数学课堂探究：平面向量的线性运算（第课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一向量加法法则的应用求向量和的方法及步骤【典型例题1】如图,在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC,AB∥CF，连接CD，那么（在横线上只填上一个向量）:(1）＋＝________；(2)＋＝________；（3）＋＋＝________。思路分析：平移向量，运用平行四边形法则和三角形法则求解．解析：由已知可得四边形DFCB为平行四边形．（1）易知＝。由三角形法则得＋＝＋＝；(2）易知＝，所以＋＝＋＝；（3）＋＋＝＋＋＝.答案：（1)(2)（3）探究二向量加法运算律的应用向量运算中化简的两种方法1．代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．2．几何法：通过作图,根据三角形法则或平行四边形法则化简．【典型例题2】化简下列各式：（1）＋＋＋＋；（2）(＋）＋＋。思路分析:首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和．解:(1)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.(2）(＋)＋＋＝（＋)＋(＋)＝＋＝。提醒利用平行四边形法则时，要注意向量必须在同一起点，否则要通过平移将它们变为有相同起点的向量，然后作平行四边形．探究三向量加法的实际应用向量加法应用的关键及技巧1．三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量．2．应用技巧：（1）准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；(2）将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解．【典型例题3】在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．思路分析：解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解．解:如图所示，设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km。则飞机飞行的路程指的是｜｜＋｜|；两次飞行的位移的和指的是＋＝。依题意，有｜|＋||＝800＋800＝1600(km）．又α＝35°,β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°。所以｜|＝＝＝800（km）．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°。从而飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和的大小为800eq\r（2）km，方向为北偏东80°。探究四易错辨析易错点:用平行四边形法则作平行向量的和【典型例题4】如图，已知平行向量a,b，求作a＋b.错解：作eq\o（OA，\s\up6（→））＝a,＝b,则＝a＋b就是求作的向量．错因分析：由于a∥b，所以不适合用平行四边形法则，应该用三角形法则．正解：作＝a，＝b，则＝a＋b就是求作的向量．方法技巧(1）当a与b同向共线时,a＋b与a，b同向，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b|。(2)当a与b反向共线时，若｜a｜〉|b|，则a＋b与a