新高考数学二轮复习分层训练专题22 抛物线（解析版）

答案第=page11页，共=sectionpages22页专题22抛物线【练基础】单选题1．（2023春·全国·高三校联考）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为SKIPIF1<0，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值SKIPIF1<0称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角SKIPIF1<0满足，SKIPIF1<0，则其焦径比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入抛物线方程可得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，即可得出SKIPIF1<0．【详解】如图所示，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入抛物线方程可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）又SKIPIF1<0，化为：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.2．（2023·福建莆田·统考二模）已知F为抛物线SKIPIF1<0的焦点，A为C上的一点，SKIPIF1<0中点的横坐标为2，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据SKIPIF1<0中点的横坐标求出SKIPIF1<0点横坐标，进而由焦半径公式求出答案.【详解】由题意得：SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中点的横坐标为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，由抛物线的焦半径可知：SKIPIF1<0.故选：B3．（2023·北京平谷·统考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0，点O为坐标原点，并且经过点SKIPIF1<0，若点P到该抛物线焦点的距离为2，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由焦半径公式列出方程，求出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的长.【详解】抛物线准线方程为SKIPIF1<0，由焦半径可知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：D4．（2023·新疆·统考一模）若SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上任意一点，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上两点，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的中点到SKIPIF1<0轴的距离为（

）A．3 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据题意可知SKIPIF1<0，利用抛物线的定义和梯形的中位线即可求解.【详解】根据题意可知SKIPIF1<0如图，取AB中点E，分别过点A、B、E作SKIPIF1<0于点D、C、G，DG与SKIPIF1<0轴交于点H.根据抛物线的定义可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因为GE为梯形ABCD的中位线，所以SKIPIF1<0所以线段SKIPIF1<0的中点到SKIPIF1<0轴的距离SKIPIF1<0.故选：B5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，当SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切时，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的准线的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由直线与圆相切可得SKIPIF1<0，再联立直线与抛物线方程，结合焦半径公式即可得到结果.【详解】由题意知SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.因为直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，所以圆心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的准线的距离为SKIPIF1<0.故选:D6．（2023·陕西榆林·统考一模）如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈､极简和雕塑般的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线SKIPIF1<0的一部分，SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】写出焦点坐标，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0点坐标，根据焦半径公式得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0．【详解】由题意知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由抛物线的几何性质知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A．7．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，点M在C上，点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由抛物线的定义可得SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得∠MAF＝∠AMN，在△AMF中由正弦定理求得SKIPIF1<0，即可得到答案．【详解】由题意知点A为抛物线C的准线与x轴的交点，如图，过点M作MN垂直于准线于点N，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由抛物线的定义可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以∠MAF＝∠AMN，所以SKIPIF1<0．在△AMF中，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B．8．（2022·四川雅安·统考一模）过抛物线SKIPIF1<0的焦点F且倾斜角为锐角的直线SKIPIF1<0与C交于两点A，B（横坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点A在第一象限），SKIPIF1<0为C的准线，过点A与SKIPIF1<0垂直的直线与SKIPIF1<0相交于点M．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】由已知可求得直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立直线与抛物线的方程，可求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可解得结果.【详解】设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，倾斜角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由抛物线的定义知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，且SKIPIF1<0轴，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0的方程与抛物线的方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故选：C.二、多选题9．（2023·安徽·统考一模）已知SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0并延长，与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0 B．点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点C．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切 D．SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0平行【答案】BCD【分析】将SKIPIF1<0代入抛物线得SKIPIF1<0，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线SKIPIF1<0的方程与抛物线方程即可得到SKIPIF1<0，即可判断B，利用导数求出抛物线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程，令SKIPIF1<0，则可判断C，再次利用导数求出抛物线在SKIPIF1<0处的切线斜率，则可判断D.【详解】对A，根据中点公式得SKIPIF1<0，将其代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0，故A错误，对B，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将其代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或0（舍去），此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，故B正确；对C，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故抛物线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的斜率为SKIPIF1<0，故切线方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线，故C正确；对D，抛物线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程的斜率为SKIPIF1<0，而直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，所以SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0平行.故选：BCD.10．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，点SKIPIF1<0在C上，P为C上的一个动点，则（

