2025年高考数学二轮复习 专题一 函数与导数 第6讲　函数的公切线问题原卷版

第6讲函数的公切线问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】求两函数的公切线 2【考点二】与公切线有关的求值问题 3【考点三】判断公切线条数 4【考点四】求参数的取值范围 4【专题精练】 5考情分析：函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．真题自测真题自测一、单选题1．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．二、填空题2．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.三、解答题3．（2022·全国·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．考点突破考点突破【考点一】求两函数的公切线一、单选题1．（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（）A．， B．，C．， D．，2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·安徽安庆·模拟预测）已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为，则下列说法正确的有（

）A． B．C．若，则 D．与的交点可能在第三象限4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的是（

）A．曲线的图象在轴的上方B．当时，C．若，则D．当时，和必存在斜率为的公切线三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）曲线与的公切线方程为.6．（23-24高三上·山东日照·期末）已知函数的图象上存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线重合，则此切线的方程为.（写出符合要求的一条切线即可）规律方法：求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．【考点二】与公切线有关的求值问题一、单选题1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（

）A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1二、多选题3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则（

）A．恒成立的充要条件是B．当时，两个函数图象有两条公切线C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为，则4．（2023·湖北·模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（

）A．0 B． C． D．三、填空题5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则.6．（2024·四川·模拟预测）若直线是曲线fx=lnx的切线，也是曲线的切线，则规律方法：利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．【考点三】判断公切线条数一、单选题1．（2023·河南·三模）已知函数的图像关于原点对称，则与曲线和均相切的直线l有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．（2023·安徽合肥·模拟预测）曲线与曲线有（

）条公切线.A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·江西南昌·一模）已知函数，则和的公切线的条数为A．三条 B．二条 C．一条 D．0条规律方法：运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．【考点四】求参数的取值范围一、单选题1．（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2024·云南曲靖·一模）已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·湖南郴州·模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题4．（2023·河北邯郸·三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是．5．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a的取值范围．6．（2023·河北唐山·三模）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为.规律方法：利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解．专题精练专题精练一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．（22-23高二下·江苏盐城·期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（）A． B． C． D．3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，，若直线为和的公切线，则b等于（

）A． B． C． D．4．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（22-23高三上·安徽宿州·阶段练习）若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（

）A． B． C． D．6．（22-23高三上·河南洛阳·阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）A．11 B．12 C． D．7．（2022·江苏南京·模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．8．（2022·安徽马鞍山·一模）若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·河北保定·二模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）A． B． C． D．10．（2024·江西·一模）已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（

）A． B．C． D．11．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（

）A．函数的极值点为1B．C．若分别是曲线和上的动点.则的最小值为D．若对任意的恒成立，则的最小值为三、填空题12．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的