2024-2025学年广东省深圳实验学校高二上学期段考一数学试题及答案

试题PAGE1试题深圳实验学校高中部2024-2025学年度第一学期第一阶段考试高二数学时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（）A. B. C. D.2.直线一个方向向量是（）A. B. C. D.3.正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（）A. B. C. D.4.直线a⊥平面，b∥，则a与b关系为A.a⊥b且a与b相交 B.a⊥b且a与b不相交C.a⊥b D.a与b不一定垂直5.已知直线的参数方程为（为参数），则直线上与点的距离等于的点的坐标是（）A. B. C.或 D.或6.，分别为直线与上任意一点，则最小值为（）A. B. C. D.7.如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（）A. B.C. D.8.点到直线的距离最大时，直线的方程为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.设A、B、C、D是空间中四个不同的点，下列命题中正确的是（）A若AC与BD共面，则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线，则AD与BC也是异面直线C.若，则AD=BCD.若，则AD⊥BC10.已知空间四点，则下列四个结论中正确的是（）A. B.C.点到直线的距离为 D.点到平面的距离为11.下列说法正确的是（）A.方程与方程可表示同一直线B.经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为C.过两点，的直线都可用方程表示D.已知，，点在轴上，则的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为_______．13.在正三棱锥中，是的中心，，则______.14.已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线的倾斜角为，且经过点．（1）求直线的方程；（2）求点关于直线的对称点的坐标．16.如图，在四棱锥中，底面是边长为4菱形，，.（1）求证：；（2）求的长.17.已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为.（1）求直线的方程；（2）若点满足，求动点的轨迹方程.18.已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面.（1）证明：平面；（2）若是线段上一点，且平面，①求三棱锥的体积；②求平面与平面夹角余弦值.19.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由

深圳实验学校高中部2024-2025学年度第一学期第一阶段考试高二数学时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由空间直角坐标系的定义求解．【详解】点关于轴对称的点的坐标为.故选：A.2.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量．【详解】由直线，得，所以直线的斜率为，可得直线的一个方向向量为，因为选项ACD中的向量均与向量不共线，选项B中的向量与向量共线，所以直线的一个方向向量为.故选：B.3.正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得，，，设，求得，即可求解.【详解】以为原点，以，，所在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，可得，，，因为点在线段上运动，设，且，所以，可得，又因为，所以，即.故选：A．4.直线a⊥平面，b∥，则a与b的关系为A.a⊥b且a与b相交 B.a⊥b且a与b不相交C.a⊥b D.a与b不一定垂直【答案】C【解析】【详解】，则存在直线有．又因为，所以，从而可得．而可能相交也可能异面，故选C5.已知直线的参数方程为（为参数），则直线上与点的距离等于的点的坐标是（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】假设所求的点坐标为，然后利用两点之间的距离公式计算可得结果.【详解】设所求的点坐标为则所以当时，所求点为当时，所求点为故选：C6.，分别为直线与上任意一点，则最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值.【详解】由，可得两条直线相互平行，所以最小值为平行线之间的距离，可化为，所以，.故选：A7.如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量基本定理得到，故.【详解】为四面体的棱的中点，为的中点，故，，，因为，所以，.故选：A8.点到直线的距离最大时，直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由直线方程确定定点，根据时点线距离最大，求出直线的斜率，进而可得直线的斜率，进而写出直线的方程.【详解】由直线的方程整理可得：，可得直线恒过定点，所以，当时，到直线的距离最大，可得直线的斜率为，即，所以直线的方程为，即．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.设A、B、C、D是空间中四个不同的点，下列命题中正确的是（）A.若AC与BD共面，则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线，则AD与BC也是异面直线C.若，则AD=BCD.若，则AD⊥BC【答案】ABD【解析】【分析】利用平面的性质可判断AB，利用空间四边形及线面垂直的判定定理可判断CD．【详解】对于选项A，若与共面，则与共面，正确；对于选项B，若与异面直线，则四点不共面，则与是异面直线，正确；如图，空间四边形中，AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC不一定相等，故C错误；对于D，当四点共面时显然成立，当四点不共面时，取BC的中点M，连接AM、DM，则，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，故D正确.故选：ABD.10.已知空间四点，则下列四个结论中正确的是（）A. B.C.点到直线的距离为 D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式，空间的距离公式和点到直线、点到平面的距离的向量运算公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于选项A:结合题意可得，因为，所以，故选项A正确；对于选项B:结合题意可得，故选项B正确；对于选项C：结合题意可得取,,所以,所以点到直线的距离为故选项C错误；对于选项D：结合题意可得,设平面的法向量为，则，令，则，所以点到平面的距离为,故选项D正确；故选：ABD.11.下列说法正确的是（）A.方程与方程可表示同一直线B.经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为C.过两点，的直线都可用方程表示D.已知，，点在轴上，则的最小值是【答案】CD【解析】【分析】根据方程的特点即可判断A；举特例当直线过原点也符合题意，即可判断B；根据两点式方程的变形进行判断C；先求出关于轴的对称点为，再结合三点共线问题求解即可判断D.【详解】对于A，不过点，而直线过点，故A错误；对于B，当直线过原点时，直线方程，也符合题意，故B错误；对于C，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点，的直线，故C正确；对于D，设关于轴的对称点为，则，所以当三点共线时最小，此时，故D正确.故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为_______．【答案】或【解析】【分析】按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解.【详解】当直线经过原点时，直线方程为：即，满足题意；当直线不经过原点时，设直线方程为，所以，解得，所以直线方程为即；综上所述，直线方程为或.故答案为：或.13.在正三棱锥中，是的中心，，则______.【答案】##【解析】【分析】由正三棱锥的性质可得平面，从而得到，，再由向量的线性运算和数量积运算即可求得.【详解】∵在正三棱锥中，是的中心，∴平面，平面ABC，∴，即，∵，，∴，∴.故答案为：14.已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为____________.【答案】4,+∞【解析】【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接交与点，连接分别交为点，则之间即为点的变动范围．再求出直线的斜率即可．【详解】∵，∴直线方程为，直线方程为,如图，作关于的对称点，则，再作关于的对称点，则,连接交与点，则直线方程为,∴，连接分别交为点，

