2024年浙教九年级上册《比例线段》练习卷（三）

浙教新版九年级上册《4.1比例线段》2024年同步练习卷（3）

一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知线段a=2,b=8,c是线段a,6的比例中项，则线段c的长为（）

A.4或一4B.4C.2D.8

2.已知P是线段的黄金分割点，且AP>PB,AB=10,则/尸长约为（）

A.0.618B.6.18C.3.82D.0.382

3.已知线段及上一点P,当点尸满足下列哪一种关系时，点P为的黄金分割点：

①心二人口政；②4P=1Ag；③一西AB；④丝=⑤竽=遍一1.

22PB2AP2

其中正确的是（）

A.①②③B.①②③④C.②③④⑤D.①②③④⑤

4.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比越接近0.618时，越给人一种美感.小颖妈妈身高165c〃z,下

半身长X与身高/的比值是0.60,为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）

A.8cmB.7cmC.6cmD.5cm

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

5.如果a：b=12：8,且b是a和c的比例中项，那么6：c等于

467

6.若点C是线段川的黄金分割点，则布等于

7.如图，扇子的圆心角为犷，余下扇形的圆心角为x与y的比通常按黄金比来设

计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6,则y的值为

8.如图,线段43=1,P是的黄金分割点，且PA〉PB,&表示以尸/为边长的正方

形面积,S2表示以为长、网为宽的矩形面积，则&—$2=

9.如图,直线沙=3c+3与x轴交于点/,与y轴交于点6.过3点作直线BP与

轴正半轴交于点尸，取线段。/、OB、OP,当其中一条线段的长是其他两条线段长

度的比例中项时，则尸点的坐标为

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三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

10.（本小题8分）

已知线段是N3,CD的比例中项，AB=4cm,CD=9cm,求九W的长.

11.（本小题8分）

如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片/BCD,先折出8C的中点£,再折出线段NE,

然后通过折叠使即落在线段£/上，折出点2的新位置R因而EF=ER类似的，在上折出点M使

4M=AF,则M是的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由.

12.（本小题8分）

已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底边与腰的比值为黄金分割比）.如图，△AB。，ABDC,

△OE。都是黄金三角形，已知43=1,求。E的长度.

13.（本小题8分）

若一个矩形的短边与长边的比值为Y『（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形.

（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形4800（48〉4D）中，以短边为一边作正方形NEED；

（2）探究：在（1）中的四边形匹CP是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；

（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）.

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DC

14.（本小题8分）

【新知理解】

如图①，点C在线段A8上，若则称点C是线段A5的圆周率点.

（1）若AC=3，则AB=；

（2）若点。也是图①中线段的圆周率点（不同于点C）,则NCBD；（填“=”或“户”）

【解决问题】

如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数

轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点。的位置.若点M、N是线段0C的圆周率点，求的长.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：•.•线段c是线段。和6的比例中项，a=2，b=8,

：.c2==16»

解得：c=±4,

又•.•线段是正数，

c=4.

故选：B.

根据线段比例中项的概念得出①c=c：b,再根据a=2,b=8,求出c的值，注意把负值舍去.

本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解.

2.【答案】B

【解析】解：由于P为线段=10的黄金分割点，

且/尸是较长线段；

./E__1

则AP=------AB«0.618AB=0.618x10=6.18.

2

故选：B.

根据黄金分割点的定义，知/尸是较长线段；则4P=代入数据即可得出4P的长.

2

本题考查黄金分割点的概念.应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3一遍,较长的线段=原线

2

段的通一1.

2

3.【答案】B

【解析】解：当4P2=AB.PB或4P=遍一1AB或P8=3—播AB或理=g一1时，可判断点P

22PB2

为的黄金分割点.

故选8.

根据黄金分割的定义分别进行判断.

本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段NC和庆7（4。〉8。），且使NC是和3c的比例中项（

即AC=AC-.BC）,叫做把线段黄金分割，点C叫做线段N2的黄金分割点，其中

AC=西TyLB«0.618AB，并且线段48的黄金分割点有两个.

2

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4.【答案】A

【解析】解：根据已知条件得下半身长是165x0.60=99cm,

99+y

设需要穿的高跟鞋是"冽，则根据黄金分割的定义得：寂［j=0-618,

解得：y仁8cm.

故选：A.

先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解.

本题考查了黄金分割的应用.关键是明确黄金分割所涉及的线段的比.

5.【答案】3：2

【解析】解：*/a：b=12：8,且b是。和c的比例中项，

.,.设Q=12N,b=8/，贝U

62=ac，

即（8力y=12力・c,

解得：。=学力,

o

16

b：c=8x：--X=3：2.

o

故答案为：3：2.

直接利用已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案.

此题主要考查了比例线段，正确表示出各数是解题关键.

