2025年高考数学二轮复习 专题一 函数与导数 第2讲　基本初等函数、函数与方程原卷版

第2讲基本初等函数、函数与方程（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】基本初等函数的图象与性质 3【考点二】函数的零点 4【考点三】函数模型及其应用 6【专题精练】 8考情分析：1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．22．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．24．（2022·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．7．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．1二、多选题8．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（

）．A． B．C． D．三、填空题9．（2024·全国·高考真题）已知且，则．10．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则，．11．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为．12．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.考点突破考点突破【考点一】基本初等函数的图象与性质核心梳理：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．一、单选题1．（2024·山东·一模）函数，则y=fx的部分图象大致形状是（

）A． B．C． D．2．（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（）A． B．C． D．二、多选题3．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（

）A． B．C．为奇函数 D．在上具有单调性4．（2023·湖南·模拟预测）已知函数，则（

）A．的最小值为1 B．，C． D．三、填空题5．（2024高三·全国·专题练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则.6．（2023·河南·二模）已知，，则．规律方法：(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．【考点二】函数的零点核心梳理：判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断．(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．一、单选题1．（2024·广东·模拟预测）函数在开区间的零点个数为（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·山东潍坊·一模）函数（）的图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．是奇函数C．的图象关于直线对称D．若（）在上有且仅有两个零点，则4．（2024·安徽·三模）已知函数其中，且，则（

）A． B．函数有2个零点C． D．三、填空题5．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是．6．（2023·天津滨海新·三模）已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是．规律方法：利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【考点三】函数模型及其应用核心梳理：解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．一、单选题1．（2024·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（

）A． B． C． D．2．（2021·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（

）A．135 B．149C．165 D．195二、多选题3．（23-24高三上·贵州贵阳·期中）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），不同声的声强级如下，则（

）（）正常人能忍受最高声强正常人能忍受最低声强正常人平时谈话声强某人谈话声强（）120080A． B． C． D．4．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（

）(参考数据:)A．B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的D．若年后，样本中氚元素的含量为，则三、填空题5．（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为．（参考数据：（）6．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量t（单）783182258338油费s（元）107150110264110376平均每单里程k（公里）151515平均每公里油费a（元）0.70.70.7出租车空驶率；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则（精确到0.01）规律方法：构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型．(2)构建的函数模型有误．(3)忽视函数模型中变量的实际意义．专题精练专题精练一、单选题1．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南长沙·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是年前的遗物（参考数据：），则实数的值为（

）A．12302 B．13304 C．23004 D．240343．（2023·山东菏泽·三模）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·北京·期中）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（

）A．1.25 B．1.5 C．1.67 D．25．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（

）（参考数据：，）A．12 B．13 C．14 D．156．（2023·浙江宁波·一模）已知函数的零点分别为，则（

）A． B．C． D．7．（2024·四川达州·二模）定义在上的奇函数，满足，当时，，若，则（

）A． B． C． D．8．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数方程有两个不同的根，分别是则（

）A． B．3 C．6 D．9二、多选题9．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．10．（2024·云南曲靖·二模）已知集合，定义，则下列命题正确的是（

）A．若，则与的全部元素之和等于3874B．若表示实数集，表示正实数集，则C．若表示实数集，则D．若表示正实数集，函数，则2049属于函数的值域11．（2024·江苏·一模）已知，且，，则(