北师版八年级数学下册教案

北师版八年级数学下册教案打印版

第一章三角形的证明

1等腰三角形

第1课时全等三角形和等腰三角形

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例

B

D

•情景导入如图，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开，

得到的△力颇有什么特点？要求学生自己动手折一折.

(1)什么是等腰三角形？

(2)用折纸的办法探究等腰三角形，你能发现它有哪些性质？

【教学与建议】教学：从学生动手剪折等腰三角形入手，借助于适当的问题引导，激发

学生的学习兴趣.建议：学生先动手剪出一个等腰三角形，再利用等腰三角形是轴对称图形，

折纸发现等腰三角形的性质.

•悬念激趣活动内容：如图，在打扫卫生时，小丽不小心把一块二角形的玻璃饰品打

碎成三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃.小东、小丽有不同的意见.

小东：把①②③全部带去才行.

小丽：没必要全带去，带①去就行了.

小东和小丽两人谁的意见更合理呢？你能说出理由吗？

【教学与建议】教学：通过回顾学过三角形全等的判定方法，引导学生思考证明，为下

一步利用三角形全等证明等腰二角形的性质定理做好铺垫.建议；先回顾学过的全等知识，

再解决生活中的实际问题，最后推导等腰三角形的性质.

二、命题热点分析与示例

◎命题角度1全等三角形的判定及性质

判定两个三角形全等的方法主要有SSS,SAS,ASA,AAS,全等三角形的对应边相等，对

应角相等.

【例1】如图，在△力比'中，ZJ=60°,将△力蛇沿龙翻折后，点力落在加'边上的点4

处.如果N4EC=70。，那么N4庞的度数为65。.

【例2】如图，已知/期A4AN,求证：NQ/4W

证明：VABAC=ZDA,lf,：.ZBAC-ZDAC=ZDAM-ZDAC,

JZBAD=NA：4M

AB=AN,

ZBAD=ZNA：ift

AD=AM,

・•・△胡四△ARMSAS)1,NB=NANM.

◎命题角度2等边对等角的应用

等边对等角是等腰三角形的一个重要性质，相等线段对应相等的角，结合三角形内角和，

利用方程求出角的度数.

ABnF

【例3】如图，N/=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则/叱的度数为(A)

A.60°B.70°C.75°D.90°

【例4】如图，在中，D是BC上一点、,AC=AD=DB,ZBAC=102°,求的度

数.

A

BDC

解：，：AC=AD=I)B,；・NQN胡〃，/ADC=/C.

W乙归乙BAD=K,则/力a=2/,/.ZC=2r,

・・・N8+NQ3x0.

•♦•/%C=102°,・・・/8+NC=78°,，3x=78.

・・・x=26,.\ZJPf=52°.

◎命题角度3利用分类讨论思想解决等腰三角形性质问题

在等腰三角形性质的运用过程中，当此类题目没有给出相应的示意图时，要进行分类讨

论，常采取的方式就是通过画图找到所有符合题意的情况.

【例5］如果等腰三角形有两条边长分别为4cm和5的，那么它的周长是13an或

14cm.

◎命题角度4等腰三角形与全等三角形的综合运用

判定全等三角形的基本思路：结合已知条件，选择最合适的判定方法，当题目出现等腰

三角形时，联系到等边对等角，综合运用，灵活解决问题.

【例6】如图，在△/1/%¥,已知点〃在线段44的反向延长线上，过力C的中点♦'作线段

G5交N的。的平分线于点£交理于点G,&AE〃BC.

(1)求证：△/1比是等,腰三角形；

(2)若4?=8,力6=10,GC=2BG,求△?!比的周长.

'：AE平^分乙DA3:・NDAE=/CAE.

:.NB="：.AB=AC,即△/18C是等腰三角形;

⑵•・•尸是M的中点，・,・4尸=〃：

在△加山、和△。&中，\AF=CF,

\/AFE=/CFG,

:・4AF洛△CFGNN.：.GC=AE=&

,:GC=2BG,：JiG=A.：JiC=\2.

又・・"笈=/1a10,•••△小阿的周长=/1笈+/1。+%=10+10+12=32.

◎命题角度5“三线合一”的应用

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，利用这个性质解决

有关等腰三角形的计算或证明题.

