浙江省绍兴市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

浙江省绍兴市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．设全集U={1，2，3，A．{1} B．{1C．{2} D．{12．已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=1，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知平面向量a=(3，4)，bA．−12 B．12 C．−4．某校进行“七选三”选课，甲､乙两名学生都要从物理､化学､生物､政治､历史､地理和技术这7门课程中选择3门课程进行高考，假设他们对这7门课程都没有偏好，则他们所选课程中有2门课程相同的概率为（）A．1235 B．1335 C．15285．仰望星空，探索宇宙一直是人类的梦想，“神舟十五号”载人飞船于北京时间11月29日23时08分发射，约10分钟后，“神舟十五号”载人飞船与火箭成功分离.早在1903年，科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v满足公式：v=v0lnm1+m2mA．10km/s B．20km/s C．6．已知0<a<b，A．当logab>0时，x>y B．当C．当logab<0时，x<y D．当lo7．已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)−1(ω>0)，若函数A．[π3，C．[8π21，8．已知△ABC是边长为4的正三角形，M，N分别为BA，BC边上的一点（不含端点），现将△BMN折起，记二面角B−MN−A的平面角为α，若A．83 B．163 C．163二、多选题9．已知函数f(x)=cosx+cos2x，则下列说法正确的有（）A．函数f(x)为偶函数B．函数f(x)的最小值为−2C．函数f(x)的最大值为2D．函数f(x)在(0，10．在斜三棱柱ABC−A1B1CA．存在直线l⊂平面BCE，使得l//B．存在直线l⊂平面BCE，使得l//C．存在直线l⊂平面BCE，使得l⊥D．存在直线l⊂平面BCE，使得l⊥11．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于点A，B，过A，B分别向抛物线A．1|AF|+1C．FP⊥FQ D．△FPQ面积的最小值为412．设定义在R上的函数f(x)，g(x)的导函数分别为f'(x)，A．gB．g'(x)的图象关于C．g(2)+g(3)+g(4)=0D．函数f(x)为周期函数，且周期为8三、填空题13．(1+2x)6的展开式中x14．若圆C1：x2+y215．若函数f(x)=−4x3+3x在(a，a+2)16．已知实数a>0，b<0，则3b−a四、解答题17．在△ABC中，角A，B，C（1）求角B.（2）若角A为钝角，求△ABC面积的取值范围.18．已知数列{an}的前n项和为S（1）求a2，a（2）令bn=(1219．在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，M为（1）如果PA与平面ABCD所成的线面角为π4，求证：PC⊥平面ADM（2）当BP与平面BDM所成角的正弦值最大时，求三棱锥D−BCM的体积.20．为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如下.参考数据：若X∼N(μ，σ2（1）用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（2）可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)（用样本平均数x和标准差s分别作为μ，σ的近似值），已知样本标准差（3）从[80，100]的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测i(1≤i≤6)份试卷（抽测的份数是随机的），若已知抽测的21．已知A，B，C是双曲线C：（1）求双曲线C的离心率.（2）若双曲线C过点(3，2)，过圆O：x2+y2=b2上一点T(x0，22．已知函数f(x)=ae（1）若f(x)≥1，求实数a的取值范围.（2）求证：1+1

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】∵∁UB=故答案为：C

【分析】根据补集和交集的定义可得答案.2．【答案】D【解析】【解答】由z(1+i)=1可知，z=1所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(1故答案为：D.

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简z，再根据复数的几何意义可得答案.3．【答案】C【解析】【解答】由题，有a+又(a+b)∥ka，则18k=12k−4故答案为：C

【分析】由已知结合向量平行的坐标表示可求出k的值.4．【答案】A【解析】【解答】甲乙分别选3门学科共有C7其中所选有2门学科相同的选法为先选出2门学科作为相同学科，从剩余5门学科选1门给甲，再从剩余4门学科中选1门给乙，共有C7所以P=C故答案为：A

【分析】根据题意，甲、乙两名学生都要从物理、化学、生物、政治、历史、地理和技术这7门课程中选择3门课程进行高考，共有C75．【答案】B【解析】【解答】由所给信息，可得8=v0ln则8=v故答案为：B

【分析】由所给信息，可得8=v6．【答案】B【解析】【解答】由0<a<b，log移项可得log即log当0<a<b<1时，logab>0，此时x当1<a<b时，logab>0，此时x当0<a<1<b时，logab<0，此时x故答案为：B.

【分析】根据条件得出logaxy<logb7．【答案】D【解析】【解答】令f(x)=2sin(ωx+π6)−1=0解得ωx+π6=2kπ+即x=2kπω(k∈Z)因为函数f(x)在[1，所以2kπω第一个不等式组解得ω>2kπω≤2kπ+第二个不等式组解得ω≤2kπ所以所求取值范围为[8π故答案为：D.

