-

【考点】T5：特殊角的三角函数值.

【专题】埴空题

【分析】根据乙A的正弦求出乙A二60。，再根据30。的正弦值求解即可.

【解答】解:..・sinA二号渔

AB2

「•4A=60°,

/.sin—sin30°=—.

22

故答案为：!.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30。、45。、60。角的三角函数值

是解题的关键.

12.如图，BC是一条河的直线河岸，点A是河岸BC对岸上的一点，ABLBC于

B,站在河岸C的C处测得乙BCA二50。，BC=10m,则桥长AB=11.9m（用

计算器计算，结果精确到0.1米）

AK

RC

【考点】T8：解直角三角形的应用.

【专题】填空题

【分析】在Rt^ABC中，tan乙BCA二垒，由此可以求出AB之长.

BC

【解答】解：在4ABC中，

vBC1BA,「.tan乙BCA二胆.

BC

又TBOlOm,乙BCA=500,

AB=BC*tan50°=10xtan50°«11.9m.

故答案为11.9.

【点评】此题考查了正切的概念和运用，关键是把实际问题转化成数学问题，把

它抽象到直角三角形中来.

13.如图，在直角4BAD中，延长斜边BD到点C,使DC=^BD,连接AC,若

【考点】T7：解直角三角形.

【专题】填空题

【分析】延长ADt过点C作CE1AD,垂足为E,由tanB二2即他二与设AD=5x,

3AB3

则AB=3x,然后可证明△CDEs/kBDA,然后相似三角形的对应边成比例可得：

CE=DE=CD=1进而可得CE=Wx,DE=lx,从而可求tan£CAD二9二上.

ABADBD222AE5

【解答】解：如图，延长AD.过点C作CE1AD,垂足为E.

*/tanB=l,即处二互,

3AB3

二.设AD=5x,贝ljAB=3x,

•・•4CDE=4BDA,4CED=4BAD,

/.ACDE-ABDA,

•CE=DE=CD=1

**AB~AD而一万’

.•.CE=lx,DE二至x,

22

•••AE二qX,

2x

tanLCAD=—,

AE5

故答案为上.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三

角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将乙

CAD放在直角三角形中.

14.如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位

于地面R处的雷达测得AR的距离是40km,仰角是30°,n秒后，火箭到达B点，

此时仰角是45。，则火箭在这n秒中上升的高度是一（20g-20）km.

【考点】TA:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】填空题

【分析】分别在Rtz^ALR,Rlz^BLR中，求出AL、BL即可解决问题.

【解答】解：在Rt^ARL中,

•••LR=AR-COS30°=40X2Z1=20V3(km),AL=AR-sin30°=20(km),

2

在Rt^BLR中，•.•ZBRL=45°,

RL=LB=20V3,

•••AB=LB-AL=(20%-20)km,

故答案为(20的-20)km.

A

A

L30耳：逮

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知

识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念解决问题.

15.计算:tan2600-2sin30°-V2cos45°.

【考点】T5:特殊角的三角函数值.

【专题】解答题

【分析】将特殊角的三角函数值代入求解.

【解答】解：原式二(V3)2工班事

22

=3-1-1

=1.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的

三角函数值.

16.计算:V8+(y)--4cos450-(V3-71)°•

【考点】T5：特殊角的三角函数值；6E：零指数募；6F：负整数指数哥.

【专题】解答题

【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数器、特殊角的三角函数值及0指数

嘉把原式化简，再根据实数混合运算的法则进行计算即可.

【解答】解：原式=2折2-4、亭-L

=272+2-2亚-1,

二1.

故答案为：1.

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决

此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数鬲、零指数鬲

及二次根式等考点的运算.

17.如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31。，AB的长为12米，求

大厅的距离AC的长.(结果精确到0.1米)(参考数据：sin3t=0.515,

cos31°=0.857,tan31°=0.60)

【考点】T9:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解答题

【分析】利用余弦函数的定义即可求出AC的长.