【例7】等腰三角形/仍。中，AB=AC=ncm,BC=10cm,则死边上的高是

【例8】如图，在△/做'中，AB=AC,BD=CD,的延长线交比于点后求证：AEVBC.

A

AB=AC,

证明：在△/1劭和△力⑺中，，做=C〃，

_AD=AD,

・•・△/!叫球△/109(SSS),

JZBAD=ACAD,即.4〃为N物。的平分线.

又•・•在中，AB=AC,点£在力〃上，

：,AELBC.

高效课堂教学设计

一、教学目标

1.理解作为证明基础的几条公理的内容，利用公理证明•般三角形和等腰三角形的性质

定理.

2.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理的推论.

二、教学重难点

▲重点

证明等腰三角形的性质定理，并能用性质定理解决相关问题.

▲难点

证明等腰三角形的相关性质.

三、教学活动

♦活动1创设情境导入新课(课件)

围绕全等三角形的判定方法.

(1)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).

(2)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).

(3)三边对应相等的两个三角形全等(SSS).

(4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).

♦活动2实践探究交流新知

【探究1]三角形全等的性质

证明推论：荷角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).

已知：如图，在△月应•和△加7•、中，NA=N。,N4=N反BC=EF.

求证：4ABe^XDEF.

An

证明：・・・/月+/4+/。=180°,/〃+/£'+NA'=18（）°（三角形内角和等于180°）,

：,ZC=180°一（N/1+N&,N尸=180°—（/什/8.

又•・•/[=/〃，N8=NE（已知）,

又•••比'=£尸（已知），

，△力伙便△幽'(ASA).

【归纳】全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.

【探究2】等腰三角形的性质

议一议：

1.什么是等腰三角形？

2.你会画等腰三角形吗？请你画一个等腰三角形并把它裁剪下来.

3.试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？

等腰三角形的性质：

(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”).

(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(等腰三角形的

“三线合一”).

4.你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？

已知：如图，在△力比中，AB=AC.

求证：4B=4C.

方法1：如图②，取比1的中点〃，连接力〃，构造三甭形全等(SSS).

证明：取施、的中点〃，连接力〃

'：AB=AC,BD=CD,AD=AD,

・•・△力及2△力C9(SSS),

・•・/8=N6'(全等三角形的对应角相等).

方法2：如图③，作/例。的平分线，交用边于点，构造三角形全等(SAS).

证明：作/乃右的平分线，交及;边于点〃

,:AB=AC,Z1=Z2,AD=AD,

/.△J^9^A/fO?(SAS).

・•・N8=NC(全等三角形的对应角相等).

定理：等腰三角形的两底角相等，简述为等边对等角.

想一想：在上图中，线段力〃还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？

归纳推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，简称“三

线合一”.

♦活动3开放训练应用举例

【例1】如图，已知/£=/凡4ECA=/FBD,/18=QZ求证：AE=DF.

【方法指导】要证明泌三"'，可先证力£和炉所在的两个三角形全等，即证△,4g△渐

从而转化为寻找使△力膜△〃酎成立的条件，然后在证得两个三角形全等后再利用全等三角

形的对应边相等的性质即可得到AE=DF.

证明：,8=口),

:.AB+BC=CD+BC,即心?=%

在△力四和△颂中，

•・•/£=/£,NECA=NFBD,AC=DB,

・•・"'(全等三角形的对应边相等).

【例2】如图，在△48。中，AB=AC,BD=BC=AD,求△/1阳各角的度数.

【方法指导】利用等腰二角形的性质定理.等边对等角求△力弘各角度数.

D

BC

解：*：AB=AC,BD=BC=AD,

：・4ABC=4C=/BDC,ZJ=ZABD.

设N4=x,则/叱=//+/月劭=2必

:.4ABC=/C=4BDC=2x,

・•・//十十2A•+2x=18(r,

解得x=36°,

AZJ=36°,4ABC=4C=72°.

♦活动4随堂练习

1.如图，在△力比'中，NQN。，AB=6,则RC的长为(D)

"------

A.3B.4C.5I).6

2.若(〃-5)2+|6—1。|=0,则以a,6为边长的等腰三角形的周长为药.

3.已知等腰三角形的一个内角为70。，则另两个内角的度数是70°和40°或55°和

55°.