【分析】由题意得sin(ωx+π6)=12求解可得x=2kπω8．【答案】A【解析】【解答】因为△ABC是边长为4的正三角形，所以S△ABC过点B作BH⊥MN于点H，故△BMN的MN上的高为BH=h，设∠MBH=θ，则∠NBH=π故BM=hcosθ则S△BMN所以四边形MNCA的面积为43又二面角B−MN−A的平面角α=π故四棱锥B−MNCA的高为hsin故VB−MNCA其中cosθ因为θ∈[0，π3]，故故cosθcos(所以V其中24=2h即h2所以VB−MNCA≤16256综上：四棱锥B−MNCA体积的最大值为83故答案为：A

【分析】作出辅助线，设∠MBH=θ，表达出BM=hcosθ，BN=hcos(π3−θ)，结合二面角二面角B−MN−A9．【答案】A,C【解析】【解答】解：对于A选项，函数定义域为R，f(−x)=cos(−x)+cos(−2x)=cosx+cos2x=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故正确；对于B选项，f(x)=cos所以，当cosx=−14时，函数f(x)对于C选项，由于f(x)=2(cosx+14)2对于D选项，当x∈(0，2π)，f'(x)=−sinx−2sin令cosx=−14在(0，2π)所以，当x∈(0，x1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当当当x∈(π，x2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当所以，f(x)在x=π处取得极大值，在x=x1和所以，函数f(x)在(0，故答案为：AC

【分析】结合诱导公式与函数奇偶性的定义，即可判断A；利用同角三角函数的平方关系，配方可得f(x)=2(cosx+10．【答案】A,C,D【解析】【解答】当直线l为BC时，易知l//B假设l//A1C1，因为因为AC∩平面BCE=C，且l⊂平面BCE，所以直线l与直线AC要么相交，要么异面，与原假设不符，B不符合题意；过点B作AC的垂线，设垂足为G，过点G在平面ACE作AC的垂线交CE于点F，连接BF，BF即直线l，因为AC⊥BG，AC⊥FG，此时AC⊥平面BFG，且BF⊂平面BFG，所以AC⊥BF，又因为AC//A此时A1C1在平面BCE内，作BH⊥BC，交CE于点H，BH即直线l，因为BC//B1C1，所以故答案为：ACD.

【分析】当直线l为BC时，可判断A得正误；假设l//A1C11．【答案】B,C,D【解析】【解答】当直线l斜率不存在时，|AF|=|BF|=2，此时1|AF|在抛物线中，设弦AB的中点为M，则有|AB|=|AF|+|BF|=|AP|+|BQ|，所以点M到准线的距离为12所以以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，所以E为以AB为直径的圆上一点，即AE⊥BE，B对；由抛物线定义可知，|BF|=|BQ|，所以∠BQF=∠BFQ，因为∠BQF+∠EQF=90∘，所以∠QFO=∠BFQ，同理∠PFO=∠AFP，因为∠QFO+∠PFO=90∘，即∠PFQ=90因为焦点F到准线的距离为2，所以S△FPQ设直线l的方程为：x=my+1，联立方程组y2=4xx=my+1所以y1+y所以|PQ|=|y当m=0时，|PQ|min即直线l斜率不存在时，|PQ|有最小值4，所以该三角形面积的最小值为4，D对；故答案为：BCD.

【分析】当直线l斜率不存在时，|AF|=|BF|=2，可判断A；点M到准线的距离为12(|AP|+|BQ|)=12|AB|，E为以AB为直径的圆上一点，即AE⊥BE，可判断B；抛物线的定义可判断C；设直线l的方程为：x=my+1，与抛物线方程联立结合韦达定理可得y12．【答案】A,D【解析】【解答】对于A项，∵y=g(x+1)为偶函数∴g(−x+1)=g(x+1)∴−令x=0，则−∴g对于D项，∵∴f(x)=g(x+2)+m用−x代替原来的x得：f(−x)=g(2−x)+m①又∵g(x+1)是偶函数∴g(−x+1)=g(x+1)用x−1代替原来的x得：g(2−x)=g(x)②由①②结合得：f(−x)=g(x)+m③又∵f(x+2)+g(2−x)=2用−x−2代替原来的x得：f(−x)+g(x+4)=2④由③④联立得：g(x)+m+g(x+4)=2⑤用x+4代替原来的x得：g(x+4)+m+g(x+8)=2⑥⑥−⑤得：g(x+8)=g(x)，所以函数g(x)为周期函数，且周期为8，用−x代替原来的x得：g(8−x)=g(−x)⑦∵f(x+2)+g(2−x)=2用x+2代替原来的x得：f(x+4)+g(−x)=2⑧∵f(x+2)+g(2−x)=2用x−6代替原来的x得：f(x−4)+g(8−x)=2⑨结合⑦⑧⑨得f(x−4)=f(x+4)，用x+4代替原来的x得：f(x)=f(x+8)，所以函数f(x)为周期函数，且周期为8，D符合题意；对于C项，∵f(x)=1，g(x)=1为满足题意的一组解，但g(2)+g(3)+g(4)=3≠0，C不符合题意.对于B项，因为f(x)=2−cos但g'(x)不关于故答案为：AD