）A．C的准线方程为SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长的最小值为11 D．在x轴上存在点E，使得SKIPIF1<0为钝角【答案】BC【分析】根据题意求出SKIPIF1<0，即可求出准线，即可判断A；设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据两点的距离公式结合二次函数的性质即可判断B；过点P作SKIPIF1<0垂直于C的准线，垂足为N，连接MN，再结合图象，即可求得SKIPIF1<0的周长的最小值，即可判断C；设SKIPIF1<0，再判断SKIPIF1<0是否有解即可判断D.【详解】A选项：因为点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以抛物线C的方程为SKIPIF1<0，所以C的准线方程为SKIPIF1<0，故A错误；B选项：设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，故B正确；C选项：过点P作SKIPIF1<0垂直于C的准线，垂足为N，连接MN，则SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，当且仅当M，P，N三点共线时等号成立，所以SKIPIF1<0的周长的最小值为11，故C正确；D选项：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在C上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不可能为钝角，故D错误.故选：BC.11．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0（p＞0）的焦点为F，斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0过点F交C于A，B两点，且点B的横坐标为4，直线SKIPIF1<0过点B交C于另一点M（异于点A），交C的准线于点D，直线AM交准线于点E，准线交y轴于点N，则（

）A．C的方程为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】对于A，根据题意设得SKIPIF1<0的坐标，再由直线SKIPIF1<0的斜率求得SKIPIF1<0，从而求得抛物线SKIPIF1<0的方程，由此判断即可；对于B，联立直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的方程，求得SKIPIF1<0的坐标，进而求得SKIPIF1<0，由此即可判断；对于D，设SKIPIF1<0，从而利用直接法求得SKIPIF1<0的坐标关于SKIPIF1<0的表达式，从而证得SKIPIF1<0，由此判断即可；对于C，举反例排除即可.【详解】对于A，由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得p2＋6p－16=0，又p＞0，解得p=2，所以C的方程为x2=4y，故A正确；对于B，由选项A知双曲线C的准线方程为y=－1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线l1的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得x=－1或x=4，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B正确；对于D，设点SKIPIF1<0，由题意知m≠±1且m≠±4，所以直线SKIPIF1<0，令y=－1，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确；对于C，当m=2时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C错误．故选：ABD．.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是设SKIPIF1<0，从而利用熟练的运算能力将SKIPIF1<0的坐标表示为关于SKIPIF1<0的表达式，从而得解.12．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，直线l与C交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（

