浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三上学期数学第一次联考试卷

浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三上学期数学第一次联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={1，2，3，A．{1，5} B．{1，2} C．2．若复数z满(z+1)i=z（i为虚数单位），则z=（）A．−12−12i B．−3．5sin(π2+α)+2=0A．12 B．2 C．−124．早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（）A．4800πcm2 B．5600πcm2 C．5．已知向量a=(−1，0)，b=(x，1−x)，则A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件6．从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为（）A．70% B．65% C．60% D．50%7．已知a=23ln10，A．a<c<b B．b<c<a C．c<a=b D．a=b<c8．定点A和动点P是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，点B与点A关于x轴对称，其中P与A、B不重合，且P的纵坐标为t，直线AP，BP的斜率之差为m，斜率之积为n，当t从小到大变化时，A．先变小后变大 B．先变大后变小C．一直不变 D．以上情况都不对二、多选题9．数列{an}的通项为an=31−n13，它的前nA．数列{an}是递减数列 B．当n=30或者n=31C．当n=17或者n=18时，Tn有最大值 D．Sn和10．设点A，B，C，D是曲线x2100+A．四边形ABCD有三个内角为锐角 B．四边形ABCD有三个内角为钝角C．四边形ABCD有且仅有三边相等 D．四边形ABCD为非等腰的梯形11．已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)，且fA．x2是函数y=f(x)B．f(C．函数y=f(x)在x=xD．f(12．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，中心为O，以A．1524 B．1512 C．156三、填空题13．若(2−x)6=a014．已知F1，F2是双曲线x24−y212=1两个焦点，P15．已知直线y=−x+2m+4和圆x2+y2=m2+14m+3和曲线16．函数y=3|x|+3四、解答题17．将等差数列{an（1）求数列{a（2）设bm为数阵中第m行的第一个数，求118．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，AA1=2，D为AC上的点，过（1）证明：DE//（2）若二面角B1−DE−B的大小为60°，求几何体19．如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD⋅（1）证明：AC=CD；（2）若CD=2BD，sin∠BAD=1420．某校高一（1）班总共50人，现随机抽取7位学生作为一个样本，得到该7位学生在期中考试前一周参与政治学科这一科目的时间（单位：h）及他们的政治原始成绩（单位：分）如下表：复习时间t235681216考试分数y60697881859092甲同学通过画出散点图，发现考试分数与复习时间大致分布在一条直线附近，似乎可以用一元线性回归方程模型建立经验回归方程，但是当他以经验回归直线为参照，发现这个经验回归方程不足之处，这些散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，成对样本数据呈现出明显的非线性相关特征，根据散点图可以发现更趋向于落在中间上凸且递增的某条曲线附近，甲同学回顾已有函数知识，可以发现函数y=lnx具有类似特征中，因此，甲同学作x=lnt变换，得到新的数据xi(i=1，2，⋅⋅⋅，考前一周复习投入时间（单位：h）政治成绩合计优秀不优秀≥6h<6h合计50附：ln2≈0.7，ln3≈1.1，b=i=1(α0.010.0050.001x6.6357.87910.828（1）预测当t=1时该班学生政治学科成绩（精确到小数点后1位）；（2）经统计，该班共有25人政治成绩不低于85分，评定为优秀，而且在考前一周投入政治学可复习时间不低于6h共有30人，除去抽走的7位学生，剩下学生中考前一周复习政治的时间不少于6h政治不优秀共有6人，请填写下面的2×2列联表，依据小概率值α=0.001的21．已知椭圆C：x2a（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过点P(4，0)的直线l与C交于A，B，过A，B作直线l1：x=t的垂线，垂足分别为M，N，记△AMP，△MNP，△BNP的面积分别为S1，S2，S3，问：是否存在实数22．已知函数f(x)=ex（1）当a=1时，求函数y=f(x)−g(x)的最小值；（2）设0<a<1，证明：曲线y=f(x)与曲线y=g(x)有两条公切线.

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】∵B={x|2≤x<5}∴∁R所以A∩∁R故答案为：A

【分析】根据补集、交集的定义进行运算可得答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：因为(z+1)i=z，所以(1−i)z=i，则z=i故答案为：B.

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简z，得答案.3．【答案】A【解析】【解答】由5sin(π则sinα=±又α∈(−π，0)，则sinα=−∴tan故答案为：A.

