必修五简单的线性规划

必修五简单的线性规划演讲人：日期：目录contents线性规划基本概念线性规划图解法单纯形法求解线性规划对偶理论与灵敏度分析运输问题和指派问题求解整数规划问题简介线性规划基本概念01定义线性规划是一种数学方法，用于在给定线性约束条件下，求解线性目标函数的最优解。特点线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，这使得问题可以通过数学方法得到精确解。此外，线性规划具有广泛的应用性，可以应用于各个领域。线性规划定义与特点资源分配问题生产计划问题运输问题其他问题线性规划问题分类01020304涉及如何将有限资源分配给不同部门或项目，以最大化或最小化特定目标。涉及如何安排生产计划，以满足市场需求并最小化成本。涉及如何将物品从供应地运输到需求地，以最小化运输成本。包括投资组合优化、网络流优化等。表示要优化（最大化或最小化）的线性表达式，通常表示为c^Tx，其中c是目标函数系数向量，x是决策变量向量。目标函数表示决策变量必须满足的线性等式或不等式，通常表示为Ax<=b或Ax=b，其中A是约束条件系数矩阵，b是约束条件向量。约束条件满足所有约束条件的决策变量集合。可行域在可行域内使目标函数达到最优值的决策变量取值。最优解线性规划数学模型线性规划图解法02满足所有约束条件的解构成的集合，在平面上表现为一个多边形区域。可行域最优解边界与顶点在可行域中，使得目标函数达到最大或最小值的解。可行域的边界由约束条件决定，顶点为多条约束条件交汇的点，通常是最优解的候选点。030201可行域与最优解概念绘制约束条件确定可行域寻找最优解示例分析图解法步骤及示例将线性规划问题的约束条件转化为直线方程，并在坐标系中绘制出来。通过平移目标函数直线，观察其与可行域的交点，确定最优解的位置。根据约束条件的符号（≤、≥、=），确定可行域的范围。结合具体例题，展示图解法的应用过程。图解法适用于二维平面上的线性规划问题，对于高维问题无法直接应用。适用场景有限图解法需要手工绘制图形并观察交点，过程较为繁琐，容易出错。手工操作繁琐由于手工操作和观察的限制，图解法的精度可能受到一定影响。精度受限对于大规模线性规划问题，图解法效率低下，难以实际应用。无法处理大规模问题图解法局限性分析单纯形法求解线性规划03单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它的基本思想是从一个可行解出发，通过不断迭代，逐步改善目标函数值，直到找到最优解。单纯形法利用线性规划问题的特殊结构，通过一系列线性变换，将原问题转化为一系列等价的子问题，从而逐步逼近最优解。单纯形法原理简介大M法通过在原线性规划问题中加入人工变量和一个大数M，构造一个新的线性规划问题，其最优解即为原问题的初始基可行解。初始基可行解是单纯形法迭代过程的起点，可以通过两阶段法或大M法等方法获取。两阶段法将原问题分为两个阶段进行求解，第一阶段求解一个辅助线性规划问题，得到一个基可行解，第二阶段在保持基可行性的前提下，逐步改善目标函数值。初始基可行解获取方法单纯形法的迭代过程是通过不断进行基变换，将非基变量逐一出基，将进基变量换入基中，从而得到新的基可行解。在每次迭代中，需要选取一个合适的非基变量进行出基操作，以及选取一个合适的进基变量进行换入基操作，以保证目标函数值得到改善。最优解判定是通过检验所有非基变量的检验数是否均小于等于0来进行的。若所有非基变量的检验数均小于等于0，则当前基可行解即为最优解；否则，需要继续进行迭代。迭代过程及最优解判定对偶理论与灵敏度分析04在数学规划中，每一个线性规划问题都存在一个与之相联系的对偶问题，对偶问题是从不同角度、用不同提法来描述实质相同的问题。