2025年高考数学二轮复习 专项训练15 等差数列、等比数列（原卷版）

2025二轮复习专项训练15等差数列、等比数列[考情分析]高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合的解答题形式考查，属于中档题目．【练前疑难讲解】一、等差数列、等比数列的基本运算1．等差数列(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.2．等比数列(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).二、等差数列、等比数列的性质1．等差数列常用性质：(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；(2)an＝am＋(n－m)d；(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．2．等比数列常用性质：(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；(2)an＝am·qn－m.三、等差数列、等比数列的判断与证明证明数列{an}是等差(比)数列的方法：(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法：①利用定义，证明eq\f(an＋1,an)(an≠0，n∈N*)为一常数；②利用等比中项，证明aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(an≠0，n≥2，n∈N*)．一、单选题1．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列的前项和为，，，且是，的等差中项，则使得成立的最小的的值为（

）A．8 B．9 C．10 D．112．（2024·河南郑州·二模）已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．－36或36 B．－36 C．36 D．18二、多选题3．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知等差数列的前项和为，的公差为，则（

）A． B．C．若为等差数列，则 D．若为等差数列，则4．（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（

）A．若取，，则B．满足题意的也必是一个等比数列C．在的前100项中，的可能项数最多是6D．如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列三、填空题5．（23-24高三上·江苏·期末）若数列满足，（），则.6．（2024·湖北·一模）设等比数列的前项和为，若，则公比的取值范围为．四、解答题7．（2024·云南昆明·三模）正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，，(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足，求数列的前项和．8．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列的前n项和为，且，其中.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.【基础保分训练】一、单选题1．（2024·浙江·模拟预测）已知数列满足：，且数列为等差数列，则（

）A．10 B．40 C．100 D．1032．（2024·河南·三模）已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（

）A． B． C． D．3．（2023·陕西宝鸡·一模）已知等差数列满足，则下列命题：①是递减数列；②使成立的的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是（

）A．①② B．①③C．①④ D．①②③4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（）A． B． C． D．5．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（

）秒．A．10 B．11 C．12 D．136．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（

）A． B． C． D．7．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知是正项等比数列的前项和，且，，则（

）A．212 B．168 C．121 D．1638．（2023·上海浦东新·三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件9．（23-24高二上·安徽宣城·期末）设是等比数列的前项和，若，则（

）A．2 B． C． D．10．（21-22高二上·全国·课后作业）如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题11．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（

）A．等差数列，若，则B．等比数列，若，则C．若为数列前n项和，则，仍为等差数列D．若为数列前n项和，则，仍为等比数列12．（22-23高二上·广东广州·期末）记为数列的前项和，下列说法正确的是（

）A．若对，，有，则数列一定是等差数列B．若对，，有，则数列一定是等比数列C．已知，则一定是等差数列D．已知，则一定是等比数列三、填空题13．（23-24高三下·湖南·开学考试）若数列满足，，则的最小值是．14．（23-24高三上·云南昆明·开学考试）设是等比数列，且，，则.四、解答题15．（2024·四川成都·二模）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.16．（2024·山东·二模）已知数列．求：(1)数列的通项公式；(2)数列的前项和的最大值．17．（2024·陕西安康·模拟预测）设等比数列的前项和为，已知.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前项和.18．（2023·吉林·模拟预测）已知等比数列{an}的前n项和Sn＝﹣m.(1)求m的值，并求出数列{an}的通项公式；(2)令，设Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.【能力提升训练】一、单选题1．（2024·北京东城·一模）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龙江·二模）在公差不为0的等差数列中，，，是公比为2的等比数列，则（

）A．11 B．13 C．15 D．174．（2022·江西上饶·二模）已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（

）A．2 B．3 C．4 D．95．（2024·北京顺义·二模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（

）A．511 B．61 C．41 D．96．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（

）A．40 B．-30 C．30 D．-30或407．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等比数列的前项和，则（

）A．3 B．9 C． D．8．（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（

）（单位：万元，结果保留一位小数）A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9二、多选题9．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C．当时，取得最小值 D．10．（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（

）A．数列是等差数列 B．数列是等差数列C．数列是递增数列 D．数列是递增数列11．（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．小华一共前进3步的概率最大三、填空题12．（2024·山东日照·模拟预测）若函数的四个零点成等差数列，则．13．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，且数列的前项和为．若的最大值为，则实数的最大值是．14．（21-22高二·全国·课后作业）在等比数列中，，，则．四、解答题15．（2024·浙江·一模）已知数列满足，记数列的前项和为．(1)求；(2)已知且，若数列是等比数