【解答】解：过B作地平面的垂线段BC,垂足为C.

在RQABC中，•••乙ACB=90°,

AAC=AB*COSABAC=12X0.857«10.3（米）.

即大厅的距离AC的长约为10.3米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹

角a叫做坡角.在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角

即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，

实质也是解直角三角形问题.

18.如图，信号塔PQ座落在坡度上工：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌.当

太阳光线与水平线成60。角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2加

米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高.（结果不取近似值）

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；U5：平行投影.

【专题】解答题

【分析】如图作MF1PQ于F,QE1MN于E,则四边形EMFQ是矩形.分别在

RtAEQN.RtaPFM中解直角三角形即可解决问题.

【解答】解：如图作MF_LPQ于F,QE_LMN于E,则四边形EMFQ是矩形.

在RtaQEN中，设EN=x,则EQ=2x,

VQN2=EN2+QE2,

•,NO5,

vx>0,

**.x=2,

/.EN=2,EQ=MF二4,

•/MN=3,

FQ=EM=1,

在RtAPFM中，PF=FM*tan600=4V3.

/.PQ=PF+FQ=4V3+1.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度问题，锐角三角函数等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

19.如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点

D的仰角为45。，再沿AC方向前进60m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为

60。，塔底点E的仰角为30。，求塔ED的高度.（结果保留根号）

【考点】TA:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解答题

【分析】先求出乙DBE二30°,乙BDE二30。,得出BE=DEt然后设EC=xm,则BE=2xm,

DE=2xm,DC=3xm,BC=然后根据乙DAC=45°,可得AC=CD,列出方

程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度.

【解答】解：由题知，ADBC=60°,AEBC=30°,

・••乙DBE二4DBC-4EBC=60,-30°=30°.

又•••ZBCD=90°,

乙BDC=90°-乙DBC=900-60°=30°.

•♦・ZDBE=ZBDE.

••.BE=DE.

设EOxm,贝IJDE=BE=2EC=2xm,DC=EC+DE=x+2x=3xm,

BC=VBE2-EC2=V(2x)2-x2=V3X.

由题知，乙DAC=45°,匕DCA=90°,AB=20,

・•.△ACD为等腰直角三角形，

••.AODC.

*,*V^x+60=3x,

解得：x=30+10V3,

2x=60+20V3.

答：塔高约为（60+20V3）m.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构

造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般.

20.耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图

1）.数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的

A,B两点的俯角分别为17.9°22°,并测得塔底点C到点B的距离为142米（A、

B、C在同一直线上，如图2）,求运河两岸上的A、B两点的距离（精确到1米）.

（参考数据：sin220^0.37,cos22o«0.93,tan22°«0.40.sinl7.9°«0.31,cosl7.9°

q0.95,tanl7.9°=0.32）

图1图2

【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题.

【专题】解答题

【分析】在RQPBC中，求出BC,在R3PAC中，求出AC,根据AB=AC-BC

计算即可.

【解答】解：根据题意，BC=142米，Z.PBC=22°,ZPAC=17.9°,

在RtZiPBC中,tan/PBC二型，

PC=BCtanZPBC=142-tan22°,

在RtZXPAC中，tan乙PAC二三，

AC

•AOPC_142・tan22c=mx。，我=§

一"tanZPACtanlT.90~~0732

「.AB=AC-BC=177.5-142«36米.

答：运河两岸上的A、B两点的距离为36米.

【点评】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关

键是正确寻找直角三角形，利用三角函数解决问题，属于中考常考题型.

21.如图，为了测得一棵树的高度AB,小明在D处用高为1m的测角仪CD,

测得树顶A的仰角为45。，再向树方向前进10m,又测得树顶A的仰角为60。，

求这棵树的高度AB.

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解答题

【分析】设AG=X,分别在Rt^AFG和RtaACG中，表示出CG和GF的长度,

然后根据DE=10m,列出方程即可解决问题.

【解答】解：设AG二x.

