数学课堂探究：独立性检验

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一相互独立事件的概率相互独立事件的概率求解要使用相互独立事件的概率公式，即若事件A与事件B相互独立，则满足P(AB）＝P（A）P(B）,涉及两个以上独立事件，则用相互独立事件定义的推广，应用公式时，一定要优先判断事件之间的关系．【典型例题1】下列是某班英语及数学成绩的分布表，已知该班有50名学生,成绩分1～5共5个档次．如：表中所示英语成绩为第4档，数学成绩为第2档的学生有5人，现设该班任意一名学生的英语成绩为第m档，数学成绩为第n档．（1）求m＝4，n＝3的概率；（2)若m＝2与n＝4是相互独立的，求a，b的值．思路分析：能理解表中数据的含义是解题的关键，再根据两事件独立列出等式,进而求出参数a，b的值．解:（1)由表知英语成绩为第4档、数学成绩为第3档的学生有7人,而总学生数为50人,∴P＝eq\f（7，50)。(2)由题意知，a＋b＝3。①又m＝2与n＝4相互独立，所以P(m＝2）P（n＝4）＝P（m＝2，n＝4），即eq\f（1＋b＋6＋a,50）·eq\f(3＋1＋b,50)＝eq\f(b,50).②由①②,解得a＝2，b＝1.探究二独立性检验的应用独立性检验实际上是检验两个分类变量是否相关,相关的程度有多大，其应用过程是先通过χ2统计量的计算公式求出χ2的值，其值越大，说明两个分类变量有关系成立的可能性越大,具体统计判断如下：若χ2＞6.635,则有99％的把握说A与B有关；若χ2＞3。841，则有95%的把握说A与B有关，这样就可以拒绝统计假设H0；反之，若χ2≤3。841，我们就认为没有充分的证据说事件A与B有关．【典型例题2】某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm）的值落在[29.94，30。06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件,量其内径尺寸,得结果如下表：甲厂：分组[29。86,29.90)［29。90,29.94）［29。94,29。98）[29。98,30。02)频数126386182分组［30。02,30。06）[30。06，30。10)[30.10,30。14）频数92614乙厂:分组[29。86，29.90）［29。90,29。94)[29.94，29.98）［29。98,30.02）频数297185159分组［30.02，30。06）[30。06，30.10）［30。10，30。14）频数766218(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99％的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异"。甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附:χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21）2，n1＋n2＋n＋1n＋2)，P（χ2≥k0）0。050.01k03.8416.635思路分析：(1）利用样本的频率来估计零件的优质品率;(2)对题干中甲、乙两厂的数据信息进行归纳整理完成2×2列联表，再求出χ2的值并结合检验标准进行判断．解:（1）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为eq\f（360，500)＝72％；乙厂抽查的产品中有320件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为eq\f（320，500）＝64％。(2)甲厂乙厂合计优质品360320680非优质品140180320合计5005001000χ2＝eq\f（1000×(360×180－320×140）2,500×500×680×320)＝7.353＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．探究三易错辨析易错点:忽略公式P（AB)＝P（A）·P(B)的使用前提而致误【典型例题3】有10个零件,其中3个次品，现从中任取2个,记A：恰好有1个次品，B：至少有1个次品，求P（AB）．错解:由题意,得P(A)＝eq\f（7,15),P（B)＝eq\f（8,15)，则P(AB）＝P(A）P（B)＝eq\f（7,15）×eq\f(8,15）＝eq\f(56，225)。错因分析：因为A:恰好有1个次品，B：至少有1个次品，所以AB：恰好有1个是次品，即P(AB）＝P(A)≠P(A）P(B），从而