2024年吉林省延边州高考数学一模试卷（含详细答案解析）

2024年吉林省延边州高考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知复数z满足(l+i)z=3+5(是虚数单位)，则|z|=()

A.B.4C.D.5

2.若集合4={x|lnx>l,xeN*},集合B=(x\x2-6x-7<0},则AAB的子集个数为()

A.5B.6C.16D.32

3.若p：苗40，则〃成立的一个必要不充分条件是（）

A.-1<x<2B.\x\>1C.|x|>2D.2<x<5

4.将函数f（x）=sin（3%+$（3>0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y羯对称，则3

的最小值是（）

5.已知｛Q〃｝是公差不为0的等差数列，S,是其前〃项和，若%+5%=58,则下列关系中一定正确的是

（）

A.bg=S］（）B.SqV〉］0C.Sg=SgD.SQ<Sg

6.如图，在△48。中，Z.BAC=而=2而,夕为CO上一点，且满足而=

mAC+^AB,若|砌=3，|画=4，则乔•丽的值为（）

7.谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1）,沿三

边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2）,对剩下的三个小三角形继续以上操

作（如图3）,按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形.如果图1三角形的边长为2,则图4被挖

去的三角形面积之和是（）

8.已知点M,N是抛物线y=4/上不同的两点，尸为抛物线的焦点，且满足乙MFN=与，弦MN的中点尸

到直线/：y=—卷的距离记为乩若|MN|2=Qd2,则2的最小值为（）

A.3B.<3C.1+73D.4

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.卜列命题中止确的是（）

A.三知随机变量X~8（6,；）,则。（3X+2）=12

B.已知随机变量丫~W（〃,小），且p（y34）=p（y工0）,则〃=2

C.已知一组数据：7,7,8,9,5,6,8,8,则这组数据的第30百分位数是8

D.抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分123分，方差为60：女生平均分128

分，方差为40,则抽取的100名学生数学成绩的方差为80

10.已知401，y。，8（%2，乃）是圆。：/+y2=4上的两点，则K列结论中正确的是（）

A.若点O到直线48的距离为，^则

B.若|/18|=2C，则乙408=2

C.若乙4。8=P则吊+为一1|+%+为一II的最大值为6

D.x^2+y02的最小值为一4

11.如图，在多面体ABCOfiT7中，底面ABCO是边长为，I的正方形，DE=BF=1,DE//BF,DE1平面

ABCD,动点P在线段EF上，则下列说法正确的是（）

E

A.AC±DP

B.存在点P,使得OP〃平面4CF

C.当动点P与点尸重合时，直线DP与平面AR7所成角的余弦值为嚼

D.三棱锥4-CDE的外接球被平面ACF所截取的截面面积是半

12.已知当%>0时，^<ln(14-i)<i,贝心)

A.e百>?B.1+g+[+…+3VIn8

41/InAegcl(?i

，

C-2+3+4+"+8<ln8D-?+?+?+""+?<e

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数f(x)=1,若对任意的正数〃、b,满足/•(a)+f(2b-2)=0,则5+｝的最小值为____.

14.已知•个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为甯，半径为门的扇形.若该圆锥的顶点及底面圆周都在球

。的表面上，则球。的体积为.

15.定义在(0,+8)上的函数1(%)满足疗(%)-1>0,/(4)=21n2；则不等式f(e*)<%的解集为.

16.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的

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反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线£*:a一方=1(。>0,匕>0)的左、右焦点分别为F],F2,从F2

发出的光线经过图2中的A,3两点反射后，分别经过点。和0,且C0S48/1C=—"AB1BD,则七的离

心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)

己知函数/(%)=1-sin2dox4-^ysin26jx,(co>0)的最小正周期为47r.

(1)求3的值，并写出/(%)的对称轴方程；

(2)在△力8c中角A,B,C的对边分别是“，b,c满足(2a-c)cos8=bcosC,求函数/'(A)的取值范围.

18.(本小题12分)

己知正项数列｛%｝的前〃项和外,满足：Sn=(空产

(1)求数列的通项公式；

(2)记b=普设数列｛%｝的前〃项和为荒，求证7；

^n^n+2

19.(本小题12分)

“斯诺克(Snooker)”是台球比赛的•种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台

球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一.现甲、乙

两人进行比赛比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球(例如：若第一局中开球，则第二局乙开球，第

三局甲开球……)，没有平局已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为:，在乙的“开球

局”，甲获得该局比赛胜利的概率为a并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权.

(1)求甲以3：1赢得比赛的概率；

(2)设比赛的总局数为f,求E(f).

20.(本小题12分)

已知三棱柱侧面1GC是边长为2的菱形，4C44i=$侧面四边形4?为必是矩形，且

平面4&GC1平面488遇1，点Z)是棱&B1的中点.

(1)在棱4C上是否存在一点E,使得力。〃平面BiGE,并说明理由；

(2)当三棱锥B—&DG的体积为，^时，求平面4G。与平面CG。夹角的余弦值.

21.(本小题12分)

已知椭圆E：圣+，=1(。>6>0)的右焦点为尸2，上顶点为从。为坐标原点，乙0“尸2=30。，点(1,|)

在椭圆E上.

(1)求椭I员IE的方程：

(11)设经过点F?且斜率不为0的直线/与椭圆£相交于A,8两点，点P(-2,0),Q(2,0).若M,N分别为直

线AP,与)，轴的交点，记△MPQ,△NPQ的面积分别为SAMPQ,S^PQ，