）A．若直线l经过焦点F，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则直线l的倾斜角为SKIPIF1<0C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切【答案】BC【分析】A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由SKIPIF1<0列出方程，求出SKIPIF1<0，A错误；B选项，先得到直线SKIPIF1<0经过抛物线焦点，与A一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合SKIPIF1<0求出直线l的斜率，得到倾斜角；C选项，设SKIPIF1<0，由抛物线定义结合基本不等式得到SKIPIF1<0的最小值；D选项，与C一样，考虑直线l不经过焦点时，得到圆M与准线相离，D错误.【详解】A选项，由题意得：SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，A错误；B选项，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三点共线，即直线SKIPIF1<0经过抛物线焦点，当直线SKIPIF1<0的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中，得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为点A在第一象限，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0故直线l的斜率为SKIPIF1<0，设直线l的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，B正确；C选项，设SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0⊥准线于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0⊥准线于点P，因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由抛物线定义可知：SKIPIF1<0，由基本不等式得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，C正确；D选项，当直线l不经过焦点SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，由三角形三边关系可知：SKIPIF1<0，由抛物线定义可知结合C选项可知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.故选：BC【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．三、填空题13．（2023·湖北·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上一点，过点SKIPIF1<0的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的倾斜角互补，则SKIPIF1<0__________．【答案】2【分析】由题可得SKIPIF1<0，然后利用韦达定理法，两点间距离公式结合条件即得.【详解】由点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,所以抛物线C的方程为：SKIPIF1<0,设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,由直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的倾斜角互补得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：2.14．（2023·山东威海·统考一模）已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为F，以F为焦点的抛物线SKIPIF1<0与椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则该椭圆的离心率为______.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】利用抛物线和椭圆交点及简单性质,列出关系式,求解椭圆离心率即可.【详解】根据椭圆和抛物线对称性及SKIPIF1<0轴，由SKIPIF1<0在抛物线上得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆上得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.则由条件得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0即得SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0故答案为:SKIPIF1<015．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）设SKIPIF1<0为坐标原点，抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴正半轴上一点，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的准线方程为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】由题知SKIPIF1<0，进而根据SKIPIF1<0计算即可.【详解】解：如图，由题知SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍），所以，抛物线SKIPIF1<0，准线方程为：SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<016．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0为抛物线内一点，不经过SKIPIF1<0点的直线SKIPIF1<0与抛物线相交于SKIPIF1<0两点，连接SKIPIF1<0分别交抛物线于SKIPIF1<0两点，若对任意直线SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则该抛物线方程为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0推出SKIPIF1<0，结合点在抛物线上可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求得p，即得答案.【详解】由题意设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0（*）将SKIPIF1<0两点代入抛物线方程得SKIPIF1<0，作差可得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0，代入（*），可得SKIPIF1<0，此时抛物线方程为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0四、解答题17．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知抛物线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在C上，A关于动点SKIPIF1<0的对称点记为M，过M的直线l与C交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M为P，Q的中点．(1)当直线l过坐标原点O时，求SKIPIF1<0外接圆的标准方程；(2)求SKIPIF1<0面积的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由题意解得抛物线方程，设直线方程，代入抛物线方程，利用M为P，Q的中点解出P，Q的坐标，利用圆上三点求圆的方程；（2）把SKIPIF1<0面积表示为SKIPIF1<0的函数，利用导数研究单调性求最大值.【详解】（1）由点SKIPIF1<0在C上，代入SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因为M为A关于动点SKIPIF1<0的对称点，所以SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由M为P，Q的中点，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由直线l过坐标原点O，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0外接圆的一般方程SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0外接圆的标准方程为SKIPIF1<0．（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，A到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，S单调递增；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，S单调递减；故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面积的最大值SKIPIF1<0．【点睛】思路点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；最值问题经常转化成函数问题处理.18．（2023·山东日照·统考一模）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0垂直于动直线SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为等边三角形时，其面积为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0为原点，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，且与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，试问：是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）根据正三角形得三角形的边长，再根据抛物线的定义进行求解；（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由导数的几何意义可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，中点SKIPIF1<0，由点差法可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而可以求出SKIPIF1<0.【详解】（1）∵SKIPIF1<0为等边三角形时，其面积为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0和抛物线的定义可知，SKIPIF1<0落在准线上，即SKIPIF1<0，设准线和SKIPIF1<0轴交点为SKIPIF1<0，易证SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）假设存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0线为段SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，依题意得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以切线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0三点共线，满足SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，综上，存在SKIPIF1<0，使得点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点恒成立，SKIPIF1<0.【提能力】一、单选题19．（2023·陕西咸阳·校考一模）设F为抛物线C：SKIPIF1<0的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.【详解】抛物线C：SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0，准线方程SKIPIF1<0，显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B20．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）过抛物线SKIPIF1<0（p＞0）的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若n，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．3C．3或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由抛物线的定义及等比中项的性质计算可得结果.【详解】由n，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，得SKIPIF1<0．由抛物线的定义知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B.21．（2023·吉林·统考二模）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点F与椭圆SKIPIF1<0的一个焦点重合，则下列说法不正确的是（

