2025年高考数学一轮复习讲义：定点问题（原卷版）

专题51定点问题（新高考专用）

f目录

【真题自测】................................................................2

【考点突破】................................................................2

【考点1】直线过定点问题.....................................................2

【考点2］其它曲线过定点问题................................................4

【分层检测】................................................................5

【基础篇】..................................................................5

【能力篇】..................................................................8

【培优篇】..................................................................9

挛真题自测

一、解答题

1.（2022・全国•高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0,-2）,台］，-“两

点.

⑴求E的方程；

（2）设过点P（L-2）的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点”满足

MT=TH-证明：直线HN过定点.

2.（2021•全国•高考真题）已知椭圆C的方程为二+4=1（。＞万＞。），右焦点为尸（血,0），且离心率为逅.

a2b23

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线/+〉2=〃2（*＞0）相切.证明：加，此厂三点共线的充

要条件是|MN|=6.

考点突破

【考点1】直线过定点问题

一、解答题

2

1.（2024,湖南邵阳•三模）已知椭圆C：2，+方v=1（。＞6＞0）的离心率1为右顶点。与C的上，下顶点所

围成的三角形面积为2指.

⑴求C的方程.

⑵不过点。的动直线/与C交于A,3两点，直线QA与。8的斜率之积恒为5.

（i）证明：直线/过定点；

（ii）求AQAB面积的最大值.

2.（2024•陕西•模拟预测）已知动圆M经过定点£（-6,0）,且与圆月：（x-6）2+y=16内切.

⑴求动圆圆心M的轨迹C的方程；

⑵设轨迹C与x轴从左到右的交点为点48,点尸为轨迹C上异于42的动点，设直线PB交直线x=4于

点T,连接AT交轨迹C于点0；直线AP,AQ的斜率分别为七户，kAQ.

（i）求证:《p&e为定值;

（ii）设直线尸。：x=3+〃，证明：直线PQ过定点.

3.（2024•广东广州•模拟预测）已知A（TO）,网1,0）,平面上有动点尸，且直线AP的斜率与直线3P的斜

率之积为1.

2

⑴求动点尸的轨迹。的方程.

⑵过点A的直线与。交于点M（M在第一象限），过点B的直线与O交于点N（N在第三象限），记直线AM，

8N的斜率分别为尢，k2,且尢=4七.试判断AAMN与ABMN的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该

定值；若不为定值，请说明理由.

4.（2024•江西宜春•三模）已知以点M为圆心的动圆经过点6（-3,0）,且与圆心为F?的圆（％-3）2+丁=12相

切，记点M的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵若动直线/与曲线C交于A85，为）两点（其中乂%>。），点A关于x轴对称的点为4,且直线

54'经过点尸（一1,0）.

（回）求证：直线/过定点；

（回）若|上4|+|尸8|=4小，求直线/的方程.

5.（23-24高二下•福建泉州•期中）已知抛物线C:y2=2px（0<p<3）,其焦点为P,点。（根,2石）在抛物线

C上，且|纱|=4.

⑴求抛物线C的方程；

⑵。为坐标原点，4,2为抛物线上不同的两点，且。4_LO3,

（i）求证直线AB过定点；

（ii）求Y4FO与AASO面积之和的最小值.

6.（2024•江苏盐城•模拟预测）已知抛物线C：无2=2外（p>0）,动直线/与抛物线C交于A,8两点，分别

过点A、点B作抛物线C的切线lt和4，直线4与x轴交于点M,直线4与无轴交于点N,乙和/2相交于点Q.当

点。为时，的外接圆的面积是4兀.

⑴求抛物线C的方程；

3

⑵若直线/的方程是y=x+],点P是抛物线C上在A,8两点之间的动点（异于点A,8）,求丽.丽的

取值范围；

⑶设r为抛物线C的焦点，证明：若出@=|用用恒成立，则直线/过定点

反思提升：

圆锥曲线中定点问题的两种解法

⑴引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何

时没有关系，找到定点.

3

(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

【考点2]其它曲线过定点问题

一、解答题

1.(2024•西藏拉萨•二模)已知抛物线C:*=2py(p>0)上的两点A2的横坐标分别为-4,81A5|=6店.

