新高考数学二轮复习分层训练专题21 双曲线（解析版）

答案第=page11页，共=sectionpages22页专题21双曲线【练基础】单选题1．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示的曲线是双曲线”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】由双曲线方程的特征计算得m的范围，再由集合的包含关系可得结果.【详解】∵SKIPIF1<0表示双曲线，∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0表示双曲线的充要条件.故选：C.2．以双曲线SKIPIF1<0的一个焦点为圆心，以SKIPIF1<0为半径的圆，截该双曲线的一条渐近线所得的弦长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0，结合垂径定理运算求解.【详解】由双曲线SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，∵双曲线的焦点SKIPIF1<0到渐近线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故所得弦长SKIPIF1<0.故选：D.3．两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ的轴截面为等边三角形，平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0截圆锥侧面所得曲线记为C，则曲线C所在双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，得到点SKIPIF1<0的坐标，从而得到双曲线方程，然后结合离心率公式，即可得到结果.【详解】如图，设平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0与圆锥侧面的交线为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0的母线与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，不妨延长SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.过SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0的截面交曲线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的投影为点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0投影为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，易知点SKIPIF1<0为双曲线顶点.设SKIPIF1<0，则可求SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，代入方程：SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，故双曲线离心率为SKIPIF1<0，故选:SKIPIF1<0.4．已知SKIPIF1<0是离心率为SKIPIF1<0的双曲线SKIPIF1<0的右支上一点，则SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离与SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离之和的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由双曲线的定义，将点SKIPIF1<0到左焦点SKIPIF1<0的距离转化为到右焦点的距离，再求右焦点到直线SKIPIF1<0的距离，进而得出结果.【详解】已知双曲线SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的左、右焦点，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：A.5．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左、右焦点，以SKIPIF1<0为直径的圆与SKIPIF1<0在第二象限交于点SKIPIF1<0，且双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线垂直平分线段SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而得直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程并联立得SKIPIF1<0，再将其代入双曲线方程整理得SKIPIF1<0，再求离心率即可.【详解】解：由题设SKIPIF1<0，渐近线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为以SKIPIF1<0为直径的圆与SKIPIF1<0在第二象限交于点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线垂直平分线段SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，所以，联立方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0.故选：D6．已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上不同的三点，且SKIPIF1<0，直线AC，BC的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0的最小值为1，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【分析】根据向量共线可知SKIPIF1<0两点关于原点对称，分别设出SKIPIF1<0三点的坐标，利用点差法点差法表示出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根据基本不等式求得取最小值时满足SKIPIF1<0，计算即可求得离心率.【详解】根据题意，由SKIPIF1<0可得原点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0两点关于原点对称；不妨设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，又因为A、B，C都在双曲线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由基本不等式可知SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立；所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即离心率SKIPIF1<0.故选：A.7．已知SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0右支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交双曲线的一条渐近线于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若以SKIPIF1<0为直径的圆经过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的圆经过点SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0即可解决.【详解】设点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0

①．因为以SKIPIF1<0为直径的圆经过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②．由①②得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B．【点睛】关键点点睛：找到等价转化的桥梁，即根据直线斜率间的关系得到SKIPIF1<0，并能想到将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0的形式，从而得到SKIPIF1<0．8．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，一条渐近线为l，过点SKIPIF1<0且与l平行的直线交双曲线C于点M，若SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】B【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为SKIPIF1<0，因此直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0的正切值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由双曲线定义可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由余弦定理可知：SKIPIF1<0，故选：B二、多选题9．已知曲线SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若曲线SKIPIF1<0表示两条平行线，则SKIPIF1<0B．若曲线SKIPIF1<0表示双曲线，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0表示椭圆D．若SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0表示焦点在SKIPIF1<0轴的椭圆【答案】BD【分析】根据曲线的形状求出参数SKIPIF1<0的取值范围，逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，若曲线SKIPIF1<0表示两条平行线，则有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，合乎题意，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，合乎题意，故A错；对于B选项，若曲线SKIPIF1<0表示双曲线，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，B对；对于C选项，若曲线SKIPIF1<0表示椭圆，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，C错；对于D选项，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0的方程可化为SKIPIF1<0，此时，曲线SKIPIF1<0表示焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆，D对.故选：BD.10．已知双曲线C过点SKIPIF1<0且渐近线方程为SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．C的方程为SKIPIF1<0B．C的离心率为SKIPIF1<0C．曲线SKIPIF1<0经过C的一个焦点D．C的焦点到渐近线的距离为1【答案】CD【分析】根据给定条件，求出双曲线方程，再逐项计算判断作答.【详解】因为双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0，则设双曲线C：SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在双曲线C上，有SKIPIF1<0，即双曲线C的方程为SKIPIF1<0，A错误；双曲线C的实半轴长SKIPIF1<0，虚半轴长SKIPIF1<0，半焦距SKIPIF1<0，双曲线C的离心率SKIPIF1<0，B错误；双曲线C的焦点坐标为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，C正确；双曲线C的焦点SKIPIF1<0到渐近线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，D正确．故选：CD11．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，动点P与两个定点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0连线的斜率之积等于SKIPIF1<0，记点P的轨迹为曲线E，则（

