基本不等式（第一课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式

（第一课时）教学目标：1.推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义.2.会用基本不等式解决简单问题.教学重点：准确熟练运用基本不等式教学难点：将问题转化为基本不等式解决复习引入性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔a<b⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c⇒3可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔4可乘性a>b，c>0⇒ac>bc；

a>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向同正7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2)8可开方性a>b>0⇒(n∈N*，n≥2)探索新知重要不等式:

∀a,b∈R，有a2+b2

≥2ab

（当且仅当a=b时，等号成立）思考如果a>0,b>0,我们用分别代替上式中的a,b,

可以等到什么的结果？∀a,b∈R，有a2+b2

≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）探索新知可以得到：通常把上式写作：通常称上述不等式为基本不等式．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．↑算术平均值↑几何平均值代数解释：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。思考我们如何来证明基本不等式呢？证明：

（当且仅当a=b时，等号成立）方法一（作差法）证明：思考除了可以用作差法证明，我们还可以用其它方法吗？下面我们来分析一下。方法二显然，（3）成立，当且仅当a=b时，等号成立。这是一种执果索因的证明方法，叫做分析法。只要把上述过程倒过来，就是我们熟悉的方法了。思考除了可以用作差法证明，我们还可以用其它方法吗？下面我们来分析一下。方法三（综合法）当且仅当a=b时，等号成立。探索

如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释？如图，可证△ACD∽△DCB，则CD=，半径为，圆的半径大于或等于CD，用不等式表示为，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立．几何解释：在同一圆中，圆的半径不小于半弦。还有其它的解释吗例题精讲例1.已知x>0，求

的最小值思考例题精讲例2.已知a，b都是正数，满足a+b=18，求

ab的最大值.当且仅当a=b=9时，等号成立因此所求最大值为81.思考：你能从例1和例2中得出怎样的结论？积定和最小，和定积最大利用不等式应注意哪些条件？一正二定三相等课堂练习已知x，y都是正数，且x≠y，求证：课堂练习已知x，y都是正数，且x≠y，求证：例题精讲例3.已知x

，y都是正数，求证：

（1）若xy

等于定值P，那么当x=y时，x+y取得最小值；(2)若x+y等于定值S，那么当x=y时，xy

取得最大值.例题精讲例3.已知x

，y都是正数，求证：

（1）若xy

等于定值P，那么当x=y时，x+y取得最小值；(2)若x+y等于定值S，那么当x=y时，xy

取得最大值.课堂总结基本不等式：利用基本不等式求最值时，需满足:（1）a，b必须是正数.（正）（2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值；

当ab为定值时，便可求a+b的最小值.

（定）（3）当且仅当a=b时，等式成立.

（相等）课后练习1.已知x＞0，求