在Rt^AFG中，

.「tan乙AFG二幽，

FG=

在RtZXACG中，vZGCA=45°,

CG=AG=x,

•/DE=10,

X

/•x

73=10.

解得：x=15+5V3

AAB=15+5V3+1=16+5V3（米）.

答：这棵树的高度AB为（16+5加）米.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助

线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

单元测试(二)

一、选择题

1.二次函数y=x2-4x+5的最小值是()

A.-1B.1C.3D.5

2.二次函数y=ax?+bx+c(a、b、c为常数且a卢0)中的x与y的部分对应值如

下表：

X-3-2-1012345

y1250-3-4-30512

给出了结论：

⑴二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为-3；

⑵当J<x<2时，y<o；

⑶二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧.则

其中正确结论的个数是()

A.3B.2C.1D.0

3.将二次函数尸x2-2x+3化为尸(x-h)2+k的形式，结果为()

A.y=(x+1)2+4B.y=(x+1)2+2C.y=(x-1)2+4D,y=(x-1)2+2

4.已知0近xW工，那么函数y=-2x?+8x-6的最大值是()

2

A.-10.5B.2C.-2.5D.-6

5.如图，二次函数y=，+bx+c的图象过点B(0,-2).它与反比例函数尸-B

的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的解析式为()

A.y=x2-x-2B.y=^-x+2C.y=x2+x-2D.y=x2+x+2

6在二次函数产x?-2x-3中，当0WXW3时,v的最大值和最小值分别是（）

A.0,-4B.0,-3C.-3,-4D.0,0

7.已知m,n,k为非负实数，且m-k+l=2k+n=l,则代数式2k2-8k+6的最

小值为（）

A.-2B.0C.2D.2.5

8.当-2WXW1时，二次函数y=-（x-m）z+n?+l有最大值4,则实数m的

值为（）

A.-1B.V3^MC.2或7QD.2或—

44

9.定义符号min{a,b}的含义为：当aNb时min{a,b}二b;当a<b时min{a,

b}二a.如：min{l,-3}=-3,min{-4,-2}二-4.贝ljmin{-x?+l,-x}的最

大值是（）

A.B.C.1D.0

22

10.如图，二次函数尸ax2+bx+c的图象经过点（0,-2）,与x轴交点的横坐标

分别为Xi,x2,且-1<X1<O,1<X2<2,下列结论正确的是（）

A.a<0B.a-b+c<0C.-->1D.4ac-b2<-8a

2a

11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=-2（x-h）

2+k,则下列结论正确的是（）

A.h>0,k>0B,h<0,k>0C.h<0,k<0D.h>0,k<0

12.如图，二次函数y=ax?+bx+c（aKO）的图象的顶点在第一象限，且过点（0,

1）和（-1,0）.下列结论：①ab<0,②b?>4a,③0<a+b+c<2,@0<b<l,

⑤当x>时，y>0,其中正确结论的个数是（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

二、填空题

13.用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是

cm2.

14.把二次函数y=x2-12x化为形如y=a(x-h)2+k的形式.

15.抛物线y=x?+l的最小值是.

16.函数y=(x-1)2+3的最小值为.

17.已知二次函数y=x?+bx+c经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的解

析式是-

三、解答题

18.已知二次函数y=x?+mx+n的图象经过点P(-3,1),对称轴是经过(-L

0)且平行于y轴的直线.

(1)求m、n的值；

⑵如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P,与x轴相交于点A,与二次函数的

图象相交于另一点B,点B在点P的右侧，PA:PB=1:5,求一次函数的表达式.

19.如图，在平面直角坐标系中，正方形0ABe的边长为4,顶点A、C分别在

x轴、y轴的正半轴，抛物线y二-铲+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶

点，连接AC、BD、CD.

⑴求此抛物线的解析式.

⑵求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.

20.已知抛物线y=-/+bx+c经过点A(3.0),B(-1.0).

⑴求抛物线的解析式；

⑵求抛物线的顶点坐标.