6.【答案】.T或3-西

22

【解析】解：根据题意知，4C可能是较长线段，也可能是较短线段，

当4C是较长线段时，些=0二1；

AB2

ACAB-ACV5-1_3-V5

当/c是较短线段时,

故本题答案为：渔二1或匕皿

22

把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分

割，他们的比值产:1）叫做黄金比.

理解黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值.这里主要应注意/C可能是较长线段，也可能是较短线段.

7.【答案】225

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【解析】解：由扇子的圆心角为炉，余下扇形的圆心角为,，黄金比为0.6，

根据题意得：x：y=0.6=3：5,

又...力+g=360,

5

则力=360XG=225,

8

故答案为：225.

由题意得到x与y的比值应为黄金比，根据黄金比为0.6,得到x与y比值为0.6,即为3：5,再根据扇子

的圆心角与余下的圆心角刚好构成周角，即x与y之和为360,即可求解.

此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x与y的关系式.

8.【答案】0

【解析】解：是线段N8的黄金分割点，且PA>PB,

PA2=PB・AB，

又&表示以尸/为边长的正方形的面积，S2表示以为长、网为宽的矩形面积，

2

,-.S^PA,S2=PB-AB,

：.Si=&，

Si-S2=0

故答案为0.

根据黄金分割的定义得到PA2=PB.AB，再利用正方形和矩形的面积公式有Si=PA2,S2=PB-AB,

那么&=$2，即Si—星=0.

本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整

个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点.

9【答案】([0),(9,0),(焉,0)

【解析】解：•.•直线？/=31+3与x轴交于点/,与>轴交于点3,

.•.点/的坐标是(一1,0),点8的坐标是(0,3),

\OA\=1,OB=3,

•.•点尸在x轴正半轴上，

设点P的坐标是(x,0),

•.•当线段OA线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，

：,OA2=OB-OP>

1=3-x,

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解得/=

o

点P的坐标是4,0),

o

当线段05线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，

：,OB2^OA-OP>

：.9=Lx，

解得a;=9,

二点P的坐标是(9,0),

当线段。尸线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，

：,OP2^OB-OA<

二.=3X1，

解得x=\/3，

二点尸的坐标是(通,0),

综上所述，点尸的坐标是0),(9,0),(血,0).

故答案为：(9,0),(Ao).

根据|题意得出0川=1,OB=3,再根据点尸在X轴正半轴上，设出点尸的坐标是(00),再分三种情况

讨论当线段3线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，当线段线段的长是其他两条线段长度的比

例中项时，当线段O尸线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，分别求出x的值，即可得出答案.

此题考查了比例线段和一次函数图象上点的坐标特征，关键是根据题意设出点P的坐标，再根据比例中项

进行求解，注意分三种情况讨论.

10.【答案】解：•.•线段是CD的比例中项，

:.AB-.MN=MN：CD,

.♦.MN?=ABCD，

：,MN=VAB-CD>

•/AB=CD=9cm>

MN=A/36=6(cm).

【解析】根据比例中项的概念得到“N2=4BCO,即可求得线段MN的值.

本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的

关键.

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11.【答案】证明：•.•正方形的边长为2,E为3c的中点,

:.BE=l

：,AE=y/AB2+BE2=V5，

•：EF=BE=1，

：,AF=AE-EF=\/5-11

AM=AF=y/5—1，

：.AM：AB=(^5-1)：2,

.•.点M是线段N2的黄金分割点.

【解析】设正方形/BCD的边长为2,根据勾股定理求出/£的长，再根据£为3c的中点和翻折不变性,

求出的长，二者相比即可得到黄金比.

本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成两部分，使其中

较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值(、RT)叫做黄

金比.

12.【答案】解：•.•△ABC,ABDC,△。石。都是黄金三角形,

.-.AC^AB=1,AD=BD=BC,DE=CD,BC=色—J。=卡T,CD=^^

222

【解析】由黄金三角形的定义得出力O=_BO=BC,DE=CD,月。="二l二1

22

CD=^~1BC=3~^>即可求解.

22

本题考查了黄金三角形，熟记黄金分割的比值是解题的关键.

13.【答案】解：⑴如图.

(2)探究：四边形瓦兀下是矩形，而且是黄金矩形.

•.•四边形4EFD是正方形，

:"AEF=90°

NBEF=90°，

•.•四边形N3C。是矩形,

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ZB=ZC=90°

:.NBEF=NB=NC=90°,

二四边形EBC户是矩形.

【方法1】设co=a,4Z?=b,则9=匹匚

a2

CFa-ba22(^5+1)通一1

'---=----=---1d=--------11=----------11=------

"EFbbx/5-142

二.矩形匹CF是黄金矩形.

【方法2］设。。=出则4。=述2-%，CF=CD-DF=a

3—西

CF_2&_3—滤_通-1

"^F~述—1—75-1―—2~

——z-----a

二矩形MC尸是黄金矩形.

(3)归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形.

【解析】(1)只需在矩形的长上截取4E=4D,DF=AD,连接斯即可；