第02讲 二次函数y=ax^2＋c(a≠0)与y=ax-h^2＋k(a≠0)的图象与性质（原卷版）

第02讲二次函数y=ax^2＋c(a≠0)与y=a（x-h)^2＋k(a≠0)的图象与性质【知识梳理】一、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.要点诠释：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．二、函数与函数的图象与性质1.函数的图象与性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2.函数的图象与性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．三、二次函数的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【考点剖析】题型一、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质例1．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．例2．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．例3.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．【变式】(1)抛物线的开口方向，对称轴是，顶点坐标是．(2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为．(3)抛物线向平移个单位后，得到抛物线.例4.根据下列条件求a的取值范围：(1)函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；(2)函数y＝(3a-2)x2有最大值；(3)抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；(4)函数的图象是开口向上的抛物线．【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（）．例5.在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）A． B． C． D．题型二、二次函数图象及性质例6．二次函数y=﹣（x﹣3）2+2的顶点的坐标是，对称轴是．【变式】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为．例7．将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．例8.已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a、h、k的值；(2)在同一坐标系中，画出与的图象；(3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．（1）试确定a、h、k的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．例9.二次函数y=（x﹣1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为．题型三、二次函数性质的综合应用例10．二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线y2交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．（1）确定二次函数与直线AB的解析式．（2）如图，分别确定当y1＜y2，y1=y2，y1＞y2时，自变量x的取值范围．例11.在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：，，．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．例12.已知：二次函数y=x2﹣4x+3．（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求出该抛物线与x轴的交点坐标；（3）当x取何值时，y＜0．【变式】已知抛物线y=2（x﹣1）2﹣8．（1）直接写出它的顶点坐标：，对称轴：；（2）x取何值时，y随x增大而增大？例13.如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．(1)求直线AC的解析式；(2)求△ABC的面积；(3)当自变量x满足什么条件时，有?【过关检测】一、单选题1．（2021秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）二次函数的顶点坐标是（

）A．（0，0） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（，0）2．（2023·浙江宁波·统考二模）已知点，是二次函数上的两点，若，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线C．顶点坐标为D．当时，y随x的增大而减小4．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）已知，为抛物线上的两点，则下列结论一定成立的是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考阶段练习）若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（

）A．点 B．点 C．点 D．点7．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）设函数，．直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则8．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）在下列函数图象上任取不同的两点，一定能使的是（

）A． B．C． D．二、填空题9．（2022秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如果抛物线开口向下，那么a的取值范围是______．10．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）二次函数的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围为______．11．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为____________．12．（2022·浙江金华·九年级浙江省义乌市稠江中学校考阶段练习）如果一抛物线的对称轴为，且经过点A（3,3），那么点A关于对称轴的对称点B的坐标为____________13．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）已知点、为抛物线上的两点，如果，那么______填“”“”或“”14．（2022秋·浙江舟山·九年级统考期末）一抛物线的形状，开口方向与相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解析式为_______．15．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）抛物线的开口方向是______．16．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，的值是______．17．（2020·浙江·模拟预测）无论取什么实数，点都在二次函数上，是二次函数上的点，则_____________．18．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当，且时，的最小值为，的最大值，则的值为___________．三、解答题19．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数的图像以点为顶点，且过点．（1）求该函数的解析式；（2）直接写出随的增大而增大时自变量的取值范围．20．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）求直线的解析式．21．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）已知．(1)求S与t的函数关系式；(2)当时，求S的值；(3)求S的最大值或最小值．22．（2020·浙江杭州·统考一模）在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．23．（2020春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，已知二次函数的图象顶点是，且过C点．（1）求此二次函数的解析式；（2）已知直线与该二次函数图像相交于点，求两点的坐标．（3）写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．24．（2019秋·浙江绍兴·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