4.课本P3随堂练习T】

5.课本3随堂练习T2

♦活动5课堂小结与作业

【学生活动】

1.你这节课的主要收获是什么？

2.在探索三角形全等与等腰三角形的性质时，运用了哪些方法？

【教学说明】梳理本节课的重要知识和方法，加深对知识的理解.

【作业】课本R习题1.1中的「、丁2、”

四、教学反思

本节课把问题作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣.为了展示重点，突破难点，充

分发挥学生的主观能动性，以使他们比较好地掌握知识、增强学习数学的兴趣.

第2课时等腰三角形的特殊性质与等边三:角形的性质

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例

・复习导入1.上节课我们已经证明了等腰三角形的性质，你能用几何符号语言表达出

这些性质吗？

2.等腰三角形中除了“三线合一”之外，还有一些中线、高线、角平分线.请你在图中

画出它们，观察并比较它们的大小.

【教学与建议】教学：学生画图再观察、比较得出结论：等腰三角形两底角平分线相等、

两腰上的中线相等、两腰上的高线相等.建议：让学生利用合情推理的方式得出结论.

•情景导入我们欣赏下列两个建筑物和交通标志，如图，图中的三角形是什么样的特

殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的？有什么性质？

AA

天安门城楼西安半坡博物馆交通标忐

从图中我们可以看到等腰三角形及等边三角形，这一节我们继续学习等腰三角形的一些

性质，并学习等边三角形的有关知识.

【教学与建议】教学：通过观察发现等腰三角形和等边三角形，激发学生学习热情，对

新课的导入作好铺垫.建议：先复习等腰三角形的“三线合一”的性质，再理解等腰三角形

的特殊性质.

二、命题热点分析与示例

◎命题角度1等边三角形性质的应用

等边三角形是一种特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质.

【例1】如图，力。是等边三角形力欧的高，且做=：on,那么/18的长是(B)

【例2】如图，已知直线1/卜、将等边三角形如图放置，若N。=40°,则N"20°

【例3】如图，已知是等边三角形，点HC,D,£'在同一直线上，点G,尸分别在

AC,DG上,1.CG=CD,DF=DE,贝i]NE=15°.

◎命题角度2等边三角形与“手拉手”模型的综合

由于等边三角形的边角特性，当出现“手拉手”模图时，要能联想到等角转换，进而借

助全等三角形的判定与性质解决问题.

【例4】如图，△/!比是等边三角形，〃是心?边上一点，以切为边作等边三角形切区

使点£力在直线用的同侧，连接力£求证：AE//BC.

证明：•••△/!比和△£：如是等边三角形，

:"C=BC,DC=EC,4ABC=/BCA=/DCE=60°.

:.ABCA-ZACD=ZDCE-ZACD.

即/以力=/力位

・•・△DBgXEAC.NDBC=ZEAC.

乂•：4DBC=NBCA=G0°,

JZBCA=ZEAC.：、AEHBC.

◎命题角度3等腰三角形的高线不明确需分类讨论

当等腰三角形锐角与钝角不明确时，需要讨论高在三角形外部还是内部，一-般画图解决.

【例5】在等腰三角形中，一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为120°

或60°.

【例6】已知△/1比的高力〃跖所在的直线交于点居若BF=AC,求乙仿。的度数.

解：先证△^〃/“△力比：当/力宛为锐角时，如图①，//80=45°；当N/1回为钝角时,

如图②，乙仿0=135°.故N/I8C的度数为45°或135°.

高效课堂教学设计

一、教学目标

1.让学生借助等腰三角形的轴对称日探索等边三角形的性质定理.

2.熟练应用全等、等边三角形的性质解决问题.

二、教学重难点

▲重点

熟练推导等腰三角形中的相等线段，理解等边三角形的性质.

▲难点

灵活利用等腰三角形的性质解决问题.

三、教学活动

♦活动1创设情境导入新课（课件）

已知：如图，在等腰三角形力比‘中完成下列各题：

（\y：AB=AC,：・/B=/C.根据是等边对等角:

⑵若力〃是△/1式的角平分线，仇?=8,则CD=&.根据是三线合一；

⑶若加工BC,ZBAC=40°,则/胡g200；

⑷若BD=CD,则力。,BC,/BAD=4CAD.

