2025年新高考数学复习压轴题讲义：集合下的新定义（四大题型）（学生版）

专题1集合下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：定义新概念

题型二：定义新运算

题型三：定义新性质

题型四：定义新背景

【方法技巧与总结】

1、解答新定义型创新题的基本思路是：

（1）正确理解新定义；

（2）根据新定义建立关系式；

（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；

（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果.

2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的

知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题.

3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则.按照新的运算规则，结合数

学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的.

4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的.我们通过可以结合相应

的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题.

【典型例题】

题型一：定义新概念

【典例1-1】（2024・高三・浙江•阶段练习）设自然数〃23,由〃个不同正整数％,构成集合

S={ax,a2,a3-,a,},若集合S的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合R，记card（乙）为集合乙元素

的个数

（1）已知集合/={1,2,3,4},集合5={1,2,4,8},分别求解card（乙）,card（耳）.

⑵对于集合$={%,出，。3，若card（乙）取得最大值，则称该集合S为“极异集合”

①求card（A）的最大值（无需证明）.

②已知集合S={%,出，的…，%}是极异集合，记4=at-2-求证：数列{4,}的前〃项和220.

【典例1-2】（2024•北京•模拟预测）已知集合4={1,2,3,…㈤，其中〃eN*,/”％,…都是A的子集且互不

相同，记M=4的元素个数，N"=（/,C4）的元素个数（z,

⑴若"=4,4={1,2},4={1,3},乂3=6=1,直接写出所有满足条件的集合4；

（2）若〃=5,且对任意机，都有为>0,求机的最大值；

⑶若让7,<3。=1,2,…，机）且对任意\<i<j<m,都有必=1,求加的最大值.

【变式1-1］（2024・高三•重庆沙坪坝•阶段练习）设集合S、T为正整数集N*的两个子集，S、7至少各有两

个元素.对于给定的集合S,若存在满足如下条件的集合7：

①对于任意a/eS,若屋b,都有a6e7；②对于任意若a<b,则°eS.则称集合T为集合S的

a

“K集”.

⑴若集合d={1,3,9},求百的“K集乜；

（2）若三元集星存在“K集”石，且。中恰含有4个元素，求证：10$2；

⑶若S3={占"2,…,xj存在“K集”，且再<%<…〈斗，求〃的最大值.

题型二：定义新运算

【典例2-1】（2024・高三•全国•专题练习）设M是由直线Nx+为+C=0上所有点构成的集合，即

“={（%,则4+为+。=0},在点集量_上定义运算“区”：对任意（XQJCM,（尤2，%）€河，则

（再，凹）区（工2,%）=再%2+.

⑴若河是直线2尤-尸3=0上所有点的集合，计算（1,5）钏-2,-1）的值.

（2）对（1）中的点集M,能否确定（3,a）③（6,5）（其中eR）的值？

⑶对⑴中的点集M,若（3,。）区（仇。）<0,请你写出实数。也。可能的值.

【典例2-2】（2024•全国•模拟预测）对于非空集合G,定义其在某一运算（统称乘法）“x”下的代数结构称为

“群”（G,x）,简记为G，.而判断G'是否为一个群，需验证以下三点：

1、(封闭性)对于规定的“X”运算，对任意a,beG,都须满足axbeG；

2、(结合律)对于规定的“x”运算，对任意a,b,ceG,都须满足。x(6xc)=(ax6)xc；

3、(恒等元)存在eeG,使得对任意aeG,exa=a；

4、(逆的存在性)对任意aeG,都存在6eG,使得ax6=6xa=e.

记群G'所含的元素个数为“，则群G'也称作“”阶群”.若群GTRX”运算满足交换律，即对任意“，beG,

axb=bxa,我们称G'为一个阿贝尔群(或交换群).

(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群R+;

(2)记C为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“x”运算使得C在该运算下构成一个群

并说明理由；

(3)所有阶数小于等于四的群G"是否都是阿贝尔群？请说明理由.

【变式2-1](2024•高三•全国・专题练习)已知数集A及定义在该数集上的某个运算(例如记为“*”)，如果对一

切都有那么就说，集合A对运算“*”是封闭的.

(1)设/=卜1x=m+4^n,m,nez),判断A对通常的实数的乘法运算是否封闭？

(2)设2={x|无=加+后〃，加,“eZ,且〃40},问B对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论.

题型三：定义新性质

【典例3-1](2024・高三・北京海淀•阶段练习)已知数集/={q,。2,…,4,}(OV%<%<…<%,”23)具有性质M：

对任意i,j(l<i<j<n),aj+生与%-为两数中至少有一个属于A.

⑴分别判断数集4={1,2,3}与4={0,2,4,6}是否具有性质M；

(2)求证：/+…+%=5%;

⑶给定正整数"("25),求证：％,a2,。“组成等差数列.

【典例3-2】(2024・高二•北京海淀•期中)给定正整数“22,设集合

…匕)匕qo』，左=i,2,….对于集合欣中的任意元素尸=(%,无2,…,马)和

7=(%，了2,…，方)，记尸,7=XJ1+X2%+L+x„y„.设/=且集合/={%&=册/⑵•,•,&)/=1,2,…,

对于A中任意元素生,%,若4.%=，；；：则称A具有性质7(”,0.

