2024-2025学年江苏省苏州市相城区高一上册12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省苏州市相城区高一上学期12月月考数学检测试题一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.函数的一个零点所在的区间是(

)A．B．C． D．2.已知，，，则(

)A. B. C. D.3.已知半径为3的扇形圆心角是，则该圆心角所对弧长是(

)A. B.C. D.4.已知，则的解析式为(

)A．B．C． D．5.已知函数恒过定点，则的最小值为(

)A． B． C．3D．6.“”是“函数在上单调递增”的(

)条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要D．充要7.设方程和方程的根分别为，设函数，则(

)A． B．C． D．8.已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则方程的解的个数为(

)A．0 B．1 C．2 D．3多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）已知集合，，且，则实数的值可以为(

)A． B．0 C．1 D．210.下列结论正确的有(

)A.已知，则B.已知扇形的弧长为eq\f(π,2)，面积为eq\f(π,4)，则该弧所对弦长为eq\r(2)C.已知，则3D.若函数在上的值域为，则实数的范围是11.已知定义在上的函数满足，且，当时，，则(

)A.B.C.在区间上单调递减，在区间上单调递增D.不等式的解集是填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.已知偶函数的定义域为，当时，则=.13.已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是.14.已知函数，若有四个不同的解且，则的最小值为.四、简答题（共5小题，满分77分）15.(本小题满分13分)设集合，：，q：，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；若，求实数m的取值范围.16.(本小题满分15分)已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）求实数a和b的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（3）若，求t的取值范围．17.(本小题满分15分)近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力．某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内按30天计算，每件的销售价格单位：元与时间单位：天的函数关系满足为常数，且，日销售量单位：件与时间x的部分数据如下表所示：x15202530105110105100设该文化工艺品的日销售收入为单位：元，且第15天的日销售收入为1057元．（1）求k的值；（2）给出以下四种函数模型：①；②；③；④请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；利用问题中的函数，求的最小值．18.(本小题满分17分)已知双曲函数，.（1）证明：；（2）判断函数的单调性（不用证明），并解关于x的不等式；（3）若，不等式成立，求实数的取值范围.19.(本小题满分17分)定义在R上的函数满足：对任意的都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”．（1）判断是否为“型函数”？并说明理由；（2）若存在实数k，使得函数始终是“型函数”，求k的最小值；（3）若函数是“型函数”，求实数a的取值范围．数学学科（答案）一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.函数的一个零点所在的区间是（

）A． B．C． D．【分析】求出与，根据零点存在定理即可求解.【详解】由题意得，，则函数的一个零点所在的区间是.故选:C.2.已知，，，则(

)A. B. C. D.【正确答案】B

【分析】本题考查利用指数函数的图象与性质比较大小，利用对数函数的图象与性质比较大小，属于基础题.利用指数函数和对数函数的单调性即可比较.解：因为，所以，故选3.已知半径为3的扇形圆心角是，则该圆心角所对弧长是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】直接代入弧长公式计算即可.【详解】该圆心角所对弧长为.故选：A.4.已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】根据函数解析式利用换元法即可得出函数的解析式.【详解】令，则且，所以，因此.故选：D5.已知函数恒过定点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【正确答案】A由题意可知，则，当且仅当，时，的最小值为6.“”是“函数在上单调递增”的(

)条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要D．充要【正确答案】A【详解】因为函数在上单调递增，所以时恒成立且在上单调递增，所以，则是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.7.设方程和方程的根分别为，设函数，则（

）A． B．C． D．【正确答案】D由得，由得，所以令，这3个函数图象情况如下图所示：设交于点，交于点，由于的图象关于直线对称，而的交点为，所以，注意到函数的对称轴为直线，即，且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程，从而.8.已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则方程的解的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【正确答案】B【分析】先求得的表达式，然后根据零点存在性定理等知识求得正确答案.【详解】设①，则，由①令得，在上单调递增，，题意，所以.对于方程，即，两边除以得，函数，在上单调递增，，所以有唯一零点在区间，所以方程有唯一解.二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．已知集合，，且，则实数的值可以为（

）A． B．0 C．1 D．2【正确答案】ABC【分析】分和两种情况讨论，根据，列出方程，即可求解.【详解】由题意，集合，，且，当时，集合，满足，符合题意；当时，集合，要使得，则满足或，解得或，结合选项，实数的值可以为.故选：ABC.10.下列结论正确的有(

