2024年北京石景山高一上学期期末考数学试题含答案解析

第1页/共1页北京石景山区2023—2024学年第一学期高一期末试卷数学本试卷共5页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知命题p：“”，则为（）A. B.C. D.3.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.4.已知关于的不等式的解集是则（）A. B. C. D.5.“”是“”的（）A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（）人A.220 B.225 C.580 D.5857.若则（）A B. C. D.8.已知函数，则（）A B.0 C.1 D.29.已知函数，则不等式的解集是（）A B. C. D.10.已知非空集合，满足以下两个条件：（1），；（2）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素.则有序集合对的个数为（）A.12 B.10 C.6 D.5第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.函数的定义域为______.12.已知，则当______时，取得最小值为______.13.不等式的解集为__________.14.写出一个值域为的偶函数______.15.已知函数，（1）若，则的最大值是______；（2）若存在最大值，则的取值范围为______.三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知集合，集合（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.17.已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.（1）求丙投篮命中的概率；（2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中概率.18.已知函数的图像过点．（1）求实数m的值；（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；19.甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：甲队88919396乙队89949792（1）在4次比赛中，求甲队的平均得分；（2）分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率；（3）甲，乙两队得分数据的方差分别记为，，试判断与的大小（结论不要求证明）20.已知函数，其中为自然对数的底数，.（1）若0是函数的一个零点，求的值并判断函数的奇偶性；（2）若函数同时满足以下两个条件，求的取值范围.条件①：，都有；条件②：，使得.石景山区2023—2024学年第一学期高一期末试卷数学本试卷共5页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义，即可判断选项.【详解】集合，，由交集的定义可知，.故选：B2.已知命题p：“”，则为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题p：“”，的否定为：．故选：C．3.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据各选项中的函数直接判断单调性即可.【详解】函数在R上单调递减，A不是；函数在上单调递减，在上单调递增，则在上不单调，B不是；函数的R上单调递减，C不是；函数在R上单调递增，在上单调递增，D是.故选：D4.已知关于的不等式的解集是则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解集与相应方程的根的关系，利用韦达定理求解．【详解】由题意和1是方程的两根，所以，，，∴．故选：B．5.“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解的解集，再根据集合的包含关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】由，得，因为，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A6.某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（）人A.220 B.225 C.580 D.585【答案】C【解析】【分析】利用分层抽样比例一致得到相关方程，从而得解.【详解】依题意，设高三男生人数为人，则高三女生人数为人，由分层抽样可得，解得.故选：C.7.若则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，以及指数函数的性质，基本不等式，即可判断选项.【详解】A.因，则，则，故A错误；B.因为，所以，故B错误；C.在R上单调递增，当时，，故C错误；D.因为，所以和都大于0，则，当时，即时等号成立，所以“=”不能取到，所以，故D正确.故选：D8.已知函数，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的定义区间，结合函数解析式，求函数值.【详解】函数，则.故选：C9.已知函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得，即的图象在图象的上方，画出图象，即可得出答案.【详解】因为的定义域为，因为，，由可得，即的图象在图象的上方，画出的图象，如下图，由图可知：不等式的解集是.故选：D.10已知非空集合，满足以下两个条件：（1），；（2）元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素.则有序集合对的个数为（）A.12 B.10 C.6 D.5【答案】B【解析】【分析】首先讨论集合中的元素个数，确定两个集合中的部分元素，再结合组合数公式，即可求解.【详解】若集合中只有1个元素，则集合只有5个元素，，，即，，此时有个；若集合中只有2个元素，则集合只有4个元素，，，即，，此时有个；若集合中只有3个元素，则集合只有3个元素，，，不满足题意；若集合中只有4个元素，则集合只有2个元素，，，即，，此时有个；若集合中只有5个元素，则集合只有1个元素，，，即，，此时有个；故有序集合对的个数是.故选：B第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】利用函数有意义列式求解即得.【详解】函数有意义，则且，解得，所以函数的定义域为.故答案为：12.已知，则当______时，取得最小值为______.【答案】①.②.【解析】【分析】由基本不等式求解即可.【详解】因为，，所以，当且仅当，即时取等，所以当时，取得最小值为.故答案为：；.13.不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案.【详解】根据不等式整理可得，即，等价于，解得；所以不等式的解集为故答案为：14.写出一个值域为的偶函数______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据偶函数的性质，以及指数函数的性质，即可求解的解析式.【详解】设，函数的定义域为，且，即函数为偶函数，，所以，即函数的值域为,所以满足条件的一个函数.故答案为：15.已知函数，（1）若，则的最大值是______；（2）若存在最大值，则的取值范围为______.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）若，则，由二次函数的性质可得出答案；（2）当时，由（1）知，存在最大值，当时，若存在最大值，在应单调递减，所以，即可得出答案.【详解】（1）若，则，当时，，所以，则的最大值是.（2）当时，由（1）知，存在最大值，当时，若存在最大值，在应单调递减，所以，且当时，，无最大值，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，所以存在最大值为.故的取值范围为：.故答案为：；.三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知集合，集合（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）分别求集合，再求；（2）根据（1）的结果，首先求，再根据集合的运算结果，求实数的取值范围.【小问1详解】当时，，，得或，即或，所以或；【小问2详解】由（1）可知，，，若，则.17.已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.（1）求丙投篮命中的概率；（2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件，根据独立事件概率公式，即可求解；（2）根据（1）的结果，根据公式，即可求解；（3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解.【小问1详解】设甲投篮命中为事件，乙投篮命中为事件，丙投篮命中为事件，由题意可知，，，，则，所以丙投篮命中的概率为；【小问2详解】甲和乙命中，丙不中为事件，则，所以甲和乙命中，丙不中的概率为；【小问3详解】甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件，则,18.已知函数的图像过点．（1）求实数m的值；（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；【答案】（1）（2）在区间上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）将代入解析式，得到m的值；（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.【小问1详解】将点代入函数中，可得，解得．【小问2详解】单调递增，证明如下．由（1）可得，任取，则，因为，则，，，即，所以，即，所以在区间上单调递增．19.甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：甲队88919396乙队89949792（1）在4次比赛中，求甲队的平均得分；（2）分别从甲、乙两队4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率；（3）甲，乙两队得分数据的方差分别记为，，试判断与的大小（结论不要求证明）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据平均数公式，即可求解；（2）利用列举样本空间的方法，结合古典概型概率公式，即可求解；（3）结合方差的定义和公式，即可判断.【小问1详解】设甲队的平均分为，则所以甲队的平均分为；【小问2详解】分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，有，共包含16个基本事件，这2个比赛得分之差的绝对值为1包含，共5个基本事件，所以这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率;【小问3详解】乙队的平均分为，则,20.已知函数，其中为自然对数的底数，.（1）若0是函数的一个零点，求的值并判断函数的奇偶性；（2）若函数同时满足以下两个条件，求的取值范围.条件①：，都有；条件②：，使得.【答案】20.；奇函