则直线方程为，直线方程为，

∴，连接，

则之间即为点的变动范围．

∵直线方程为，直线的斜率为

∴斜率的范围为

故答案为：.【点睛】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线的倾斜角为，且经过点．（1）求直线的方程；（2）求点关于直线的对称点的坐标．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由倾斜角和斜率的关系求斜率，根据点斜式求直线的方程；（2）设点的坐标为，由条件列方程求即可.小问1详解】设直线的斜率为，因为直线倾斜角为，所以，所以直线的方程为，即【小问2详解】设点的坐标为，则，解得，所以点的坐标为．16.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，.（1）求证：；（2）求的长.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论；（2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案.【小问1详解】证明：设，则构成空间的一个基底，，，所以，所以.【小问2详解】由（1）知，所以.所以.17.已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为.（1）求直线的方程；（2）若点满足，求动点的轨迹方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设点，根据的中点在直线上，求出点坐标，再求得关于直线对称的点，进而可求直线的方程；（2）根据题意确定点到直线的距离相等，从而得动点的轨迹为与直线平行，且距离等于点到直线的距离的直线.【小问1详解】由点在，设，则中点在直线上，所以，解得，所以，设点关于直线对称的点，则有，解得，即，显然在上，直线的斜率为，由点斜式，整理得，即为直线的方程.【小问2详解】点到直线的距离的距离为，因为点满足，所以点到直线的距离相等，所以动点的轨迹为与直线平行，且距离等于点到直线的距离的直线，设轨迹方程为为，则有,解得或4，所以动点的轨迹方程为或.18.已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面.（1）证明：平面；（2）若是线段上一点，且平面，①求三棱锥的体积；②求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）①；②【解析】【分析】（1）先由勾股定理证，再由面面垂直证平面，得，可得平面；（2）①连接,设,连接，利用线面平行的性质推得，确定点是线段上靠近点的三等分点，从而求得体积；②依题意建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得.【小问1详解】因，，故,又，且，故在直角梯形中，，由可得；因平面平面，，平面平面，则平面，又平面，则，又，因平面，故平面.【小问2详解】①如图，连接,设，连接,因平面，且平面,平面平面，则，故，在四边形中，由,可得,故，即，即点是线段上靠近点的三等分点，故②如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则,所以，,,设平面的法向量为，则，可取，因，故,,设平面的法向量为，则由，可取，故，故平面与平面夹角的余弦值为.【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间直线、平面位置关系的判断证明和空间向量在求空间角方面的应用.解题关键在于要熟悉关于线面平行、垂直的判定和性质定理，熟练掌握利