）A．E的方程为SKIPIF1<0 B．E的离心率为SKIPIF1<0C．E的渐近线与圆SKIPIF1<0相切 D．过点SKIPIF1<0作曲线E的切线仅有2条【答案】ACD【分析】求得点P的轨迹方程判断选项A；求得E的离心率判断选项B；求得E的渐近线与圆SKIPIF1<0的位置关系判断选项C；求得过点SKIPIF1<0作曲线E的切线条数判断选项D.【详解】设点SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以点P的轨迹方程为SKIPIF1<0，故A正确；又曲线E的离心率SKIPIF1<0，故B不正确；圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0到曲线E的渐近线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，又圆SKIPIF1<0的半径为1，故C正确；如图：曲线E的渐近线SKIPIF1<0，则过点SKIPIF1<0作曲线E的切线仅有2条故D正确.故选：ACD12．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左，右焦点，过SKIPIF1<0右支上一点SKIPIF1<0SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0.则（

）A．SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0 B．点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0C．过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．四边形SKIPIF1<0面积的最小值为4【答案】ACD【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得SKIPIF1<0，进而结合双曲线方程，即可得出点SKIPIF1<0的坐标，即可判断B项；根据双曲线的光学性质可推得，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.进而得出SKIPIF1<0，结合双曲线的定义，即可判断C项；由SKIPIF1<0，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项.【详解】对于A项，由已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，故A项正确；对于B项，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，故B项错误；对于C项，如上图，显然SKIPIF1<0为双曲线的切线.由双曲线的光学性质可知，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的延长线交于点SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C项正确；对于D项，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.所以，四边形SKIPIF1<0面积的最小值为4，故D项正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：C项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出SKIPIF1<0.三、填空题13．已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的一个交点，则SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0__________.【答案】1【分析】根据题意，由离心率可得SKIPIF1<0的关系，再将点的坐标代入双曲线方程即可得到SKIPIF1<0，然后联立双曲线与圆的方程即可得到点SKIPIF1<0的坐标，从而得到结果.【详解】由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<014．已知双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A为双曲线SKIPIF1<0的右支上一点，点A关于原点SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由对称性和双曲线定义得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理列出方程，求出SKIPIF1<0，得到离心率.【详解】由对称性可知：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由双曲线定义可知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故离心率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<015．不与x轴重合的直线l过点N（SKIPIF1<0,0）（xN≠0），双曲线C：SKIPIF1<0（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则C的离心率为____________．【答案】2【分析】由点差法得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，代入斜率公式化简并利用SKIPIF1<0可求得离心率.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是AB垂直平分线，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：216．已知双曲线E：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若E上存在点P，满足SKIPIF1<0，（O为坐标原点），且SKIPIF1<0的内切圆的半径等于a，则E的离心率为____________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再结合双曲线的定义可得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的内切圆的半径为a，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简运算即可得E的离心率.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为P在双曲线上，所以SKIPIF1<0，联立可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的内切圆的半径为a，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两边平方得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两边同时除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、SKIPIF1<0，得到a，c的关系．四、解答题17．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0在C上，且SKIPIF1<0．(1)求C的标准方程；(2)设点P关于坐标原点的对称点为Q，不过点P且斜率为SKIPIF1<0的直线与C相交于M，N两点，直线PM与QN交于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)1【分析】（1）根据题意结合双曲线的定义的应用列方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0即可得出答案；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线MN的方程为SKIPIF1<0，联立方程消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，根据韦达定理得出SKIPIF1<0，根据已知得出SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，当直线PM，QN的斜率均存在时，设出方程联立得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可比出答案，当直线PM的斜率不存在时，易求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当直线QN的斜率不存在时，易求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上，即可得出答案.【详解】（1）由题意可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的标准方程为：SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线MN的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线MN与C相交于M，N两点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．由题意知，SKIPIF1<0，当直线PM，QN的斜率均存在时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线PM的方程为SKIPIF1<0，直线QN的方程为SKIPIF1<0．两方程联立得，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当直线PM的斜率不存在时，易求得直线PM的方程为SKIPIF1<0，直线QN的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当直线QN的斜率不存在时，易求得直线QN的方程为SKIPIF1<0，直线PM的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．综上，SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为SKIPIF1<0；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的一元二次方程，必要时计算SKIPIF1<0；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0）的形式；（5）代入韦达定理求解.18．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0的直线l与双曲线C交于SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0在双曲线C上，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的面积；(2)若SKIPIF1<0（O为坐标原点），点SKIPIF1<0，记直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，问：SKIPIF1<0是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.·【分析】（1）设SKIPIF1<0，根据两点间长度得出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，即可根据已知列式解出SKIPIF1<0，即可得出答案；（2）根据第一问得出双曲线的方程，设SKIPIF1<0，直线l的方程为SKIPIF1<0，根据韦达定理得出SKIPIF1<0，即可根据直线方程得出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，则根基两点斜率公式得出SKIPIF1<0，化简代入即可得出答案.【详解】（1）依题意可知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去），又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0.（2）由（1）可SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线C的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线l的方程为SKIPIF1<0，与双曲线C的方程联立，消去y得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由一元二次方程根与系数的关系得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.·【提能力】一、单选题19．双曲线SKIPIF1<0的两个焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，且满足SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】设SKIPIF1<0，进而根据向量垂直的坐标表示得SKIPIF1<0，再根据点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上待定系数求解即可.【详解】解：由题，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0.故选：A20．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点M，N在y轴上，且满足SKIPIF1<0（O为坐标原点）．直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与C的左、右支分别交于另外两点P，Q，若四边形SKIPIF1<0为矩形，且P，N，SKIPIF1<0三点共线，则C的离心率为（

