北京市某校2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试题（含答案解析）

北京市八一学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合M={x[—N={x|0«x<3},则()

A.{x|-l<x<3}B.{x|0<x<1}C.{x|0<x<1}D.{x|-1<x<0}

2.下列函数中，是(0,+8)上单调减函数的是()

A./(x)=x+lB./(x)=-1

C./(x)=-f+2D.=

3.下列命题中正确的是()

A.若则一<—B.若a>b,则

ab

C.若a>b,则/D.若a>b,则-C

4.0”是“x+l>0”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.二次函数歹=4—+6x+c(Q,b,c为常数且QWO)的图象如图所示，则一次函数>="+6

与反比例函数>=£的图象可能是()

X

试卷第1页，共4页

6.若函数/(x)和g(%)分别由下表给出:

A.4B.3C.2D.1

7

7.已知函数则函数/(无)的零点所在区间为()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

8.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余

数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数y与该班人数X之间的函数关系用取

整函数y=[x](印表示不大于X的最大整数)可以表示为()

,n「x+4]-x+5-x+6

A-FB-“Fc-rnD-y=[r-rn]

9.已知函数N=/(x)在[7,1]上单调递增，且函数/'(X)的图象关于直线x=l对称，设

"=b=f3,C=/(3)，则。，b,c的大小关系为()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c

+mx<m

\1Yl?

2，若存在实数b,使得关于尤的方程〃x)=6有三个不同

)x,x>m

的根，则实数%的取值范围是()

A.(0,2)B.(―8,—2)D(0,2)C.(—2,0)D.(—2,0)U(2,+oo)

二、填空题

11.已知函数“X)=7^71,函数/(X)的定义域是.

12.若匹尼是一元二次方程x2-x-l=0的两个根，则占+尤2的值为,|网-％|的值

试卷第2页，共4页

为.

4

13.当x>l时，x+的最小值为.

x-l

"Y"2_zy"Y-I1_1

c一，'，一，若/(x)在(-8,+8)上单调递减，则。的取值范围

)2ax-l,x>-l

是.

15.已知函数/(x),对于给定的实数力,若存在。>0,b>0,满足：\/x&\t-a,t+b］,使

得I|<2,则记a+6的最大值为H(t).

①当〃无)=3x时，〃(0)=；

②当f{x)=/且fe［1,3］时,函数H(t)的值域为.

三、解答题

16.设集合/={x|-l<x<2},集合8="心-1）（关-3）>0},集合C={x||x|<。}.

(1)求Nc8,转；

(2)若C=/,求实数。的取值范围.

17.已知函数/(x)为二次函数，〃尤)的零点为-1和2,且/(0)=-4.

⑴求“X)的解析式，并写出“X)的单调区间；

⑵求/(x)在区间［0,3］上的最大值和最小值.

18.已知函数/(》)=芝5，/(X)为奇函数.

⑴求。的值；

⑵用定义证明：/'(x)在区间［0,1］上是增函数；

(3)若函数/(x)为定义在(-M)上的偶函数,且xe［0,l)时，。力=/(力.求力⑶的解析式,

并求不等式Mx-1)>jg)的解集.

19.已知函数/=f+ax+3,g(x)=2x.

⑴若方程/(x)=0的根为-1和6,求。和6的值；

⑵若函数/(x)在区间［1,2］上的最小值,与函数g(x)在区间［1,2］上的最小值相同，求。的值;

(3)若函数/⑴的图象总在函数g(x)图象的上方，求。的取值范围.

试卷第3页，共4页

20.设函数〃x)的定义域为。，对于区间/=[4,6](。<6,/三。)，若满足以下两条性质之

一，则称/为/(x)的一个“。区间”.

性质1：对任意xe/,有/(x)e/；

性质2：对任意xe/,有/(x)任/.

⑴分别判断区间[1,2]是否为下列三个函数的“。区间”(直接写出结论)；

①y=3-x；®y=-x=-x+2x.

(2)已知定义在R上，且图象连续不断的函数/(x)满足：对任意西,马€口，且网片马，有

"%)一/(xJ<T.求证:/⑴存在，，。区间，，,且存在x。eR,使得/不属于/(无)的所有“Q

区间

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BCDAABCBAB

1.B

【分析】根据交集的概念和运算即可得答案.

【详解】根据交集的概念和运算可得MCW={x|OVx<l},

故选：B.

2.C

【分析】结合一次、二次已经反比例函数的性质判断即可得答案.

【详解】对于A,结合一次函数的性质可知/(x)=x+l是R上的递增函数，故A错误；

对于B,结合反比例函数的性质可得/(尤)=-；在(0,+s)上的单调递增，故B错误；

对于C,结合二次函数的性质可得/'(x)=-x2+2在(0,口)上的单调递减，故C满足题意；

对于D,因为了=》与〉=-：都是(0,+s)上的增函数，所以=在(0,—)上的单调

递增，故D错误，

故选：C.

3.D

【分析】举反例说明ABC不成立，根据不等式性质说明D成立.