⑴求抛物线C的方程；

⑵若过点。(0,8)的直线/与抛物线C交于点问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这

个定点；若不过定点，请说明理由.

2.(2024•山东泰安•模拟预测)已知抛物线=2py(p>0),焦点为尸，点C(2,l)在E上，直线/用、=履+1

(左W0)与E相交于Al两点，过A,2分别向E的准线/作垂线，垂足分别为A，片.

⑴设4的面积分别为汇邑，邑，求证：S；=4邑§；

(2)若直线AC,分别与/相交于M,N,试证明以MN为直径的圆过定点P,并求出点尸的坐标.

3.(2024•新疆喀什•三模)已知双曲线E：V-3y2=3的左、右焦点分别为《，工，A是直线/：y=-二x

a

(其中。是实半轴长，c是半焦距)上不同于原点。的一个动点，斜率为尤的直线AE与双曲线E交于M,

N两点，斜率为网的直线A工与双曲线E交于P,。两点.

11,…

⑴求7+“的值；

(2)若直线OM,ON,OP,。。的斜率分别为心M，小kOP,心°,问是否存在点A,满足

kOM+kON+kOP+kOQ=0,若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由.

22

4.(2024•福建泉州•模拟预测)已知双曲线C:鼻-2=l(a>0,6>0)的实轴长为2,离心率为2,右焦点为F,

ab

P为C上的一个动点，

⑴若点尸在双曲线C右支上，在X轴的负半轴上是否存在定点M.使得=若存在，求出点

”的坐标；若不存在，请说明理由.

(2)过户作圆。：尤2+丁='的两条切线卜3若切线卜4分别与C相交于另外的两点E、G,证明：区aG

三点共线.

221

5.(2024・福建福州•模拟预测)已知椭圆W:]+}=l(a>b>0)的离心率为刀，且过点(2,0).

⑴求W的方程；

(2)直线彳一〃9+1=0(相片0)交卬于43两点.

k

(i)点A关于原点的对称点为C,直线的斜率为左，证明：人为定值；

m

4

cii)若W上存在点P使得衣，而在福上的投影向量相等，且APAB的重心在y轴上，求直线A3的方程.

22

6.(2024•天津和平・二模)在平面直角坐标系尤Oy中，椭圆去+方=l(a>6>0)的右焦点为点F椭圆上顶

AF277

点为点4右顶点为点8,且满足r=.

⑴求椭圆的离心率；

(2)是否存在过原点。的直线/,使得直线/与椭圆在第三象限的交点为点C,且与直线AF交于点。，满足

3y/3\FD\^2\CD\smZDOB,若存在，求出直线/的方程，若不存在，请说明理由.

反思提升：

(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的

水平位置、竖直位置，即左=0或左不存在时.

(2)以曲线上的点为参数,设点P(xi,yi),利用点在曲线於,y)=0上,即於1,州)=0消参.

电分层检测

【基础篇】

一、单选题

22

1.(2021•山东滨州•一模)已知椭圆四：二+匕=1的左、右焦点分别是K，F2,左右顶点分别是A/儿,

点尸是椭圆上异于A，4的任意一点，则下列说法正确的是()

4

A.|尸制+|尸段=5B.直线PA与直线时的斜率之积为:

C.存在点P满足N月尸K=90。D.若回耳P鸟的面积为4石，则点尸的横坐标为土逐

2.(2021•浙江温州三模)如图，点A,B,C在抛物线丁=4x上，抛物线的焦点B在AB上，AC与x轴交

于点。，=AB±BC,则即=()

c.2A/3D.3

5

3.（2021•广西•二模）已知椭圆=+y2=l的上顶点为A,B、C为椭圆上异于人的两点，且AB1AC,则直

4'

线BC过定点（）

A.（1,0）B.（AO）C,（0,[D.]°，T]

2

4.（2023・河南•二模）已知动点尸在双曲线C：尤=i上，双曲线c的左、右焦点分别为耳，F2,则下

列结论：

①C的离心率为2；

②C的焦点弦最短为6；

③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；

\ppI

④当动点尸在双曲线C的左支上时，的最大值为;.