♦活动2实践探究段版新知

【探究1】等腰三角形中的相等线段

1.大胆猜想，探究方法.

问题1：在等腰三角形中画出一些线段（如角平分线、中线、高等）.你能发现其中一些

相等的线段吗？能证明你的结论吗？

证明：等腰三角形两底角的平分线相等.

已知：如图，在△力以'中，AB=AC,为〃和魔'是△力比'的角平分线.

求证：BD=CE.

方法一：证明：•••力8=力。，

・•・/ABC=N4G（等边对等角）.

,:BD,"分别平分/仍。和N水况

11

：.Zl=~ZABC,Z2=~ZACB,

乙乙

r.zi=Z2.

在和△侬中，

■:4ACB=4ABC,BC=CB,N1=N2,

••・△〃aWZ\a〃（ASA）.

・•・/力=龙（全等三角形的对应边相等）.

方法二：证明：•:AB=AC,

:.ZABC=/48（等边府等角）.

'：BD,"是△力比、的角平分线，

：.4ABC=243,N”忆2/4（角平分线性质），

・・.N3=N4（等式性质）.

在△力劭和中，VZ3=Z4,AB=AC,/仁NA,

・•・△力应陷△力"（ASA）.

・・・放=仪'（全等三角形的对应边相等）.

2.规范过程，巩固所学.

问题2：等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？证明它们，并与同伴交流.

已知：如图，在△/式中，AB=AC,BD,四是式的中线.

求证：BD=CE.

证明：，：AB=AC,BD,四是△/!比的中线，

・・・力〃=9。，：,AD=AE.

在△力切和△13'中，

■:AD=AE,ZJ=Z/1,AB=AC,

・•・△/!劭且△/hT（SAS）,

・・・切="（全等三角形的对应边相等）.

结论：等腰三角形两腰上的中线相等、高线相等.

3.思维发散，拓展延伸.

在上图的等腰三角形仍。中.

⑴如果N/份〃一1RACE—《UACB,那么劭一丝吗？如呆/ABD—±NABC,ZACE

334

=：/力⑵呢？由此你能得到的一个结论是BD=CE；

（2）如果力〃=：力£力£=；力氏那么吗？如果zJgJ/ia力呢？由此你得到

的结论是BD=CE:

（3）为什么等腰三角形有这样的特殊性质？因为等腰三角形是轴对称图形.

【归纳】等腰三角形是轴对称图形，两底角的平分线相等，两腰上的中线、高线都相等.

【探究2】等边三角形的性质

等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么性质呢？

已知：如图，在△力比中，AB=AC=BC

求证：ZA=ZB=ZC=^<,.

证明：

等边对等角）.

又.：AC=BC,

・•・/力=N6（等边对等角）,

：.4A=4Ii=4C.

在△/1阿中，VZJ+Zi?+Z6^180o,

：.ZA=ZB=ZC=eO°.

【归纳】定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.

♦活动3开放训练应用举例

【例1】如图，已知△力比和应都是等边三角形.求证：AE=CD.

【方法指导】利用等边三角形的性质定理证明△/1庞和△颂全等得到/历=3

证明：•・•△/［阿和△加£都是等边三角形，

:・/ABC=/CBD=60°,AB=BC,BE=BD.

AB=CB,

/ABE=/CBD,

)BE=BD,

，△力^^△物(SAS),

：.AE=CD.

【例2】如图，已知△4比是等边三角形，点8C,〃，£在同一条直线上，QCG=CD,

DF=DE、则N/?=_______.

【方法指导】是等边三角形，・・・/力0?=60°,：,ZACD=\2^.又,：CG=GD,

：•4CDG=30°,:.NFDE=15。：又.：DF=DE,AZ^=15°.

答案：15°

♦活动4随堂练习

1.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.

解：60°.

2.如图，在△力比、中，〃〃是比、的三等分点，且是等边三角形，求/曲。的度数.

解:120°.

3.如图，在△力砥中，AB=AC,Z/f=36°,〃1的星直平分线交/出于£,〃为垂足，连

接CE.

(1)求/反力的度数；

⑵若以=5,求比的长.

解：(1)/£加36°；(2)40=5.