21.如图，抛物线y=x?+bx+c与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两点，交y

轴于点E.

⑴求此抛物线的解析式.

⑵若直线y=x+l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F,连接DE,求4DEF

的面积.

22.如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(-4,-3),与y轴交于点B,对称轴是

x=-3,请解答下列问题：

⑴求抛物线的解析式.

⑵若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8,

求4BCD的面积.

注：抛物线y=ax?+bx+c(a#0)的对称轴是x=.

23.如图，已知二次函数y=/+bx+c过点A(1,0),C(0,-3)

⑴求此二次函数的解析式；

⑵在抛物线上存在一点P使4ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标.

参考答案与试题解析

1.二次函数y=x2-4x+5的最小值是（）

A.-1B.1C.3D.5

【考点】H7：二次函数的最值.

【专题】选择题

【分析】先利用配方法将二次函数的一般式y=x2-4x+5变形为顶点式，再根据

二次函数的性质即可求出其最小值.

【解答】解：配方得：y=x2-4x+5=x2-4X+22+1=（x-2）2+1,

当x=2时，二次函数y=x?-4x+5取得最小值为1.

故选B.

【点评】本题考查了二次函数最值的求法，求二次函数的最大（小）值有三种方

法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法.

2.二次函数y=a<2+bx+c（a、b、c为常数且a/O）中的x与y的部分对应值如

下表：

x-3-2-1012345

y1250-3-4-30512

给出了结论：

⑴二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为-3；

⑵当q<x<2时，y<0;

⑶二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧.则

其中正确结论的个数是()

A.3B.2C.1D.0

【考点】H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点.

【专题】选择题

【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x二L然后根据二次函数的

性质对各小题分析判断即可得解.

【解答】解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=l,

所以，当x=l时,二次函数尸ax?+bx+c有最小值,最小值为-4;故⑴小题

错误；

根据表格数据，当-l<x<3时，y<0,

所以,-卷2时,y<0正确,故(2)小题正确；

二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为(-1,0)(3.0),它

们分别在y轴两侧，故(3)小题正确；

综上所述，结论正确的是(2)(3)共2个.

故选B.

【点评】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据,

熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

3.将二次函数y22-2x+3化为尸(x-h)2+k的形式，结果为()

A.y=(x+1)2+4B.y=(x+1)2+2C.y=(x-1)2+4D.y=(x-1)2+2

【考点】H9：二次函数的三种形式.

【专题】选择题

【分析】根据配方法进行整理即可得解.

【解答］解：y=x2-2x+3,

=(x2-2x+l)+2,

=(x-1)2+2.

故选D.

【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟记配方法的操作是解题的关

键.

4.已知OWxW工，那么函数y=-2x?+8x-6的最大值是()

2

A.-10.5B.2C.-2.5D.-6

【考点】H7：二次函数的最值.

【专题】选择题

【分析】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值.

【解答】解：=-2x?+8x-6=-2(x-2)2+2.

•,•该抛物线的对称轴是x=2,且在x<2上y随x的增大而增大.

又「OwxwL,

2

••当x二卷时，y取最大值，y最大二-2(-i--2)2+2=-2.5.

故选C.

【点评】本题考查了二次函数的最值.确定一个二次函数的最值，首先看自变量

的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自

变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值,

从而获得最值

5.如图，二次函数y=/+bx+c的图象过点B(0,-2).它与反比例函数y=-2

的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的解析式为(

A.y=x2-x-2D.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D.y=x2+x+2

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；G6：反比例函数图象上点的坐标

特征.

【专题】选择题

【分析】将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B

坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式.

【解答】解：将A(m,4)代入反比例解析式得：4二-@,即m=-2,

•••A(2,4),

将A(-2,4),B(0,-2)代入二次函数解析式

4-2b+c=4

c=-2

解得：b=-1,c=-2,

则二次函数解析式为y=x?-x-2.

故选A.