对偶问题定义对偶问题具有对称性，即原问题的对偶问题的对偶问题是原问题；弱对偶性，即原问题的任一可行解所对应的目标函数值，总是大于等于对偶问题的任一可行解所对应的目标函数值；强对偶性，即在一定条件下，原问题的最优解只由各个约束条件的边界汇合而成，对偶问题的最优解也只由各个约束条件的边界汇合而成，此时原问题与对偶问题的最优解相等。对偶问题性质对偶问题定义及性质对偶单纯形法求解过程确定初始基可行解首先找到一个初始基可行解，这可以通过两阶段法或者大M法来实现。进行最优性检验计算非基变量的检验数，如果所有检验数都小于等于0，则当前基可行解就是最优解，否则需要进行基变换。选择出基变量与进基变量根据一定的规则（如最小检验数规则）选择出基变量和进基变量，进行基变换，得到新的基可行解。重复进行最优性检验和基变换直到找到最优解为止。灵敏度分析定义01灵敏度分析是研究线性规划问题中参数变化时最优解的变化情况，即分析当某些数据在一个小范围内变动时，最优解将如何变化，它为决策者在实际问题中提供了一定的预测和决策依据。灵敏度分析步骤02首先求解原问题得到最优解，然后分析目标函数系数或约束条件右端项的变化对最优解的影响，最后根据分析结果给出相应的预测或决策建议。应用举例03例如在生产计划中，当原材料价格、市场需求等因素发生变化时，可以通过灵敏度分析来预测和调整生产计划，以达到降低成本、提高效益的目的。灵敏度分析及应用举例运输问题和指派问题求解05运输问题是一种特殊的线性规划问题，其数学模型通常包括供应地、需求地、运输成本等要素，目标是最小化总运输成本或最大化总运输效益。运输问题数学模型运输问题可以采用多种方法进行求解，如单纯形法、表上作业法、内点法等。其中，表上作业法是一种简便易行的方法，适用于规模较小的运输问题。求解方法运输问题数学模型及求解方法指派问题数学模型指派问题是一种特殊的0-1整数规划问题，其数学模型通常包括n个任务和n个人，每个人完成不同任务的成本不同，目标是最小化总成本或最大化总效益。求解方法指派问题可以采用匈牙利算法、分支定界法等方法进行求解。其中，匈牙利算法是一种高效的求解方法，适用于大多数指派问题。指派问题数学模型及求解方法运输问题和指派问题关系探讨运输问题和指派问题都是线性规划问题的特例，它们在数学模型上具有一定的相似性。例如，都可以表示为最小化或最大化某个目标函数的形式，都需要满足一定的约束条件。运输问题和指派问题的联系运输问题和指派问题在问题规模、约束条件、求解方法等方面存在一定的差异。例如，运输问题通常涉及多个供应地和需求地，而指派问题则只涉及一组任务和一组人；运输问题的约束条件通常比较复杂，而指派问题的约束条件则相对简单；此外，两者的求解方法也有所不同。运输问题和指派问题的区别整数规划问题简介06整数规划定义与分类整数规划定义整数规划是指一类数学规划问题，其中全部或部分决策变量被限制为整数值。这类问题在实际应用中广泛存在，如生产调度、物流配送、资源分配等。整数规划分类根据约束条件和目标函数的性质，整数规划可分为线性整数规划、二次整数规划和非线性整数规划。线性整数规划是最常见的一类，其约束条件和目标函数均为线性函数。分支定界法是一种求解整数规划的常用方法。它通过不断将原问题分解为子问题（分支）并估计子问题的解的范围（定界），从而逐步缩小搜索范围，最终找到最优解。分支定界法原理分支定界法的基本步骤包括选择分支变量、创建子问题、求解子问题、更新上下界和剪枝等。在实际应用中，还需要根据问题的具体特点选择合适的分支策略和定界方法。分支定界法步骤分支定界法求解整数规划VS割平面法是一种求解整数线性规划的常用方法。它通过引入额外的线性