）A．3 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由四边形SKIPIF1<0为矩形，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由P，N，SKIPIF1<0三点共线，可得SKIPIF1<0，由P，M，SKIPIF1<0三点共线，可得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，从而得答案.【详解】解：如图所示：，由SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，P，N，SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，P，M，SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.21．已知点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足为A，交另一条渐近线于点B．若SKIPIF1<0，则双曲线C的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.【详解】双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为：SKIPIF1<0，不妨令点A在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，如图，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，点SKIPIF1<0在y轴同侧，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线方程为SKIPIF1<0.故选：A22．已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，左顶点为SKIPIF1<0为坐标原点，以SKIPIF1<0为直径的圆与SKIPIF1<0的渐近线在第一象限交于点SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0的内切圆半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】渐近线与圆联立求出SKIPIF1<0点坐标，两点间的距离公式求出SKIPIF1<0的长，利用三角形等面积可建立SKIPIF1<0之间的等量关系，同除SKIPIF1<0，建立SKIPIF1<0的一元二次方程，求解即可.【详解】由题意知SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0过第一､三象限的渐近线方程为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0.联立SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0的内切圆半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.结合SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.故选：A23．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据已知结合双曲线两条渐近线对称关系可得SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即可得出双曲线的离心率为SKIPIF1<0.【详解】双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的渐近线的方程为SKIPIF1<0，双曲线两条渐近线方向向下的夹角为SKIPIF1<0，根据双曲线两条渐近线对称关系可得SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为SKIPIF1<0，故选：D.24．已知SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0左支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交双曲线的一条渐近线于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若以SKIPIF1<0为直径的圆经过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设点SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，利用圆的几何性质可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0的值，由此可求得双曲线的离心率.【详解】设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，①由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0以及以SKIPIF1<0为直径的圆经过点SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，②由①和②得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．故选：D.25．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线C：SKIPIF1<0的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】结合双曲线定义数形结合判断SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为SKIPIF1<0，即可求解SKIPIF1<0的值.【详解】由双曲线定义得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0如图示，当SKIPIF1<0三点共线，即Q在M位置时，SKIPIF1<0取最小值，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得点Q的坐标为SKIPIF1<0(Q为第一象限上的一点)，故SKIPIF1<0故选：A26．已知双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左、右焦点分别为F1，F2，M，N在C上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据SKIPIF1<0及SKIPIF1<0得知SKIPIF1<0的外心与重心重合，所以SKIPIF1<0是等边三角形，就可以把M的坐标用SKIPIF1<0表示出来，代入双曲线方程整理求解.【详解】由SKIPIF1<0可知，点F1是SKIPIF1<0的外心，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以点F1是SKIPIF1<0的重心，所以SKIPIF1<0是等边三角形，由对称性可知MN⊥F1F2．且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨设M在第二象限，所以点M的横坐标为SKIPIF1<0，纵坐标为SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0．又点M在双曲线SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，两边同时除以SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：D二、多选题27．若曲线C的方程为SKIPIF1<0，则（

）A．当SKIPIF1<0时，曲线C表示椭圆，离心率为SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，曲线C表示圆，半径为1D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4【答案】BC【分析】根据方程研究曲线的性质，由方程确定曲线形状，然后求出椭圆的SKIPIF1<0得离心率，得焦距判断AD，双曲线方程中只要把常数1改为0，化简即可得渐近线方程，判断B，由圆的标准方程判断C．【详解】选项A，SKIPIF1<0时，曲线方程为SKIPIF1<0，表示椭圆，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，A错；选项B，SKIPIF1<0时曲线方程为SKIPIF1<0表示双曲线，渐近线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B正确；选项C，SKIPIF1<0时，曲线方程为SKIPIF1<0，表示圆，半径为1，C正确；选项D，曲线C表示椭圆时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，无最大值．D错．故选：BC．28．已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为SKIPIF1<0，点D,G满足SKIPIF1<0