）A．椭圆E的焦距是2 B．椭圆E的离心率是SKIPIF1<0C．抛物线C的准线方程是x=-1 D．抛物线C的焦点到其准线的距离是4【答案】D【分析】根据椭圆方程求出SKIPIF1<0，求出焦距和离心率，根据抛物线SKIPIF1<0的焦点F与椭圆SKIPIF1<0的一个焦点重合求出SKIPIF1<0，就能求出曲线和焦点到其准线的距离.【详解】根据椭圆SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0所以椭圆E的焦距是SKIPIF1<0，故A正确；椭圆E的离心率为SKIPIF1<0，故B正确；又因为椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的焦点F与椭圆SKIPIF1<0的一个焦点重合SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以抛物线C的准线方程是SKIPIF1<0，故C正确；抛物线C的焦点到其准线的距离SKIPIF1<0，故D不正确.故选：D22．（2023秋·广西河池·高三统考期末）已知抛物线SKIPIF1<0）的焦点为SKIPIF1<0，准线为l，过SKIPIF1<0的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若SKIPIF1<0，则p=（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】D【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知SKIPIF1<0，再利用数形结合可求SKIPIF1<0的值.【详解】如图，设准线与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.根据抛物线定义知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,，又SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.23．（2023·四川成都·成都七中校考二模）已知点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的对称轴与准线的交点，点SKIPIF1<0为抛物线的焦点，SKIPIF1<0在抛物线上且满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，点SKIPIF1<0恰好在以SKIPIF1<0为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先利用两点间距离表示SKIPIF1<0，再结合基本不等式求最值，并且求得点SKIPIF1<0的坐标，根据双曲线上的点和焦点坐标，即可求得双曲线的离心率.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，此时SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C24．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为任一动点．条件SKIPIF1<0：直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0；条件SKIPIF1<0：动点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上．则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先分别将条件SKIPIF1<0条件SKIPIF1<0转化为与实数对SKIPIF1<0相关的解析式，进而得到二者间的逻辑关系.【详解】条件SKIPIF1<0：直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0条件SKIPIF1<0：动点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件.故选：A25．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，圆SKIPIF1<0的半径为1，过点SKIPIF1<0的直线与圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由题作图，由图可得SKIPIF1<0，根据抛物线定义可得SKIPIF1<0等于点SKIPIF1<0到准线SKIPIF1<0的距离，根据图形可得最小值情况，从而可得SKIPIF1<0的最小值.【详解】解：因为抛物线SKIPIF1<0，所以焦点坐标为SKIPIF1<0，如下图所示：连接SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直准线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由抛物线的定义得：SKIPIF1<0，则由图可得SKIPIF1<0的最小值即抛物线顶点SKIPIF1<0到准线SKIPIF1<0的距离，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.26．（2023·陕西西安·西安市东方中学校考一模）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0上有一动点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】抛物线的准线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根据抛物线的定义可知SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0三点共线时，可求SKIPIF1<0得最小值，答案可得.【详解】解：抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由抛物线的定义可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0最小为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：C.二、多选题27．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线SKIPIF1<0上一点A(1，-4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则（

）A．C的准线方程是SKIPIF1<0B．过C的焦点的最短弦长为8C．直线MN过定点(0，4)D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为SKIPIF1<0【答案】AD【分析】由题可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，进而判断A，利用焦点弦的方程结合抛物线的定义结合条件可判断B，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，联立抛物线利用韦达定理结合条件可得m、n的数量关系，可判断C，由C分析所得的定点P，要使SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离最大有SKIPIF1<0，可得此时直线SKIPIF1<0的方程判断D.【详解】将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的准线方程是SKIPIF1<0，故A正确；由题可知SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，可设过SKIPIF1<0的焦点的直线为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设交点为SKIPIF1<0，则SKIPI