【分析】利用诱导公式可得sin(4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得一个石磨底面积为：S底=2π×(80S侧=π×80×30=2400π所以一个石磨的表面积为：3200π+2400π=5600πcm所以两个石磨的表面积为：5600π×2=11200πcm故答案为：D

【分析】由题意可得一个石磨底面积，再根据圆柱的侧面积、表面积公式求出答案.5．【答案】C【解析】【解答】因为∵又因为向量a，b夹角为钝角所以满足a所以x>0且x≠1因为x>0推不出x>0且x≠1，所以充分性不成立又因为x>0且x≠1能推出x>0，所以必要性成立所以x>0是向量a，b夹角为钝角的必要不充分条件故答案为：C

【分析】利用向量的数量积的坐标运算求出两向量夹角为钝角时x的范围，结合充分条件、必要条件的定义可得答案.6．【答案】B【解析】【解答】6个整数中取3个不同的数，共有C6三个数作为边长可构成三角形的有(2，所以概率为13故答案为：B

【分析】组成三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三条边，可得答案.7．【答案】D【解析】【解答】因为a=23ln所以a=b，因为c=3a=e所以a=b<c.故答案为：D

【分析】利用对数的运算性质结合基本不等式比较大小，可得答案.8．【答案】C【解析】【解答】设A(y122p，则kAP=则2pt+y则当t从小到大变化时，mn故答案为：C

【分析】设A(y122p，y1)9．【答案】A,B,C【解析】【解答】因为数列{an}的通项为an=31−n13，则an+1−an=−1因为an=31−n13，当n>31时，an<0；当n≤30时，an>0，因为a31由an=31−n13可知：a17=1413>1，a18=1根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知：Sn因为a31=0，当n>31时，an<0，但零乘任何数仍得零，所以Tn故答案为：ABC.

【分析】利用数列通项的单调性和正负逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,B,C,D【解析】【解答】曲线x2100+y2=1为椭圆，点A，取A(0，四边形ABCD中∠C为钝角，其余三个内角为锐角，A选项正确；取A(−8，四边形ABCD中∠D为锐角，其余三个内角为钝角，B选项正确；取A(0，1)，以A为圆心，2为半径作弧，与椭圆在第一象限相交于点D，在第四象限相交于点B，则四边形ABCD中，AB=CD=DA≠BC，有且仅有三边相等，C选项正确；直线y=x与椭圆相交于A，B两点，直线y=x−8与椭圆相交于则AB//CD，AD≠BC，四边形ABCD为非等腰的梯形，D选项正确.故答案为：ABCD

【分析】根据已知条件，结合图象逐项进行判断，可得答案.11．【答案】A,B【解析】【解答】令f'(x)>0，解得x1<x<x令f'(x)<0，解得x>x2或x<x故x2是函数y=f(x)的一个极大值点，f(∵x1<x1+2x2又∵x1<x故答案为：AB.

【分析】根据导函数的符号可得f(x)的增减区间以及极值点的取值点，逐项进行判断，可得答案.12．【答案】B,C【解析】【解答】由题意可知：四面体AB1CD1∵正方体棱长为1，∴正四面体的棱长为2，设球心O到正四面体各个面的距离为d，∵正四面体体积V=1−4×13×12①若正四面体的一个面截球如图所示，设小圆半径为r，则2πr=14×∴R2=②若正四面体的一个面截图如图所示，∵每个面截球所得的曲线长为14×23π设小圆半径为r，O1为正四面体侧面的中心，E为MN∴∠QO1M=3π∴∠MO1E=令f(r)=cos(π∵66r2−又f(33)=∴R2=综上所述：球O的半径为1512或15故答案为：BC.

【分析】根据正四面体的体积和表面积公式可求出球心O到正四面体各个面的距离，根据以O为球心的球与四面体AB1CD1的四个面相交所围成的曲线的总长度为23π3，可得球13．【答案】729【解析】【解答】因为(2−x)6的展开式的通项T所以含x的奇数次项的系数为负数，含x的偶数次项的系数为正数，在(2−x)6令x=−1可得：36即|a故答案为：729.

【分析】根据二项式的通项公式可得含x的奇数次项的系数为负数，含x的偶数次项的系数为正数，令x=−1，即可求出|a14．【答案】13【解析】【解答】由双曲线方程可得：a=2，c=4，在F即4c2=4设点P(x0即24×32=4|y0|也即点P到y轴的距离为13，故答案为：13.

