2025年高考数学二轮复习 专项训练9 导数与不等式证明（原卷版）

2025二轮复习专项训练9导数与不等式证明[考情分析]导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单调性、极值和最值的综合运用，试题难度较大，多以压轴题出现．【练前疑难讲解】一、单变量函数不等式的证明用导数证明不等式一般有以下方法(1)构造函数法．(2)由结论出发，通过对函数变形，证明不等式．(3)分成两个函数进行研究．(4)利用图象的特点证明不等式．(5)利用放缩法证明不等式．二、双变量函数不等式的证明破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的单调性，从而求其值；三是回归含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等式中，即可证得结果．一、单选题1．（2023·福建·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．2．（21-22高三下·安徽安庆·阶段练习）已知，都是正整数，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2025·广东·模拟预测）记函数在区间的极值点分别为，，函数的极值点分别为，，则（

）A． B．C． D．4．（2023·重庆万州·模拟预测）若函数，，满足对均有，则的取值不可能为（

）A． B． C． D．9三、填空题5．（2022·河南·模拟预测）已知的定义域为R，若函数满足，则称为的一个不动点，有下列结论：①的不动点是3；②存在不动点；③若函数为奇函数，则其存在奇数个不动点；若为偶函数，则其存在偶数个不动点；④若为周期函数，则其存在无数个不动点；⑤若存在不动点，则也存在不动点，以上结论正确的序号是.6．（2021·河南郑州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为.四、解答题7．（2024·山东济南·二模）已知函数(1)讨论的单调性；(2)证明：.8．（2023·甘肃酒泉·三模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围．【基础保分训练】一、单选题1．（2021·全国·模拟预测）已知且且且，则（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．3．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若实数满足，则（

）A． B．C． D．二、多选题4．（2024·浙江温州·模拟预测）已知，，且则以下正确的是（

）A． B．C． D．5．（2022·广东茂名·二模）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（

）A． B． C． D．1三、填空题6．（2021·湖北武汉·三模）当x≠0时，函数f(x)满足，写出一个满足条件的函数解析式f(x)=．7．（20-21高二·全国·课后作业）已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是．四、解答题8．（2024·北京石景山·一模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值与最小值；(3)当时，求证：．9．（2022·广东广州·一模）已知函数，为的导数.(1)证明：当时，；(2)设，证明：有且仅有2个零点.10．（2025·全国·模拟预测）设函数(1)分析的单调性和极值；(2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；(3)若，且满足时，证明：.11．（2023·河南郑州·三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．【能力提升训练】一、单选题1．（2022·江苏·二模）已知实数，且，为自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．2．（2023·福建福州·模拟预测），则（

）A． B．C． D．3．（2022·山西晋中·模拟预测）已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．二、多选题4．（2022·全国·模拟预测）已知a，，满足，则（

）A． B． C． D．5．（2024·河北沧州·一模）已知函数与函数的图象相交于两点，且，则（

）A． B．C． D．6．（2024·海南海口·模拟预测）设函数，则（

）A．B．函数有最大值C．若，则D．若，且，则三、填空题7．（2023·浙江温州·二模）已知函数，则的最小值是；若关于的方程有个实数解，则实数的取值范围是.8．（2024·北京西城·三模）已知函数，下面命题正确的是.①存在，使得；②存在，使得；③存在常数，使得恒成立；④存在，使得直线与曲线有无穷多个公共点.9．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知函数，若存在，使得，则的最小值为.四、解答题10．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零