【分析】根据y=g(x+1)为偶函数求出g(x)的表达式，然后给g(x)的表达式两边求导，然后取特值求解，可判断A；根据f'(x)=g'(x+2)找到f(x)与g(x)的关系，根据A项g(x)的表达式得到g(x)的周期，可判断D；根据g(x)的表达式，根据特殊值求解，即可判断C；根据f(x+2)+g(2-x)=2，f'(x)=g'(x+2)，且y=g(x+1)为偶函数求出一个周期内仅有的两条对称轴，可判断D.13．【答案】160【解析】【解答】因为C6所以令r=3，则(1+2x)6的展开式中x故答案为：160.

【分析】利用二项式的通向公式，即可求出答案.14．【答案】(−2【解析】【解答】化圆C2：x2+y2圆C1：x2+故|C要使圆C1：x2+y2则1<|C1C2|<5，即1<故实数a的取值范围为(−26故答案为：(−26

【分析】分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆相交，分析可得1<|C1C15．【答案】−2（答案不唯一）【解析】【解答】因为f(x)=−4x3+3x令f'(x)=0得，当x∈(−∞，−12)当x∈(−12，12当x∈(12，+∞)时，所以当x=−12，因为函数f(x)=−4x3+3x所以a<−12<a+2故答案为：−2，

【分析】先求函数f(x)的导数，研究其最大值取到的位置，由于函数在区间(a，a+2)上有最小值，故最小值点的横坐标是集合16．【答案】[−2【解析】【解答】根据题意，设直线l：ax+by=0，设点A(1那么点A(1，−3)到直线因为a>0，b<0，所以d=a−3b当直线l的斜率不存在时，d=a−3b当OA⊥l时，dmax所以1<d≤2，即1<a−因为3b−aa2故答案为：[−2，

【分析】设直线l：ax+by=0，设点A(1，−3)，根据点到直线的距离公式可得点A(1，−3)到直线l的距离为：d=|a−3b|17．【答案】（1）解：∵2bsinC=∴2sinBsinC=3即2sinBsinC=又∵C∈(0，π)又∵B∈(0，π)（2）解：∵角A为钝角，∴B=∵a=2，B=∵角A为钝角，∴b2∴【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换，即可求解出角B的大小；

(2)先确定角B的取值范围，再结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解出△ABC面积的取值范围.18．【答案】（1）解：∵a∴当n=2时，a2=3；当n=3时，∵(n−1)a∴a∴=(1又∵（2）解：由（1）得bn∴T12∴=1∴【解析】【分析】(1)分别令n=2，n=3，即可求解a2，a3的值，将已知递推式变形可得ann−an−1n−1=1n−119．【答案】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴∠PAD为PA与平面ABCD平面所成的线面角，PD⊥AD∵PA与平面ABCD所成的线面角为π∴∠PAD=π∵M为PC的中点，∴DM⊥PC，∵底面ABCD是边长为2的正方形，即AD⊥DC∵PD∩DC=D，PD，∴AD⊥平面PCD，又∵PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC，∵AD∩DM=D，AD，∴PC⊥平面MAD（2）解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，设DP=t，则D(0，DB设平面MBD的法向量为n=(x则n⋅DM=0∴2y+tz=02x+2y=0，取y=−1，得∴BP与平面MBD所成角的正弦值为cos⟨BP当且仅当32t2=2∵V∴三棱锥D−MBC的体积VD−MBC【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理与性质定理，即可证得PC⊥平面ADM；

（2）以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，20．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，平均分=(65×0.（2）解：由（1）可知，X∼N(80.设学校期望的平均分约为m，则P(X≥m)=0.因为P(μ−σ<X≤μ+σ)所以P(X>μ−σ)所以学校的平均分约为72分；（3）解：由频率分布直方图可知，分数在[80，90)和[90，100]的频率分别为那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在[80，90)，应抽取分数在[90，100]应抽取记事件Ai：抽测i份试卷i=1，2则P(Ai)=P(B)=3则P(A【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图，结合平均数的公式，即可求解出此次知识竞赛的平均分；

(2)首先确定X∼N(80.5，21．【答案】（1）解：设A(x1，所以