-\PF2\4

其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、多选题

2

5.（2021•湖北黄冈•三模）己知动点P在双曲线C:x2-q_=l上，双曲线C的左、右焦点分别为片,为，下列

结论正确的是（）

A.双曲线C的渐近线与圆。-2）2+丁=3相切

B.满足|尸弱|=4的点p共有2个

C.直线V=MX-2）与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是一有〈发〈班

D.若|「耳|+|尸用=8,则S△PKB=6

6.（2023•全国•模拟预测）已知抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为R点A（2,l）在C上，尸为C上的一个动

点，贝U（）

A.C的准线方程为尸-1B.若M（0,3）,则1PM的最小值为20

C.若“（3,5）,则△PMF的周长的最小值为UD.在x轴上存在点E,使得NPEF为钝角

7.（2024・河南•模拟预测）已知抛物线「：y2=16x,过点N（6,0）作直线乙，，直线4与「交于A,C两点,

A在x轴上方，直线4与「交于8,D两点，。在x轴上方，连接AB,C£>,AD,8C,若直线AB过点加（2,0）,

则下列结论正确的是（）

6

A.若直线A3的斜率为1,则直线CD的斜率为:

B.直线CD过定点（18,0）

C.直线AZ）与直线2C的交点在直线x=T上

D.AABN与△CDN的面积之和的最小值为1600

三、填空题

8.（2021•辽宁•模拟预测）汽车前照灯主要由光源、反射镜及配光片三部分组成，其中经过光源和反射镜顶

点的剖面轮廓为抛物线，而光源恰好位于抛物线的焦点处，这样光源发出的每一束光线经反射镜反射后均

可沿与抛物线对称轴平行的方向射出.某汽车前照灯反射镜剖面轮廓可表示为抛物线C.在平面直角坐标系

中，设抛物线C:y2=4x,抛物线的准线记为/，点/（孤4）,动点P在抛物线上运动，若点P到准线/的距

离等于且满足此条件的点P有且只有一个，则机=

9.（2024•四川宜宾・二模）己知产为抛物线C:/=-8>的焦点，过直线/：y=4上的动点M作抛物线的切线，

切点分别是P，Q,则直线PQ过定点.

10.（2023•全国•模拟预测）已知双曲线;一/=1S>0）的一条渐近线的倾斜角的正切值为笠.若直线

41Q

广如+"（1<4且疗力一）与双曲线交于43两点，直线。4,08的斜率的倒数和为一，则直线产〃优+"

5m

恒经过的定点为.

四、解答题

11.（22-23高三上•山西•阶段练习）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C经过点M（石,忘），

N（跖-1）.

⑴求C的方程；

（2）已知点0（3,0）,直线=与C交于A8两点，且直线的斜率之和为！，证明：

点（小）在一条定抛物线上.

12.（2021•山西运城•模拟预测）已知尸（1,2）在抛物线C：>2=2。尤上.

⑴求抛物线C的方程；

（2）A,B是抛物线C上的两个动点，如果直线9的斜率与直线尸8的斜率之和为2,证明：直线过定点.

【能力篇】

一、单选题

22

1.（2021•浙江绍兴•三模）过点"（1,1）的两条直线4,4分别与双曲线C：♦-当相交于点A,

ab

。和点3,D,满足汨=4加，B［M=AMD（彳>0且％wl）.若直线AB的斜率左=2,则双曲线。的离

7

心率是（）

A.&B.V2+1C.2D.73

二、多选题

22

2.（2023•湖北襄阳•模拟预测）在平面直角坐标系xQy中，由直线x=T上任一点尸向椭圆上+乙=1作切

43

线，切点分别为A、B,点A在x轴的上方，贝（）

A.当点尸的坐标为（-4,0）时，|尸加=手

B.当点尸的坐标为（T,l）时，直线的斜率为36

C.存在点尸，使得NAP3为钝角

D.存在点尸，使得|B4|=|尸

三、填空题

3.（2024・河南•二模）直线/：x-缈+2=0。〃>0）与抛物线：9=©相交于两点，若在V轴上存在点P使

得丽・丽=0，则机的最小值为.

四、解答题

22

4.（2024•全国•模拟预测）已知双曲线C：\一当=1（.>0/>0）的右焦点为厂（2,0）,直线/：x=（r<0）与