⑴判断集合/={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}是否具有性质7(3,2)?说明理由；

(2)判断是否存在具有性质7(4,0)的集合A,并加以证明.

【变式3-1](2024・高一•重庆沙坪坝•阶段练习)已知集合/={%,%,见……a"}qN*,其中〃eN且

“23,为<g<%<……<”"，若对任意的,都有|x-y|2/，则称集合A具有性质心.

⑴集合A={1,2,a}具有性质M,求。的最小值；

(2)已知A具有性质Mu，求证：；

(3)已知A具有性质Mu，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.

题型四：定义新背景

【典例4-1】(2024•全国•模拟预测)拓扑学是一个研究图形(或集合)整体结构和性质的一门几何学，以抽象而

严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑.已知平面加={(x,y)|Vx,蚱可，定义对4(孙必)，

4(®%),其度量(距离)44,4)=](西一々)2+(乂一%)2并称(炉，力为一度量平面.设d),

£€R+,称平面区域2(尤0，£)=3©(石2，4)口(%,尤)<"为以X。为心，£为半径的球形邻域.

(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；

(2)证明：("，力中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；

(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集.证明：(炉，力的一个子集是开集当且仅当其可被

表示为若干个球形邻域的并集.

【典例4-2】（2024•安徽芜湖・二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.若一个平面图形K在双旋

转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记根为K的一个对称变换.例如，

正三角形R在叫（绕中心。作120。的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以乃是五的一个对

（1231

称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记/=312；又如，及在“关于对称轴外所在

直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以（也是R的一个对称变换，类似地，记

“23、

4=132,记正三角形尺的所有对称变换构成集合S・一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成

一个群，假如同时满足：

I.GG,。。6£G；

II.\fa,b,cGG,

III.,YaeG,a^e=e0a=a-

IV.V。EG,3a~1GG»。。。-1二。一1。。=0.

对于一个群G,称HI中的e为群G的单位元，称W中的/为。在群G中的逆元.一个群G的一个非空子

（1）直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；

（2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如

123132213231312321

.对于集合s中的元素，定义

312321132123231213

/

d?瓦b2b3%

一种新运算*,规则如下:*

C

bib2b3q%3

{%,〃2，%}=

他也也}={ci9c2,c3}={1,2,3}.

①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群;

②已知〃是群G的一个子群，e,d分别是G,H的单位元，aeH,1,储分别是。在群G,群H中的

逆元.猜想e,d之间的关系以及"之间的关系，并给出证明;

③写出群S的所有子群.

【变式4-1](2024•山东济南•一模)在空间直角坐标系。-孙z中，任何一个平面的方程都能表示成

Ax+By+Cz+D=0,其中4B,C,DeR,A2+B2+C2^0,且3=(4氏0为该平面的法向量.已知集合

P={(x,y,z)||x|<1,|j^|<1,|z|<1),Q=[(x,y,z^x\+\y\+\z\<2],T=[(x,y,z)||x|+1>>|<2,\y\+|z|<2,\z\+|x|<2}.

(1)设集合M={(X/,2)|Z=0},记PCM中所有点构成的图形的面积为0nM中所有点构成的图形的面

积为邑，求H和邑的值；

(2)记集合0中所有点构成的几何体的体积为匕，尸n。中所有点构成的几何体的体积为七,求匕和%的值:

(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.

①求少的体积匕的值；

②求少的相邻(有公共棱)两个面所成二面角的大小，并指出平的面数和棱数.

【过关测试】

1.(2024・高三・北京•阶段练习)设左是正整数，N是N*的非空子集(至少有两个元素)，如果对于N中的任意

两个元素x,y,都有则称N具有性质尸(左).

(1)试判断集合2={1,2,3,4}和C={1,4,7,10)是否具有性质?(2)?并说明理由.

⑵若/={%,%…吗2}=12...,20}.证明：/不可能具有性质产⑶.

(3)若/={1,2,…,2023}且N具有性质尸(4)和尸(7).求/中元素个数的最大值.

2.(2024•北京丰台・一模)已知集合%=beN*|xV274("eN,〃")，若存在数阵T=:'?…?满

足：

①{%9,…,aJU佃也，…也}=M；

②a「bk=k(k=1,2,…,n).

则称集合为“好集合”，并称数阵T为的一个“好数阵”.

xyz6

(1)已知数阵7=•,是的一个“好数阵”，试写出X,九Z,w的值；

7w1o2

（2）若集合〃”为“好集合”，证明：集合M”的“好数阵，，必有偶数个；

（3）判断M,（〃=5,6）是否为“好集合”.若是,求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明

理由.

3.（2024•北京延庆一模）已知数列{%},记集合T={S（，）|S（z,j）=a;+a+1+...+ay,1<z<j,z,jeN*}.

（1）若数列{4}为1,2,3,写出集合T；

⑵若％=2〃，是否存在i"eN*,使得S（i"）=512?若存在，求出一组符合条件的。九若不存在，说明理

由；

（3）若%=",把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为4也,…也,，…，若想V2024,求机的最大

值.