♦活动5课堂小结与作业

【学生活动】

1.你这节课的主要收获是什么？

2.探索等腰三角形的性质时，我们运用了哪些方法？

【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对等腰三角形的特殊性质以及等边三

角形性质的理解.

【作业】课本P7习题1.2中的「、T2、T-

四、教学反思

本节课利用类比方法，探究等腰三角形中的相等线段，学生能够体会推导过程，掌握推

导方法，在证明过程还需规范，教学中要让学生投入较多的时间练习.在提出问题、解决问

题的过程中，提高学生的研究能力，自主学习能力，引导他们探究方法得出结论.

第3课时等腰三角形的判定与反证法

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例

•情景导入某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树a点)

为目标，然后在这棵树的正南岸，点插•小旗作标志，沿南偏东60°方向走•段距离到。处

时，测得/力而为30°,这时，地质专家测得比的长度是50m,就可知河流宽度是501n.

同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道欧的长度是等于

河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定.

【教学与建议】教学：从生活中的问题出发，激发学习的兴趣和动力.建议：要求学生

独立思考，进行大胆猜测，说明理由，为学习三角形的判定作好铺垫.

・置疑导入问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？

(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”；

(2)“三线合一”；

(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等.

问题2；等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？

问题3：如果把它的条件和结论反过来，还成立吗？也就是“一个三角形有两个角相等，

那么这两个角所对的边也相等”成立吗？

【教学与建议】教学：设计成问题串不但是检测学生对上节课内容掌握的情况，而且也

为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔.建议：学生口答问题1,2,3.学生各抒己见，教师

引导，并导入新课.

二、命题热点分析与示例

◎命题角度1等腰三角形的判定

等腰三角形的证明方法主要有：(1)定义，即直接证明两边相等；(2)等角对等边.这两

种方法的目的都是说明有两条线段相等.

y\

【例1】如图，在平面直角坐标系中，点力在第一象限，点尸在x轴上.若以P,0,A

为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点〃共有(C)

A.2个B.3个

C.4个D.5个

【例2】在△/砥中，N力=100°.若NQ40：,则△/切。是等腰三角形.

◎命题角度2反证法的应用

⑴假设：假设结论的反面正确；

⑵归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；

(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题结论正确.

【例3】用反证法证明某一命题的结论“a>b”时，应假设(D)

A.B.a^bC.a=bD.aWb

【例4】求证：三角形中至少有一个角不大于60°.

证明：假设△/出。中，ZAN反NC都大于60°,则/力+/8+/6>180°,

这与三角形的内角和等于180°相矛盾，

所以假设不成立.

故三角形中至少有一个角不大于60°.

高效课堂教学设计

一、教学目标

1.理解并证明等腰三角形的判定定理，会解决实际问题.

2.初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题.

二、教学重难点!

▲重点

等腰三角形的判定定埋的证明，结合实例体会反证法的含义.

▲难点

运用”等角对等边”解决实际应用问题及相关证明.

三、教学活动

♦活动1创设情境导入新课(课件)

出示填空.

(1)等腰三角形的两底角笠

(2)等腰三角形底边上的高线、底边上的中线及顶角的平分线互相重合.

(3)等腰三角形两底角的平分线相等.

(4)等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都是60。.

♦活动2实践探究交流新知

【探究1】等腰三角形的判定

己知：如图①，在△/8C中，N8=NC求证：AB=AC.

图①图②图③

证明一：如图②，作顶角的平分线力〃，则N1=N2.

在△力劭和△/1<力中，•：4B=/C,Z1=Z2,AD=AD,

・•・△力劭且△力⑦(AAS),

・・・力8=力以全等三角形的对应边相等).

讦明二：如图③.作'干点〃,则如=/力仁90°.

在△力砌和中，•:/ADB=4ADC,乙B=4C,AD=AD,

・•・△/!乐总△/IO9(AAS),

・・・力8=力。(全等三角形的对应边相等).

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称为“等角对等边”)

【探窕2】反证法

在一个三角形中，如果两个角不相等，那么，这两个角所对的边也不相等.你认为这个

结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？

D

B匕----]C

如图，在△力比中，已知///£此时/仍与〃'要么相等，要么不相等.假设四=力乙

那么根据''等边对等角”定理可得NC=NH但已知条件是/药N6：“/占与已知条

件“N屏/广'相矛盾，因此力回〃：

【归纳】先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条

件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.