【详解】当。=1,6=-1时，有a>b,->7,所以A错误；

ab

当c=0时，由a>6得分=而，所以B错误；

当。=0,6=-1时，由a>方得/</,所以c错误；

由不等式两边同时加上一个数，不等式号不变，D正确，

故选：D

4.A

【分析】化简“x+l>0”，利用充要条件的定义可以判定.

【详解】x+l>0化简得x>T,因为x>0时，x>-1；而x>T时，不一定得出乂>0.

所以选A.

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定.利用集合间的关系或者借助数轴能方便

求解.

答案第1页，共10页

5.A

【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴的位置、在纵轴的交点坐标的正负判断。,6,c的

正负性，再结合反比例函数、一次函数的图象特征逐一判断即可.

【详解】由二次函数的图象可知：开口向上，因止匕。>0；对称轴为》=-3>0=6<0,

2a

当x=0时，y=c<0；

因为c<0,所以反比例函数〉=£的图象在二、四象限，排除BC；

X

因为。〉0,b<0,所以一次函数>="+6的图象经过第一、三、四象限，故排除D,

故选：A

6.B

【分析】从外到内逐步求值.

【详解】根据题意,g(/(x))=3,

则/(x)=4,所以x=3.

故选：B

7.C

【分析】数形结合，再由零点存在性定理即可直接判断.

77

【详解】如图:作出了=/与>=’的图象，两图象只有一个交点，即/(x)='-x2有且只

XX

71

7-1=6>0,/(2)=--4=--<0,

所以/⑴〃2)<0,且“X)在(1,2)上是连续函数，故"X)的零点在(1,2)上,

故选：C.

8.B

【分析】可分余数为0V/W5和64V9两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式,

再推理即可判断得答案.

【详解】设各班人数除以10的余数为《0(Y9),

答案第2页，共10页

/+4

当0WY5时，4<t+4<9,x=l0y+t,[^-]=0,

x+410y+Z+4,f+4]J+41

[r------]1=[r------------]1=[y--------]=y+[------]=y；

10101010

/+4

当6VIV9时，10<Z+4<13,x=10(y-l)+f,[^-]=1,

10(y-l)+Z+4_Z+4Z+4

-]=[y-l+-----]=y—l+[-----]=y,

101010

所以所求的函数关系为>=［、Y+，4］.

故选：B

9.A

【分析】首先利用对称性将不在［-11］上的自变量值转化到［-覃］上对应的自变量值，再根据

单调性比较函数值大小.

【详解】因为函数AM的图象关于直线x=l对称，所以有〃x)=/(2-x).

那么/(2)=/(2-2)=/(0),/(3)=/(2-3)=/(-I).

己知函数了=/(尤)在［T,l］上单调递增.

在［-1刀上，一1〈一g<0,根据单调性，当王<%时，〃再)</(x2)，所以</(_1)</(0).

即/(3)</(-;)</(2),也就是c<a<6.

故选：A.

10.B

【分析】作出函数/(%)的图象，分冽>0、加=0、加<0三段讨论即可.

【详解】分情况讨论，

当加〉0时，要使/(x)=b有三个不同的根，则।।=0<冽<2；

m>0

答案第3页，共10页

加2〉12加I

'In加<—2.

(m<0

当加=0时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去.

m的取值范围是(-8,-2)u(0,2),

故选：B.

【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到临界

位置的高低是难点，属于中档题.

11—)

【分析】由根式型函数的定义域列不等式即可直接求得答案.

【详解】由题意可得2X+1Z0,解得

故答案为：-;，+s]

12.1V5

【分析】根据韦达定理可求得占+x2=l,匹X2=-l,再根据

\X1-X2|=-工2)"=+X2j一'X2即可求解.

【详解】因为尤1/2是一元二次方程--关-1=0的两个根，

则再+/=IXiX2=一1，

所以|西一引=J(%1-％2)2-J(玉+工2)2-例马=#1•

故答案为：1；逐.

答案第4页，共10页

13.5

【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可.

【详解】因为%>1,

44

当=---「％=3时，x+----；的最小值为5.

x-1x-1

故答案为：5.

14.[-g,0)

【分析】先分别确定每段函数单调递减时参数的取值范围，再考虑分段点处函数值的大小关

系.

【详解】对于二次函数—故+3,其对称轴为x=(

因为二次函数开口向上，要使其在x<T上单调递减，则对称轴需在x=-l或其右侧，即

^>-h解得。12.

对于一次函数>=2依-1,要使其单调递减，则2a<0,解得。<0.

考虑分段点处函数值的大小关系

当x=-l时，y=d—依+3的值为1+。+3=。+4；y=2。无一1的值为一2。一1.

因为函数在(-8,+功上单调递减，所以在分段点x=T处，应有

(―1)~—6ZX(―1)+326fX(―1)—1.

即1+。+32-2。-1,移项可得。+2aN-l-l-3,3a2-5,解得心-之.

3

综合以上三个条件，取交集可得-所以。的取值范围是

故答案为：[-*0).

15.[VH-V7,2)U[2V3,4]

【分析】取f=0,找到a+bV。从而得解；按除口,逝口€(亚,3]分类讨论求出“⑺，再

由单调性得出值域.

