湖南省名校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷2

高二数学专版考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为纯虚数，则（）A.3 B. C. D.2.在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（）A B. C. D.3.若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（）A. B.C. D.4.函数单调递减区间为（）A. B. C. D.5.6万多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可观测到.已知某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距太阳最近的点）距太阳中心0.6天文单位，远日点（距太阳最远的点）距太阳中心35天文单位，且近日点､远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的离心率约是（）A.0.017 B.0.25 C.0.86 D.0.976.已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（）A. B. C. D.7.已知直线与抛物线相交于两点，点在轴上，且，则点到坐标原点的距离为（）A.4 B.2 C. D.8.已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线和圆，则（）A.直线过定点B.直线与圆有两个交点C.存在直线与直线垂直D.直线被圆截得的最短弦长为10.如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，则（）A.B.平面C.D.点到平面的距离为11.已知椭圆左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点（与的顶点不重合），则（）A.的方程为B.C.面积随周长变大而变大D.直线和的斜率乘积为定值三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，内角的对边分别为，已知，则__________.13.曲线的周长为__________.14.已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）若在区间上的值域为，求实数的取值范围.16.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，且平面平面ABCD，．（1）证明：平面PCD；（2）若，E为棱PC的中点，求直线PC与平面ABE所成角的正弦值．17.已知抛物线C：与椭圆E：的一个交点为，且E的离心率.（1）求抛物线C和椭圆E的方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线AP，AQ，与C的另一交点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点.18.已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为2.（1）求E的方程.（2）若为上一点，求的取值范围.（3）判断上是否存在不同的三点，使得线段（为坐标原点）的中点与的中点重合于直线上一点.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.19.在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作.（1）已知点和点，直线，求和.（