“反证法”的一般步骤：

（1）假设：假设结论的反面正确；

（2）归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；

（3）结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.

♦活动3开放训练应用举例

【例1】己知：如图，AB=DC,BD=CA.

求证：△羔’〃是等腰三角形.

【方法指导】要证明△力成是等腰三角形，可以通过△力笈屋△比“得到/为夕=/4效

证明：在△/1即和△必4中，\Af）=DA,

BD=CA,

・•・AADB=/的。（全等三角形的对应角相等），

・•"£=庞（等角对等边），・•・△/!切是等腰三角形.

【例2】如图，在△力"中，N刈C=90°,力〃_!_比于点〃，BE平分NABC,交49于点片

交力。于点反求证：△加用'是等腰三角形.

【方法指导】根据角平分线和余角的性质，可得相等的角，再根据等角对等边得到等腰

三角形.

证明：*：ZBAC=90°,ADLBC,

・・・/力应'+/。=90°,/1a,+/1=90°,

・・・/l=NC（同角的余角相等）.

又YBE平分/ABC,/.Z2=Z3,

AZ1+Z2=ZH-Z3.

XVZJ/Y=Z14-Z2,N力砍=NC+N3=/1+N3,

JZAFE=/AEF,

・・・/f£=/l厂（等角对等边），

；•△力夕7是等腰三角形.

【例3】用反证法证而：一个三角形中不能有两个角是直角.

已知：丛ABC.

求证：Z/1,4B,NC不能有两个角是直角.

【方法指导】利用“反证法”的一般步骤：（1）假设；（2）归谬；（3）结论来证明.

证明：假设N力，/B,N。中有两个角都是直角，不妨设N力和N笈是直角，即N/=9D°,

NS=90°,

于是N/1+N4+NO9()°+90°+NG180°,

这与三角形内角和定理相矛盾.

因此“//I和N8是直角”的假设不成立，

所以，一个三角形中不能有两个角是直角.

♦活动4随堂练习

1.在△月虎'中，NQNC,m=3,贝的长为(B)

A.2B.3C.4D.5

2.如图，在△力比中，AB=AC,ZJ=30°,以〃为圆心，式的长为半径画圆弧，交力C

于点〃，连接物，则//仍〃的度数为(B)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

3.用反证法证明三角形中必有一个内角不小于60。，应先假设这个三角形中(B)

A.有一个内角小于6D°B,每个内角都小于60°

C.有一个内角大于6。°D.每个内角都大于60°

4.课本Py随堂练习Ti

5.课本P,J随堂练习Tz

♦活动5课堂小结与作业

【学生活动】

1.你这节课的主要收获是什么？

2.你还有哪些困惑？

【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，掌握等腰三角形的判定以及“反证法”的

运用.

【作业】课本P9习题1.3中的「、丁2、％、L.

四、教学反思

本课时的教学要点是通过探索、证明，让学生掌樨等腰三角形的判定定理和反证法的一

般步骤，熟悉反证法证明的基本思路.运用反证法进行命题的证明，需多加强练习.

第4课时等边三角形的判定

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例

・置疑导入问题1：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？等边

三角形的三条边相等，三个角相等，每个内角都等于60°.

问题2：(1)具备什么条件的三角形是等边三角形？]

三个角都相等的三角形

(2)具备什么条件的/腰三角形是等边三角形呢？

A

/\\有一个角一下60°的等腰三角形

【教学与建议】教罂：开门‘见山，利用问题直接导入新课.建议：提出问题，让学生自

由发言，教师适当补充.

•复习导入复习等腰三角形，提出问题：

(1)等腰三角形的定义是什么？

(2)等腰三角形的性质中“三线合一”指哪三线？试着画出来.

(3)等边三角形的“三线合一”中的线有几条，每条都能把三角形分成两个具有什么特征

的三角形，分成的三角形的边有何关系？

【教学与建议】教学：采用“复习旧知识，诱导新内容”导入课题.建议：学生口答后

教师总结等腰三角形和等边三角形的性质.

二、命题热点分析与示例

◎命题角度1等边三角形的判定

三条边相等的三角形，三个角都是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形均是等

边三角形，根据题意灵活运用.