4.（2024•湖南邵阳二模）给定整数让3,由〃元实数集合尸定义其随影数集。={归-引|x,yeP,x^y}.^

min（Q）=l,则称集合户为一个〃元理想数集，并定义P的理数/为其中所有元素的绝对值之和.

⑴分别判断集合$={-2,-1,2,3},7={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想数集；（结论不要求说明理由）

（2）任取一个5元理想数集P,求证：|min（P）|+|max（P）|>4；

⑶当P=H，%,…，々（0}取遍所有2024元理想数集时，求理数f的最小值.

注：由"个实数组成的集合叫做为元实数集合，max（P）,min（尸）分别表示数集p中的最大数与最小数.

,、[—1,XGAd

5.（2024・高二,北京•阶段练习）对于集合定义函数九x=,对于两个集合定义集

[1,xM

合M=3九（x）£（X）=-1）.已知集合A={1,3,5,7,9},8={2,3,5,6,9}.

⑴求力⑴与/⑴的值；

（2）用列举法写出集合力③8；

(3)用Card(W)表示有限集合”所包含元素的个数.已知集合X是正整数集的子集，求

Card(X③/)+Card(X@5)的最小值，并说明理由.

6.(2024•北京石景山•一模)已知集合S"={x|x=(xl,x2,---,xn),xie{0,1},/=>2),对于

A=(a1,a2,---,an),B=他也,…也)eS“，定义A与B之间的距离为d(48)=七问-用.

i=l

⑴已知/=(W,0"S4,写出所有的Be',使得"(48)=1；

(2)已知/=…若4BeS“，并且"(/,/)="(/1)=pV〃，求〃(4夕)的最大值;

(3)设集合PUS.,P中有加(加22)个元素，若尸中任意两个元素间的距离的最小值为乙求证：mV?-'。

7.(2024・高三・北京•阶段练习)设/是正整数集的一个非空子集，如果对于任意xe/,者B有x-leZ或

x+leA,则称/为自邻集.记集合4={1，2,…522,〃eN)的所有子集中的自邻集的个数为an.

⑴直接写出4的所有自邻集；

⑵若〃为偶数且"N6,求证：4的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；

(3)若M>4,求证：an<2an_t.

8.(2024・广东•模拟预测)已知集合A中含有三个元素x,y,z,同时满足①x<"z；@x+y>z;③x+y+z为

偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合S“={1,2,3,…,2〃}(〃eN*,”24),对于集合工的非空子集B,若S.

中存在三个互不相同的元素“使得a+5,Z>+c,c+a均属于5,则称集合B是集合S”的“期待子集”.

⑴试判断集合A={123,5,7,9}是否具有性质P,并说明理由；

⑵若集合8={3,4,0}具有性质P,证明：集合8是集合邑的“期待子集”；

(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合”是集合S”的“期待子集”.

|1x£E

9.(2024・高三・全国・竞赛)对集合E,定义其特征函数X£x)=；考虑集合昂当，…，纥和正实数

%,出定义S«E(无)二2卬七⑶为£和式函数设g=M，M］，则昂当,…，纥为闭区间列；如果集合

Z=1

昂当，…,耳,对任意有&n%=0,则称耳，…，纥是无交集合列，设集合

P”(E)=E»E252E".

(1)证明：工和式函数的值域为有限集合；

(2)设昂/…区为闭区间列，S”,E(无)是定义在《(E)上的函数.已知存在唯一的正整数机，各项不同的非零

加m_

实数%和无交集合列耳,弓…,居,使得2")=<(©，并且»居(力=昂翁),称2>,x4⑶为

Z=1Z=1

L和式函数S%E(x)的典范形式.设m为S.,E(x)的典范数.

⑴设叫<心<加2…<加〃,证明：m<n•

(ii)给定正整数〃，任取正实数为，出，…,。”和闭区间列昂当,…，与，判断几E(X)的典范数加最大值的存在性.

如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.

10.(2024・高三・全国•竞赛)设刊是由复数组成的集合，对M的一个子集/,若存在复平面上的一个圆，使

得/的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且即幺中的数对应的点都在圆外，则称/是一个M

的“可分离子集”.

⑴判断｛1,2,3｝是否是",1,2,3)的“可分离子集”，并说明理由；

⑵设复数z满足0<Re(z)<l,0<Im(z)<l,其中Re(z),Im(z)分别表示z的实部和虚部.证明：3号是

｛1,上z,5｝的“可分离子集”当且仅当|z|<l.

”.0(^牛高三-北京-开学考试冲加个正整数构成的有限集"^回出心…必卜其中•心^^叫―/册)，

记尸(〃)=%+%+•••+%”，特别规定尸(0)=0,若集合M满足：对任意的正整数左4尸(河)，都存在集合

M的两个子集/,B,使得左=尸(/)-尸(8)成立，则称集合M为“满集”.

⑴分别判断集合M=口，2｝与必=｛2,3｝是否为“满集”，请说明理由；

⑵若集合M为“满集”，求为的值：

⑶若M为满集，