专题13 等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型解读与提分精练（全国）

专题13等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型维维亚尼定理（Viviani'stheorem）：在\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"等边三角形内任意一点P到三边的\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"垂直距离之和，等于该等边\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"三角形的高。这个定理可一般化为：等角\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等边三角形中维维尼亚模型 2模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 7 14模型1.等边三角形中维维尼亚模型条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM；②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。（当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。

图1图2证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC，则，∵；∴PD+PE+PF=AM。②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA，则，∵；∴PD+PE-PF=AM。例1．（2024·河北·二模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（）A． B． C．2 D．例2．（2024八年级·广东·培优）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（

）

A． B． C． D．例3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形内一点，且，，，以下3个结论：①；②；③；④若点P到三边的距离分别为，，，则有，其中正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个例4．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中，且过A作于点P，点M是直线上一动点，设点M到两边、的距离分别为m，n，的高为h．

(1)当点M运动到什么位置时，，并说明理由．(2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论．(3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证：模型2.等腰三角形中维维尼亚模型条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB，结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。图1图2证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC，则，∵；∴PE+PD=CF。①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC，则，∵；∴PF-PE=CD。例1．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰长为4，面积为4，则OE+OF的值为()A．1.5 B．2 C．2.5 D．3例2．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形沿EF折叠，使点D落在点B处，P为折痕上的任意一点，过点P作，垂足分别为G，H，若，，则．例3．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答．

(1)甲同学提出：______度；(2)乙同学提出：的面积为：______；(3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值；(4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由．例4．（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形中，，点是底边上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长．（2）如图（2），已知在等腰三角形中，，点是底边的延长线上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长．（3）如图（3），已知：点为等边三角形内任意一点，过分别作三边的垂线，分别交三边与、、．求证：为定长．例5．（2024·江西·一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．(1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度．(2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．(3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．(4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰△中，，，是△外一点，到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（

）A．5 B．6 C． D．2．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，tanC＝2，BD⊥AC于点D，点G是底边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F，若BD＝4，GE＝1.5，则BF的长度为（

）

A．0.75 B．0.8 C．1.25 D．1.353．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，是三角形内一点，，若，且是等边三角形，则的周长为（）

A．12 B．18 C．24 D．304．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，为等边三角形，点是边上异于B，的任意一点，于点E．于点F．若边上的高线，则．5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，点为此三角形内部（包含三角形的边）的一点且到三角形三边的距离和为7，则的最小值为．6．（2024八年级·广东·培优）如图，中，，点P是边上任意一点，点Q是延长线上任意一点，过点P分别作于点D，于点E，过点Q分别作于点F，于点G，则．（填“>”“<”或“=”）7．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点Р为折痕上的任一点，过点Р作，垂足分别为G、H，若，，则下列结论正确的有（填正确结论的序号）①②的面积是③④．8．（2024八年级·广东·培优）如图，在中，线段AD为中线，点O为线段AD的中点，直线l经过点O，且B，C两点在l的同侧，过点B，C，D，A作直线l的垂线，垂足分别为点E，F，H，G．则下列说法一定正确的有．

①；②；③；④若点B，C位于l异侧，有．9．（2023·四川内江·中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则．

10．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，已知等腰中，，，P为三角形内（含边）一点，过点P分别作、、的垂线，垂足分别为D、E、F．若，则长为；若，则点P运动的路径长为．11.（23-24八年级下·河南南阳·期中）在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．（1）观察猜想:如图1，当点P在BC边上时，此时点P、D重合，试猜想PD，PE，PF与AB的数量关系：．（2）类比探究:如图2，当点P在△ABC内时，过点P作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，试写出PD，PE，PF与AB的数量关系，并加以证明．（3）解决问题:如图3，当点P在△ABC外时，若AB＝6，PD＝1，请直接写出平行四边形PEAF的周长．12．（23-24泰州八年级上期中）从特殊出发：如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．小明的证明思路：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得PD+PE=CF（不需写出证明过程）．变化一下：（1）如图3，当点P在BC的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD、PE和CF的关系，并证明．从几何到函数：如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数和的图像，l1、l2与x轴的交点分别为A、B．（2）两条直线恰好相交于y轴上的点C，点C的坐标是；（3）说明ABC是等腰三角形；（4）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标．13.（23-24九年级上·四川成都·期中）教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰中，．即，∵，∴是个固定值．(1)如图1，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_________．知识应用：(2)如图2，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由．(3)如图3，当点P是等边．外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积_________．14．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，腰上的高为，连接，则，即：，∴（定值）．(1)理解与应用：如图，在边长为的正方形中，点E为对角线上的一点，且，为上一点，于，于，试利用上述结论求出的长．(2)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，等边的高为，试证明（定值）．(3)拓展与延伸：若正边形，内部任意一点到各边的距离为，请问是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值．

15．（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．(1)如图一，在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G.利用面积证明：．(2)如图二，将矩形沿着折叠，使点A与点C重合，点B落在处，点G为折痕上一点，过点G作于M，于N.若，，求的长．(3)如图三，在四边形中，E为线段上的一点，，，连接，且，，，，求的长．16．（2023·陕西渭南·二模）（1）【问题提出】如图1，在等腰中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于E，于F，于D．求证：；（2）【问题探究】如图2，和是两个含的直角三角形，其中，，连接、，，求的长；（3）【问题解决】如图3，四边形是某农业观光园的部分平面示意图，是一条灌溉水渠，E为入口，E在线段上，管理人员计划从入口E处沿、分别修两条笔直的小路，将园区分割为、和三个区域，用来种植不同的农作物．根据设计要求，，，且，米，米，米，已知修建小路、每米的造价为50元，求所修小路的总费用．

17．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）学完三角形的高后，小明对三角形与高线做了如下研究：如图，D是中BC边上的一点，过点D、A分别作、、，，垂足分别为点E、F、G，由与的面积之和等于的面积，有等量关系式：．像这种利用同一平面图形的两种面积计算途径可以得出相关线段的数量关系式，从而用于解决数学问题的方法称为“等积法”，下面请尝试用这种方法解决下列问题．(1)