【例1】下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三

个外角(每个顶点外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其

中是等边三角形的有.(填序号)

【例2】如图，〃'与初相交于点〃若勿=留ZJ=60°,且/18〃徵求证：△打力是

等边三角形.

证明：.：OA=OB,ZJ=60°,

・・・NQ/H=60°.

又,：AB"CD,：.ZC=ZA=60°,/D=/B=60°,

：./C0D=/D=/C=6G,

・•・am?是等边三角形.

◎命题角度2含30°角的直角三角形的应用

在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，主要用于解决直角三角形中

的计算和证明问题.

【例3】如图，N8=90°,AB=^on,/班430°,〃为比延长线上一点，AC=DC,

则AD=12cm.

【例4】如图所示是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离方=6.5ni,自动扶

梯的倾斜角为30°.若自动扶梯运行速度r=0.5m/s,则顾客乘自动扶梯上•层楼的时间为

26s.

-8命题角度3等腰三角形性质与30°角定理的综合应用

把等腰三角形的性质的等边对等角、“三线合一”，与30°角定理结合考查，检验学生

对定理的熟练及灵活应用程度.

【例5】如图，在Rt△力回中，/仁90°,点〃在线段回上，且N8=30°,乙必C=

60°,BC=3币,则切的长度为_郎_.

【例6】如图，已知/力加=60°,点尸在边小上，6^=20,点机、在边加上，PM=

PN.若斡4,贝IJ〃"的长度为(D)

A.3B.4C.6I).8

◎命题角度4等边三角形与30°角定理的综合运月

当在等边三角形中出现垂直条件时，结合等边三角形的内角为60°转化成含30°角的直

角三角形，再利用其边长间的关系进行计算即可.

【例7】如图，△力比是等边三角形，"JLa、，DELAB,垂足分别为〃，£若力〃=8的,

【例8】如图，等边三角形月比中，AD=BD,过点〃作以于点E过点F作咫工8c

于点E,若力Q4,则线段跖的长为］Q.

高效旗堂教学设计

一、教学目标

1.理解等边三角形的判定定理及其证明，理解含有30°角的直角三角形的性质定理及

其证明.

2.能利用等边三角形的两个判定定理解决问题.

二、教学重难点

▲重点

等边三角形判定定理的发现与证明及含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.

▲难点

含30°角的直角三角形的性质定理的探索与证明.

三、教学活动

♦活动1创设情境导入新课(课件)

欣赏几组图片(多媒体展示)：

AAAA

注意行人注意儿童注意信号灯注意危险

同学们，这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志.

(1)图中的三角形都是三角形.

(2)等边三角形与等腰三角形的关系是等边三角形是特殊的等腰三角形.

(3)等边三角形的特点是三条边相等、三个角相等、三线合一.

一个三角形满足什么条件时是等边三角形？这节课让我们一起来学习等边三角形的判定

定理及证明.

♦活动2实践探究交流新知

【探究1】等边三角形的判定方法

问题1：个三角形满足什么条件时就是等边三角形？

问题2：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？

问题3：你能证明你的结论吗？

定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.

己知：如图，在△/火。中，ZA=ZB=ZC.

求证：△/!阿是等边三角形.

证明：•:乙B=LC,：,AC=AB.

•・•/1=/£：JiC=AB,

：,AB=BC=AC,

••・△力阿是等边三角形.

定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

方法一：已知：在△/比、中，AB=AC.N[=60°.

求证：△力打。是等边三角形.

证明：'：AB=AC,:•乙B=4C.

•・・/力=60°,

180°—60°

：・4B=4C==60。，

:./A=/B=NC,

，△力砥是等边三角形.

方法二：已知：在△d/T中，AH=AC,48=60；

求证：△/1比是等边三角形.

证明：*：AB=AC.Z^=60°,

・・・/。=/6=60".

AZJ=180°-60°X2=60°,

:.乙A=41A乙3

・•・△/1方是等边三角形.

【归纳】等边三角形的判定定理：

定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.

定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

名称性质判定

三条边都相等三条边都相等的三角形是等边三角形

等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形

三个角都是60°

有一个角等于6()。的等腰三角形是等边三角形

【探究2】含30,角的直角三角形的性质

问题：请同学们用两个含30°角的全等三角尺拼成一个三角形.你能拼成怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？因此你能发现什么结论？说明理由.