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的

坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

6在二次函数y=x2-2x-3中，当0WXW3时,y的最大值和最小值分别是（）

A.0,-4B.0,-3C.-3,-4D.0,0

【考点】H7：二次函数的最值.

【专题】选择题

【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在

距对称轴最远处取得最大值.

【解答】解：抛物线的对称轴是x=l,

则当x二l时，尸1-2-3=-4,是最小值；

当x=3时，y=9-6-3=0是最大值.

故选A.

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条

件是关键.

7.已知m,n,k为非负实数，且m-k+l=2k+n=l,则代数式2k2-8k+6的最

小值为（）

A.-2B.0C.2D.2.5

【考点】H7：二次函数的最值.

【专题】选择题

【分析】首先求出k的取值范围，进而利用二次函数增减性得出k二3时，代数

式2k2-8k+6的最小值求出即可.

【解答】解：,•,m,n,k为非负实数，且m-k+l=2k+n=l,

二•m,n,k最小为0,当n=0时，k最大为：士

2

・•.0Wk<§,

•/2k2-8k+6=2(k-2)2-2,

.--a=2>0,・・.kW2时,代数式2k2-8k+6的值随k的增大而减小,

时，代数式2k2-8k+6的最小值为：2x(1)2_8xl+6=2.5.

故选D.

【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法以及二次函数增减性等知识，根据

二次函数增减性得出k二工时，代数式2k2-8k+6的最小值是解题关键.

2

8.当-2WXW1时，二次函数y=-(x-m)2+m?+l有最大值4,则实数m的

值为()

A.-二B.-V3C.2或-^3D.2或二

44

【考点】H7：二次函数的最值.

【专题】选择题

【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可.

【解答】解:二次函数的对称轴为直线x=m,

①m<-2时，x=-2时二次函数有最大值，

此时-(-2-m)2+m2+l=4,

解得m=-二，与m<-2矛盾，故m值不存在；

②当-2WmWl时，x=m时，二次函数有最大值，

此时,m2+l=4,

解得m=-V3,m=V3(舍去)；

③当m>l时，x=1时二次函数有最大值,

此时，-(1-m)2+m2+l=4,

解得m=2,

综上所述，m的值为2或・«.

故选C.

【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论.

9.定义符号min{a,b}的含义为：当aNb时min{a,b}=b；当a<b时min{a,

b}=a.如：min{1,-3}=-3,min{-4,-2}=-4.贝IJmin{-W+l,-x}的最

大值是()

A.2ZLzlB.c.1D.0

22

【考点】H7：二次函数的最值；F6：正比例函数的性质.

【专题】选择题

【分析】理解min{a,b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利

用函数图象的性质可得结论.

【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=f2+l与正比例函数

y=-X的图象，如图所示.设它们交于点A、B.

令-乂2+1=-X,gpx2-x-1=0,解得运或上近，

22

...A(W5,^zL),B.

2222

观察图象可知：

①当用时，min{-Al,-x}=-x2+l,函数值随x的增大而增大，其最

大值为理二;

2

②当1飞<x<1+存时,min{-x2+l,-x}=-x,函数值随x的增大而减小，

22

其最大值为圣1;

2

③当xN史历时，min{-x2+l,-x}=-x2+l,函数值随x的增大而减小，最大

2

值为士匹.

2

综上所示，min{-x2+l,-x}的最大值是存一1.

【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min(a,

b}和掌握函数的性质是解题的关键.

10.如图，二次函数尸ax2+bx+c的图象经过点⑹-2),与x轴交点的横坐标

分别为Xi,X2,且-1<X1<O,1<X2<2,下列结论正确的是()

A.a<0B.a-b+c<0C.—>1D.4ac-b2<-8a

2a

【考点】H4:二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点

【专题】选择题

【分析】由开口方向，可确定a>0；由当x=-1时，y=a-b+c>0,可确定B

错误；由对称轴在v轴右侧且在直线x=l左侧，可确定x=-^-<l；由二次函

2a

数y=aV+bx+c的图象经过点(0.-2),对称轴在y轴右侧，a