【详解】依题意，g0,当〃x)=3x时，/(Z)=0,VxC使得"(x)-〃。区2,

答案第5页，共10页

22

即|/(x)区2,则-2V3xV2,解得一一VxV—,由。>0,6>0,

33

222244

得一一<-a<b<-,解得0<qV-,0<64—,贝！Ja+bW—,所以H(0)=—；

333333

当/(x)=Y且/e[l,3]时，区2,则产一2=尤2<产+2,

当;且1,拒]时，-Jr+2WxVJ/+2,依题意,

>t+b

整理得",——，H(t)=2〃+2，而函数以⑺在工行]上单调递增，W)e[2V3,4],

bWyjt?+2—t

a&t-J厂-2

当江(亚,3]时，炉工V无v/7L则,整理得

>t+bb<4F+2-t

于是H⑴=#72-J—=-^==J-^=，函数y=="与在(g,3]上单调

递增，

因此函数以⑺在(女,3]上单调递减，H⑦e[VTT-V7,2),

的值域为[而-将⑵U[2石,4],

故答案为：!：[VTT-V7,2)U[2V3,4]

【点睛】关键点点睛：第二空，按fe[l,亚]je(/,3]分类讨论求出函数”⑺的解析式是求

解的关键.

16.^5={x|l<x<3}；

(2)a<l.

【分析】(1)解不等式化简集合B,再利用交集、补集的定义求出结果.

(2)按q40,a>0分类讨论，结合集合的包含关系求出范围.

【详解】(1)解不等式(xT)(x-3)>0,得x<l或无>3,则5={x|x<l或x>3},而

A={x\-1<x<2},

所以/nB={x[—^B={x\\<x<3}.

(2)当aVO时，C=0,满足贝!Ja«O；

f—Q2—]

当a〉0时，C={x\-a<x<a\,由C1得<,解得

0<«<2

答案第6页，共10页

所以实数。的取值范围是

17.(1)/(X)=2X2-2X-4,递减区间为递增区间为g,+8)；

一.一9

(2)最大值为8,最小值为-5.

【分析】(1)根据给定条件，利用二次函数的两根式设出解析式，进而求出解析式及单调区

间.

(2)利用二次函数的性质求出最值.

【详解】(1)由二次函数的的零点为-1和2,设〃x)=a(x+l)(x-2),awO,

由/(0)=-4,得一2a=-4,解得a=2,贝lj/(x)=2(x+l)(x-2)=2--2x-4,

所以/(x)的解析式/(X)=2X2-2X-4,递减区间为(-8,；],递增区间为[：,+◎.

1a1

(2)由(1)知，/(x)=2(x--)2--,〃x)的图象对称轴为x=5,xe[0,3],

19

当x=5时，/«in=--:当x=3时，/(x)max=8,

所以“X)在区间[0,3]上的最一大值和最—小值分别为8和-会9

18.⑴〃=0

(2)证明见解析

X

[0,1)

X

(3"?(x)=<+1

-X

(TO)

x+1

【分析】(1)利用/(0)=0,即可得到/'(X)的解析式;

(2)利用定义法，证明/'(x)为增函数即可;

(3)利用奇偶性和单调性，解不等式即可.

【详解】(1)•••函数〃目=言■是定义R上的奇函数,

"(。)=事=。，即"。，经检验符合题意;

(2)任取再e[01],且再〈尤?,

则〃为)-〃/)=

]+%；l+x1-(l+x；)(l+¥)，

因为0«西＜%241，所以再一工2＜。，1一再入2＞°，1+%；＞0，1+＞0,

答案第7页，共10页

所以/(M)一/(无2)<0,即/(再)</(尤2).

...函数/(尤)在［0,1］上为增函数.

(3)设尤e(-l,0),则-xe(0,l),

因为函数h(x)为定义在上的偶函数，

所以〃(切=〃(-殳)=/(川=^^,

六pxe［0,l)

所以〃(x)={_,

Upxe(TO)

由于必幻为定义在(-1,1)上的偶函数，且在［0,1］上是增函数，

所以不等式可得或;

得T。扑加.

19.(1)。=4/=-3

(2)a=-2

(3)2-273<a<2+2V3.

【分析】(1)结合一元二次方程根与系数的关系即可求得答案；

(2)先确定“X)在［1,2］上的最小值为2,在结合二次函数的性质分类讨论即可求得a的值;

(3)将原问题转化为“X)-g(x)>0恒成立，利用判别式即可求得a的范围.

【详解】⑴因为/(》)=/+°尤+3=0的两个根分别是-1和6,

-1+b=—aa=4

所以,解得

—l'b=3b=—3

(2)g(x)在［1,2］上的最小值为g(l)=2,

所以〃x)在［1,2］上的最小值为2,

当-^22,即aV-4时，/«in=/(2)=7+2fl=2,解得a=高(舍)；

当即_4<°<_2时，=/(-^)=3--=2,解得a=±2(舍)；

224

当-■|<1,即/-2时，/«,„=/(1)=4+a=2,解得°=-2；

答案第8页，共10页

综上：a=—2；

(3)因为函数/(x)的图象总在函数g(x)图象的上方，所以/(')-g