发现：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

已知：如图，△?!比'是直角三角形，Z6^90°,/4=3()°.求证：BC=：AB.

证明：如图，延长式至点优使,CD=BC,连接力〃

VZ/f^=90°,N胡C=30°,

・•・/力CA90°,NQ60°.

,;AC=AC,

:AABSMADCgf

・・・力8=力〃(全等三角形的对应边相等),

・•・△力切是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).

:.BC=JBD=JAB.

乙乙

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

♦活动3开放训练应用举例

【例1】如图，在中，〃为/。边上的一点，DEUB于点E,您的反向延长线交欧

的延长线于点凡CD=CF,且N430°.

求证：冗是等边三角形.

【方法指导】由CD=CF,可得NC/）F=/E从而得到/力力:'=/*又由。匕LAB,易得N4

=/B,/笈=60°,即可证明△/出。是等边三角形.

证明：，：CD=CF,

：・"DF=/F.

又♦：4CDF=/ADE,

：,ZADF=ZF.

'：DELAB,

.*.Z/f+ZJ^=90°,Z^+ZF=90°,

・•・/力=/以等角的余角相等），

•••△力•是等腰三角形（等角对等边）.

又•・・N/'=30°,

・・・NQ900-ZA=60°,

・・・△力比、是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.

【例2】求证：如果等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半.

【方法指导】这是一道文字叙述题，首先把它用已知、求证的形式转化成图形语言和符

号语言.观察图形可以发现在△力比、中，AB=AC,NB=NACB,而是△?1式的一个外角，

则/仅10=2X15°=30°.根据在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半，可求

出CD=^AC.

已知：如图，在△4%'中，AB=AC,/月=15°,5是腰/!«上的高.

求证：CD=-zAB.

乙

D

证明：在△?!比中，

a：AB=AC,/8=15°,

:・/ACB=/B=15°（等边对等角），

AADAC=Z^+ZACB=150+15°=30°.

•・•切是腰脑上的高，

.•・/力〃490°.

・・・。7=）4。在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的

一半）.

，CD=\AB.

♦活动4随堂练习

1.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外

角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三

角形.其中是等边三角形的有（D）

A.①®③B.①@④

C.①@D.①®@④

2.如图，在△力砥中，AB=AC,40平分NBAC,若N83=60。，则△隧1的形状是（A）

O'

RL-------------

A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形

C.直角三角形D.不等边三角形

3.等腰三角形的底角等于15°,腰长为10,则这个等腰三角形腰上的高是§.

4.课本氏随堂练习

♦活动5课堂小结与作业

【学生活动】

1.你这节课有什么收获？

2.在探索等边三角形的判定与含30。角的直角三角形性质的过程中，你掌握了哪些方

法？

【教学说明】梳理本节课的重要知识和方法，加深对知识的理解.

【作业】课本巳2习题1.4中的Ti、T2>T3.

四、教学反思

本节课通过一组图片，引入等边三角形，让学生体会等边三角形的特点，学生热情很高，

参与积极.本节课的难点在于对30°角定理的理解及应用，让学生充分参与，深刻体会定理

内容，掌握应用技巧.解题过程中，培养学生获取信息、分析信息的能力.

2直角三角形

第1课时直角三角形的性质与判定

教师备课素材示例

一、新课导入建议与示例

•复习导入1.什么是勾股定理？

定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

2.在△力比'中./仁90°,/4NB,/C所对的边分别为挤b,c.

(1)若a=3,c=5,则b=一生.

(2)若a=6,N/=30°,则b=6镜.

(3)若a=6,ZJ=45°,则c=郎.

3.下面几组数中，不能组成直角三角形的是(B)

A.5,12,13B.4,6,8

C.2,3,D.4,4,5

【教学与建议】教学：复习旧知，激发学生的学习兴趣.建议：问题1,2口答，问题3

进行小组合作讨论解决.

(5)(6)(7)(8

•悬念激趣古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然

后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角.你知道这是什

么道理吗？

学了今天的知识，我们就能明白其中的道理了.

【教学与建议】教学：由古代埃及数学问题，创设问题情境，激发学