高等数学教程（第4版）课件：求导法则

定理3.2若函数

导数的计算3.2.1导数的四则运算法则则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处均可导,且证(2)由导数的定义及可导必连续,有

设(3)设由运算法则(2),有

则推论例3.12设求解故练习

求的导数.解例3.13设求解练习设解故3.2.2反函数的求导法则定理3.3设函数即:反函数的导数等于直接函数导数的倒数.内可导,且有证因为连续,于是,

反函数的导数为例3.14求函数的导数.解同理可得即:

因变量对自变量求导,等于因变量对中间变3.2.3复合函数的求导法则定理3.4若函数复合而成,量求导,乘以中间变量对自变量求导(链式法则)证(1)式两边同时乘以,整理得令注意,(2)式对任意的都成立.

特别地,对任意的

则由产生的复合函数的增量为

由(2)式,有在(3)式中令

此时定理得证.

解解例3.15求函数的导数.例3.16求函数的导数.解例3.17

求函数的导数.解例3.18

求函数的导数.解例3.19求函数(n为常数)的导数.解因例3.20求函数的导数.即导数基本公式:特别地,特别地,注意:

初等函数的导数仍为初等函数.说明:任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出;解例3.21求函数

的导数.解例3.22求函数的导数.解练习求函数的导数.解练习求函数的导数.解解练习求函数的导数.练习求函数练习幂指函数的导数.解因求设问题:变速直线运动的加速度.3.2.4高阶导数变化率,因加速度a是速度v对时间

t的定义3.2

若导数存在,的二阶导数,记作三阶导数的导数称为四阶导数,

二阶导数的导数称为三阶导数,记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

求函数的高阶导数就是多次连续地对函数求规定:导数,仍应用前面所学的求导方法计算高阶导数．1.由高阶导数的定义逐步求高阶导数.高阶导数求法举例例3.23证明下列函数的

阶导数公式：证明(1)直接求导有假定成立，则由数学归纳法知(2)直接求导有假定则由数学归纳法知练习设解则2.高阶导数的运算法则莱布尼兹公式设函数u和v

具有n阶导数,则解例3.24设,求.所以，当时，解例3.25设,求.由莱布尼兹公式得令则练习设解因练习设解由莱布尼兹公式我们并不需要将隐函数显化后求导.

1.隐函数的导数3.2.5几种特殊的求导法利用复合函数的求导法则即可.

而是方程两边对x求导,等式仍然成立,将

y视为x的函数,例3.26求由开普勒方程解解得方程两边对x求导,确定的隐函数的导数例3.27设由方程确定，解解得方程两边对x求导,求曲线上横坐标处的切线方程和法线方程.所求的切线方程为所求的法线方程为例3.28求由方程确定的隐函数解方程两边对x求导得解得的二阶导数.将代入上式，得故练习设曲线C的方程为解方程两边对x求导,所求切线方程为显然通过原点.法线方程为法线通过原点.练习设解方程两边对x求导,方程(1)两边再对x求导,得得得代入代入观察函数方法:

先在等式两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:2.对数求导法:多个函数相乘和幂指函数的情形.例3.29求的导数.解等式两边取对数,得上式两边对x求导,例3.30设解等式两边取对数,得上式两边对x求导,练习设解等式两边取对数,得上式两边对x求导,练习设解等式两边取对数,得上式两边对x求导,解练习设两边对x求导,得两边对x求导,得由复合函数及反函数的求导法则,得3.参数方程所确定函数的导数连续的函数在参数方程中,