【分析】求得双曲线的a，c，运用双曲线的定义和三角形的余弦定理可得PF1⋅PF2=48，设点15．【答案】[9【解析】【解答】联立y=−x+2m+4x2+y2则Δ=16(m+2)2−8(3解方程得x=m+2±−8(m−1)(m−5)①当Δ=0时，m=1或m=5，当m=1时，x=m+2=3，y=−x+2m+4=3，当m=5时，x=m+2=7，y=−x+2m+4=7，②当Δ>0时，1<m<5，当x=m+2−2⋅(1−m)(m−5)2时，此时9<n<49.由于直线y=−x+2m+4和圆x2+y2=m2综上：n的取值范围是[9，故答案为：[9，49]

【分析】联立y=−x+2m+4x2+y2=m2+14m+3，消去y得2x216．【答案】8【解析】【解答】由题意得：(1−x)(x+3)≥0，解得：−3≤x≤1，当x∈[0，1]时，当23：2=(x+1)当x∈[−2，0)时，y=23当x∈[−3，−2)时，当−23：2=(x+1)因为8>23故答案为：8

【分析】分x∈[0，1]，x∈[−2，0)，17．【答案】（1）解：设等差数列{an}首项为a由第三行所有数的和为6可得：a4+a由第6行第一个数为−20知a16则a1得数列{an}的通项公式为a（2）解：由图可得，第m行有m个数字，则第m行的第一个数为{an}其中k=1+2+3+⋯+m−1+1=m(m−1)则bm110−b=(1−1【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的通项公式求出首项和公差，可得数列{an}的通项公式；

（2）由图可得，第m行有m个数字，则第m行的第一个数为{an18．【答案】（1）证明：由题：A1因为A1B1⊂平面A1所以AB//平面A又AB⊂平面ABC，且平面A1B1所以AB//（2）解：过B作DE的垂线，垂足为F，连接B1因为BB1⊥平面ABC，DE⊂所以BB因为BB1∩BF=B，B所以DE⊥平面BB因为B1F⊂平面所以DE⊥所以∠BFB1就是二面角B又BB1=2底面ABC是边长为2的正三角形，取AB的中点G，连接CG，交AE于点H，则CG⊥AB，且CG=2sin60°=3，所以CECB=CHCG=因为DE//A1又A1D，B1E不平行，故A1所以几何体CDE−A因为AA1=2所以几何体CDE−A1=1【解析】【分析】（1）推出A1B1//AB，根据线面平行的判定定理可得AB//平面A1B1DE，可得DE//AB；

（2）过B作DE的垂线，垂足为F，连接19．【答案】（1）证明：在△ABD中，由正弦定理知：ABsin∠BDA又BD⋅sin可得sin∠CAD=在△ACD中，所以∠CAD=∠ADC，所以AC=CD.（2）解：不妨设BD=1，则AC=CD=2BD=2在△ADC中，由余弦定理知；A在△ABC中同理可知：A在△ABD中，cos即有15解得cosC=1【解析】【分析】（1）由正弦定理结合已知条件可得sin∠CAD=sin∠BDA=sin∠ADC，进而证得AC=CD；

20．【答案】（1）解：x=y=所以b=i=17所以预测当t=1时，y=b即该班学生政治学科成绩约为51.9分.（2）解：2×2列联表：考前一周复习投入时间（单位：h）政治成绩合计优秀不优秀≥6h23730<6h21820合计252550零假设为H0χ2依据α=0.001的独立性检验，推断即认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.【解析】【分析】（1）求出x，y，根据b^=i=17xiyi−7xyi=1721．【答案】（1）解：因为椭圆C：x2a2所以2a=4ca=22故b=a所以椭圆C的方程为x（2）解：设A(x1，y1)，则S1=12|则S1S联立x=my+4与x2+2y2=4则Δ=16(m2−6)>0y1+y2则当3(t2−4)(4−t)2=−1【解析】【分析】（1）由已知可得2a=4ca=22，求解出a，c，进而求出b，可得椭圆C的方程；

（2）设A(x1，y1)，B(22．【答案】（1）解：令F(x)=f(x)−g(x)，则F(x)=ex+易知F'(x)=ex+2x−1所以x∈(−∞，0)时，F'(x)<0，x∈(0，+∞)时，F