)A.已知，则B.已知扇形的弧长为eq\f(π,2)，面积为eq\f(π,4)，则该弧所对弦长为eq\r(2)C.已知，则3D.若函数在上的值域为，则实数的范围是【正确答案】BC解：对于A.A错误对于B由题知设扇形的半径为R，由扇形的面积S＝eq\f(π,4)，得S＝eq\f(π,4)＝eq\f(1,2)×eq\f(π,2)R，得R＝1，则扇形的圆心角α＝eq\f(l,R)＝eq\f(\f(π,2),1)＝eq\f(π,2)，则弧所对弦长为eq\r(2)R＝eq\r(2).B正确.对于C，则．C正确．对于D【分析】设，则函数在上的值域为等价于在上，结合基本不等式求解即可.【详解】设，因为的值域为，所以，又，，所以，即，解得：且，所以实数的取值范围是.故选ABC11.已知定义在上的函数满足，且，当时，，则(

)A.B.C.在区间上单调递减，在区间上单调递增D.不等式的解集是【正确答案】ABD

【分析】本题考查抽象函数的问题，属较难题.解：对于A，令，得，即，A正确;对于B，令，得，因为，所以，B正确;对于C，对任意，则，所以，所以在上单调递增，故C错误;对于D，，又，所以原不等式等价于，因为在上单调递增，所以，解得，D正确.三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.已知为定义域在上的偶函数，当时，则=______.【正确答案】2【分析】根据偶函数的性质求出当时的解析式即可求解.【详解】当，时，因为函数为偶函数，所以，即时，，因为，所以，故213.已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是.【正确答案】解：幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，，解得，，或当时，，其图象关于y轴对称，不满足题意;当时，，其图象关于原点对称，满足题意，不等式可化为函数是定义域为的减函数，，解得，即实数a的取值范围是14.已知函数，若有四个不同的解且，则的最小值为.【分析】作出分段函数的图象，数形结合确定以及，进而可得，构造函数讨论最值即可求解.【详解】当时，；当时，；当时，；作出函数的图象如下，则由图象可知，的图象与有4个交点，分别为，因为有四个不同的解且，所以，且，且，，又因为所以即，所以，所以，且，构造函数在单调递减，所以，四、简答题（共5小题，满分77分）15．(本小题满分13分)设集合，：，q：，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；若，求实数m的取值范围；【正确答案】解：对于集合A，由，解得，所以由p是q的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集，故且两个等号不同时成立，所以，即实数m的取值范围是因为，所以，当时，，所以，满足题意，当时，，解得，综上，实数m的取值范围为

(本小题满分15分)已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求实数和的值；(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；(3)若，求的取值范围．17.(本小题满分15分)近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力．某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内按30天计，每件的销售价格单位：元与时间单位：天的函数关系满足为常数，且，日销售量单位：件与时间x的部分数据如下表所示：x15202530105110105100设该文化工艺品的日销售收入为单位：元，且第15天的日销售收入为1057元．求k的值；给出以下四种函数模型：①；②；③；④请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；利用问题中的函数，求的最小值．【正确答案】解析：因为第15天的日销售收入为1057元，所以，解得由表中的数据知，当时间x变化时，先增后减.而函数模型①③④都是单调函数，所以选择函数模型②由，此时，符合题意，所以日销售量与时间x的变化关系为由知所以即当，时，由基本不等式得，，当且仅当，即时，等号成立.当，时，单调递减，所以综上所述：当时，取得最小值，为

本题考查了函数模型的综合应用，由基本不等式求最值，是较难题.由题意得，解得由表中的数据知，当时间x变化时，先增后减，所以选择函数模型②，利用待定系数法解得函数解析式；由可得解析式，利用基本不等式及函数的单调性可得最值.18.(本小题满分17分)已知双曲函数，.(1)证明：(2)判断函数的单调性（不用证明），并解关于x的不等式.(3)若，不等式成立，求实数的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析；(2)单调递增，；(3).【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算计算即得.（2）利用指数函数单调性，结合复合函数的单调性判断单调性，再利用单调性解不等式.（3）根据给定条件，分离参数，换元并借助对勾函数的单调性求出最大值即可.（1）双曲函数，,则.（2）函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，不等式，则，即，解得，所以原不等式的解集为.（3）不等式，当时，，则，依题意，，恒成立，令，，，函数在上单调递增，则当时，，因此，即当时，取得最大值，则，所以实数的取值范围是.结论点睛：函数的定义区间为，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则.19.(本小题满分17分)定义在R上的函数满足：对任意的都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”．判断是否为“型函数”？并说明理由；若存在实数k，使得函数始终是“型函数”，求k的最小值；若函数是“