数学自我小测：第一讲四直角三角形的射影定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．在△ABC中，∠ACB＝90°,CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为（）A．eq\f（2,3）B．eq\f(4，9）C．eq\f（\r(6），3)D．不确定2．在Rt△MNP中，MN⊥MP，MQ⊥PN于Q，MN＝3，PN＝9，则NQ等于()A．1B．3C．9D．273．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,4)，则eq\f（BD,CD)等于（）A．eq\f(3,4）B．eq\f（4,3）C．eq\f(16,9）D．eq\f（9，16)4．已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高,若AD＝p,BD＝q,则tanA的值是（）A．eq\f(p,q）B．eq\f（\r(pq)，q）C．eq\f(\r(pq)，p）D．eq\f（p2，q2）5．在Rt△ABC中，∠C＝90°,CD是斜边AB上的高，AD＝5,BD＝8，则S△CDA∶S△CDB为()A．5∶8B．25∶64C．25∶39D．25∶896．已知在梯形ABCD中，DC∥AB,∠D＝90°,AC⊥BC，AB＝10cm，AC＝6cm，则此梯形的面积为__________．7．如图,在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，BC⊥AP,垂足为C,且AB＝2eq\r（6)，AC＝4，则PB＝__________。8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,CD⊥AB于D,CD＝eq\r（6）,AB＝5,则AD＝__________.9．在△ABC中，∠C＝90°,CD是斜边AB上的高，BD＝144，CD＝60，求AD，AB,AC，BC的长．10．如图,分别在正方形ABCD的边BC和CD上取点H和M,且eq\f(BH，HC）＝eq\f（CM，MD）＝eq\f(1，2），AH和BM相交于点P，求证：AP＝9PH.

参考答案1．解析：如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得CD2＝AD·BD，即eq\f（CD，AD)＝eq\f（BD,CD）,又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD。又∵AD∶BD＝2∶3,设AD＝2x，BD＝3x（x＞0），∴CD2＝6x2。∴CD＝eq\r（6)x，易知△ACD与△CBD的相似比为eq\f(AD，CD）＝eq\f(2x,\r（6)x）＝eq\f(\r(6)，3）.答案：C2．解析：由射影定理得MN2＝NQ·NP,∴32＝9NQ，∴NQ＝1.答案:A3．解析：如图，由射影定理,得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC，∴eq\f(AC2,AB2)＝eq\f（CD,BD）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3,4)))2,即eq\f（CD,BD)＝eq\f（9，16），∴eq\f（BD,CD）＝eq\f(16,9).答案:C4．解析:由射影定理得CD2＝AD·BD＝pq,∴CD＝eq\r（pq），∴tanA＝eq\f(CD,AD)＝eq\f（\r（pq),p）.答案：C5．解析：由题意知△CDA∽△BDC，∴eq\f（S△CDA，S△CDB)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(AC，CB））)2＝eq\f（AC2，CB2).根据射影定理，得AC2＝AD·AB，CB2＝BD·AB，∴eq\f(S△CDA,S△CDB）＝eq\f（AD·AB,BD·AB）＝eq\f(AD，BD）＝eq\f(5,8）.答案：A6．解析：如图，过C点作CE⊥AB于E.在Rt△ACB中,∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝8cm.在Rt△ABC中，由射影定理易得BE＝6.4cm，AE＝3.6cm。∴CE＝eq\r(6.4×3.6）＝4。8（cm)．∴AD＝4.8cm。又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，∴DC＝AE＝3。6cm.∴S梯形ABCD＝eq\f(10＋3.6×4.8，2)＝32。64（cm2）．答案:32.64cm27．解析：∵在Rt△ABP中,∠ABP＝90°，BC⊥AP，∴AB2＝AC·AP,即（2eq\r(6）)2＝4AP，解得AP＝6.在Rt△ABP中,由勾股定理，得BP＝eq\r(AP2－AB2）＝eq\r（62－2\r（6）2）＝2eq\r(3).答案:2eq\r(3)8．解析：∵∠ACB＝90°,CD⊥AB，∴CD2＝AD·DB。∵CD＝eq\r(6）,∴AD·DB＝6。又AB＝5,∴DB＝5－AD.∴AD（5－AD)＝6，解得AD＝2或3。答案：2或39．解：由直角三角形的射影定理得CD2＝AD·BD，即602＝144AD，解得AD＝25，AB＝AD＋BD＝169，AC2＝AD·AB＝25×169，所以AC＝65。又BC2＝BD·AB＝144×169，所以BC＝156.故AD＝25,AB＝169，AC＝65，BC＝156。10．证明：在正方形ABCD中,∵eq\f（BH，HC)＝eq\f(CM,MD）＝eq\f（1,2），∴eq\f（BH,BC)＝eq\f(CM，CD）＝eq\f(1,3）,∴eq\f（BH,AB)＝eq\f（CM，BC)＝eq\f(1,3）。又∠ABH＝∠C＝90°,∴△ABH∽△BCM，∠PBH＝∠BAH。又∵∠BAH＋∠BHA＝90°,∴∠PBH＋∠BHP＝90°，即BP⊥AH.