湖北省新八校2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷（含解析）

2024-2025湖北省“新八校”高二年级12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间向量，，若与垂直，则等于(

)A. B. C.3 D.2.椭圆的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为

A. B. C.2 D.43.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是(

)A.至少有1名女生与全是女生 B.至少有1名女生与全是男生

C.恰有1名女生与恰有2名女生 D.至少有1名女生与至多有1名男生4.已知一组数据，，，的平均数和方差分别为80，21，若向这组数据中再添加一个数据80，数据，，，80的平均数和方差分别为，，则(

)A. B. C. D.5.在直三棱柱中，，，E为的中点，则与AE所成角的余弦值是(

)A. B. C. D.6.过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且M恰为线段AB的中点，则直线l的斜率为(

)A. B. C. D.7.已知圆，圆，M，N分别是圆，上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为(

)A. B. C. D.8.在空间直角坐标系中，已知向量，点，点若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线l的方程为若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，则平面的方程为利用以上信息解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为(

)A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则(

)A.两人都命中的概率为 B.恰好有一人命中的概率为

C.两人都没有命中的概率为 D.至少有一人命中的概率为10.设动直线与圆交于A，B两点，则下列说法正确的有(

)A.直线l过定点 B.当最大时，

C.当最小时， D.当最小时，其余弦值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有(

)

A.平面GHMN

B.若E是棱MN的中点，则HE与平面AFG平行

C.若四边形ABCD的边界及其内部有一点P，，则点P的轨迹长度为

D.若E为线段MN上的动点，则HE与平面HGF所成角的正弦值的范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为

.13.若曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是

.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为Q，延长与双曲线的右支相交于点P，若，则双曲线C的离心率为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分已知圆C的圆心在y轴上，且经过点，求圆C的标准方程;过点的直线l与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程.16.本小题15分求满足下列条件的双曲线的标准方程：过点，且与双曲线的离心率相等;两顶点间的距离为8，渐近线方程为17.本小题15分

半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为公里，为全程马拉松距离的一半世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.

根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄;现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者.若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率;若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差.18.本小题17分如图1，在直角梯形ABCD中，已知，，将沿BD翻折，使平面平面如图2，BD的中点为求证：平面若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为若存在，求出点H的位置;若不存在，请说明理由.19.本小题17分有一个半径为8的圆形纸片，设纸片上一定点F到纸片圆心E的距离为，将纸片折叠，使圆周上某一点M与点F重合，每一次折叠，都留下一条折痕，当M取遍圆上所有点时，所有折痕与ME的交点P形成的轨迹记为曲线C，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中点O为原点，建立平面直角坐标系.求曲线C的方程;若直线与曲线C交于A，B两点.ⅰ当k为何值时，为定值，并求出该定值;ⅱ过A，B两点分别作曲线C的切线，当两条切线斜率均存在时，若其交点Q在直线上，探究：此时直线l是否过定点?若过，求出该定点;若不过，请说明理由.

答案和解析1.【答案】C

解：因为，，

与垂直，所以，

解得，

所以，

所以|，

故选：2.【答案】D

解：椭圆的焦点在x轴上，

，，则，

又长轴长是短轴长的两倍，

，即

故选D3.【答案】C

解：“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女.

至少有1名女生与全是女生不是互斥事件，故A错误;

至少有1名女生与全是男生是对立事件，故B错误;

恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确;

至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误.

故选：4.【答案】D

解：由题得，所以，则新数据平均数为故A，B错误;

且由题意，所以，

则新数据方差为

故D正确.故选：5.【答案】B

解：以为原点，以，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

，

则，，，，

所以，，所以，，

故与AE所成角的余弦值为

故选：6.【答案】D

解：显然在椭圆内，

当直线l的斜率不存在，即直线l方程为时，，，或，，

不是线段AB的中点，所以直线l的斜率存在，

设，，则，

两式相减并化简得，

又，，代入得，解得，故选7.【答案】A

解：圆，圆心为，半径，圆，圆心为，半径为，如图：

圆关于x轴的对称圆为圆，连接，交x轴于P，交圆于M，交圆于N，此时，最小，最小值为，故选：8.【答案】A

解：平面的方程为，平面的一个法向量，

同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量，

设平面与平面的交线的方向向量为，

则，取，

设直线l与平面所成角为，

则，，

故选9.【答案】AB

解：设事件A为“甲中靶”，设事件B为“乙中靶”，这两个事件相互独立，

对于A，都中靶的概率为，故A正确；

对于B，恰好有一人中靶的概率为

，故B正确；

对于C，两人都不中靶的概率为

，故C错误；

对于D，至少一人中靶，其对立事件为两人都不中靶，

故至少一人中靶的概率为

，故D错误；10.【答案】ABC

解：对于选项A，动直线，可得：，由得，即直线l过定点，即选项A正确;

对于选项B，当取得最大值时，直线l过圆心，则，得，选项B正确;

对于选项C，当取得最小值时，直线l与和的连线垂直，经过和的直线的斜率为1，

故直线l的斜率为，故，选项C正确：

对于选项D，当最小时，最小，此时，直线l与和的连线垂直，则，

由余弦定理可得，即选项D错误;

故选：11.【答案】ACD

解：“阿基米德体”是由如图所示得到的，即“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点.

对于A选项，由图可知平面GHMN，A选项正确；

对于B选项，根据正方体的几何性质，易知平面平面DBHN，

而HE与平面DBHN相交，故HE与平面AFG不平行，B选项错误；

对于C选项，半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为4，

在正方体中，平面ABCD，得，故，

所以点P的轨迹是以Q为圆心，2为半径的圆，

又点P在四边形ABCD的边界及其内部，所以点P的轨迹是劣弧AB，

所以点P的轨迹长度为，故C正确；

D选项，如图建立空间直角坐标系，

则，，，设，则，

所以，，，

设平面HGF的法向量为，HE与平面HGF所成角为，

则，取，则，

，

由，可得，故D选项正确.

故选12.【答案】

解：由题意可得，，，

则点A到直线BC的距离为

故答案为：13.【答案】

解：如图，化简曲线得：，表示以为圆心，1为半径的圆的上半圆.

直线经过定点且解率为k，半圆与直线有两个交点，

设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为，

当直线的解率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点，

由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时调足，

解之得，即，

又因为直线AB的解率，所以直线的解率k的范围为

故答案为：

14.解：双曲线的方程为，一条渐近线方程为，

设，可得，若，则，

由双曲线的定义可得，在直角三角形中，，，

在中，

，即有，

即，即，

则故答案为：

15.【答案】解：设圆心的坐标为，由题意可得，解得，所以，圆的半径为，

因此，圆C的标准方程为

当时，圆心C到直线l的距离为，

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为1，符合题意;

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，则，解得，此时，直线l的方程为

综上所述，直线l的方程为或

16.【答案】解：由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，且，

双曲线的离心率为，

则，得，故，

所以双曲线的方程为；由题意知，

当双曲线的焦点在x轴上时，得，

所以双曲线的方程为；

当双曲线的焦点在y轴上时，得，

所以双曲线的方程为

综上所述，双曲线的方程为或

17.【答案】解：设参与知识竞赛者的平均年龄为，

则

由题意得，第四组应抽取人，记为甲，B，C，D，

第五组应抽取人，记为乙，F，

对应的样本空间为：，

设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，

则，

所以

设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，

则，，，，

设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，

则，

，

据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38，方差为

18.【答案】解：证明：因为，BD的中点为O，所以，

又因为平面平面BCD，平面平面，平面ABD，

根据面面垂直的性质可得平面BCD；

取DC的中点为M，连接MO，则，由图1直角梯形可知，ABMD为正方形，

，，，，

由平面BCD，可知OD，OM，OA两两互相垂直，

分别以OD，OM，OA为x，y，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

设，

，

设平面GHB的法向量为，

取，则，即平面GHB的法向量为，

由平面BCD，取平面BCD的法向量，

设平面GHB与平面BCD的夹角为，则，

解得或舍

所以，线段AC上存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为

点H位于线段