专题20 与圆有关的位置关系（5大考点）（原卷版）

第五部分圆

专题20与圆有关的位置关系（5大考点）

核心考点一点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

核心考点二圆的切线的判定

核心考点核心考点三圆的切线的性质

核心考点四与切线的判定和性质有关的问题

核心考点五三角形的内切圆

新题速递

核心考点一点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

例1（2021·湖南娄底·统考中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当

5

⊙A与直线l:yx只有一个公共点时，点A的坐标为（）

12

A．(12,0)B．(13,0)C．(12,0)D．(13,0)

例2（2020·上海·统考中考真题）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为

2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．

例3（2022·四川凉山·统考中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B

两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6

(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；

(2)求AB的长；

(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．

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1、点和圆的位置关系

点和圆的点到圆心的距离与半径的关系

图示

位置关系文字语言符号语言

圆内各点到圆心的距离都小于半径，

点在圆内点在圆内

到圆心的距离小于半径的点都在圆内Pd<r

圆内各点到圆心的距离都等于半径，

点在圆上点在圆上

到圆心的距离等于半径的点都在圆上Pd=r

圆内各点到圆心的距离都大于半径，

点在圆外点在圆外

到圆心的距离大于半径的点都在圆外Pd>r

2、直线和圆的位置关系

1.设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：

位置关系图形定义性质及判定

相离rO直线与圆没有公共点dr直线l与⊙O相离

dl

r直线与圆有唯一公共点，直线叫做

相切Odr直线l与⊙O相切

dl圆的切线，公共点叫做切点

r直线与圆有两个公共点，直线叫做

相交Odr直线l与⊙O相交

d圆的割线

l

从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：

直线和圆的位置关系相交相切相离

公共点个数210

圆心到直线的距离d与半径r的关系drdrdr

公共点名称交点切点—

直线名称割线切线—

3、圆和圆的位置关系的定义、性质及判定

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⊙、⊙

设O1O2的半径分别为R、r（其中Rr），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：

位置关系图形定义性质及判定

rR两个圆没有公共点，并且每个圆上的

外离dRr两圆外离

O

1O2点都在另一个圆的外部．

两个圆有唯一公共点，并且除了这个

rR

外切公共点之外，每个圆上的点都在另一dRr两圆外切

O1O2

个圆的外部．

相交两个圆有两个公共点．RrdRr两圆相交

O1O

R2

两个圆有唯一公共点，并且除了这个

r

O

内切1O2公共点之外，一个圆上的点都在另一dRr两圆内切

R

个圆的内部．

两个圆没有公共点，并且一个圆上的

R

内含点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含

O0dRr

rO12

两圆内含的一种特例．

说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离

与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．

【变式1】（2022·上海松江·校考三模）已知ABC，AB10cm，BC6cm，以点B为圆心，以BC为半径画

圆B，以点A为圆心，半径为r，画圆A．已知A与B外离，则r的取值范围为（）

A．0r4B．0r4C．0r4D．0r4

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3

【变式2】（2022·江苏无锡·统考一模）如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是

4

以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则PAB面积的最小值是（）

△

119

A．6B．C．5D．

22

【变式3】（2022·上海青浦·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,A90，E是AD上一定

点，AB3,BC6,AD8,AE2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E

为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是__．

4

【变式4】（2022·上海浦东新·统考二模）如图，在RtABC中，ACB90,cosA,CD为AB边上的中

5

线，CD5，以点B为圆心，r为半径作B．如果B与中线CD有且只有一个公共点，那么B的半径r

的取值范围为_______．

【变式5】（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别为边AB，BC，AD上

的点，且AEBFDG，连接EF，GE，GF．

(1)△BEF可以看成是AGE绕点M逆时针旋转角所得，请在图中画出点M，并直接写出角的度数；

(2)当点E位于何处时，EFG的面积取得最小值？请说明你的理由；

(3)试判断直线CD与EFG外接圆的位置关系，并说明你的理由．

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核心考点二圆的切线的判定

例1（2020·浙江·统考中考真题）如图，已知OT是RtABO斜边AB上的高线，AO=BO．以O为圆心，

OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，△交AB于点D．则下列结论中错误的是（）

A．DC=DTB．AD=2DTC．BD=BOD．2OC=5AC

例2（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿

OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是

_____米．

例3（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，ABC是O的内接三角形，ACB60，AD经过圆心O交

O于点E，连接BD，ADB30．

(1)判断直线BD与O的位置关系，并说明理由；

(2)若AB43，求图中阴影部分的面积．

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1.切线的判定

（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。

【变式1】（2023·河北邢台·统考一模）如图，已知AB是半圆O的直径，点C，D将AB分成相等的三段弧，

点M在AB的延长线上，连接MD．对于下列两个结论，判断正确的是（）

结论I：若OMD30，则MD为半圆O的切线；

结论II：连接AC,CD，则ACD130

A．I和II都对B．I对II错C．I错II对D．I和II都错

【变式2】（2022·内蒙古包头·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，

过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝DC，连接BE．对于下列结论：

①BD＝DC；②△CAB∽△CDE；③BD＝AD；④BE为⊙O的切线，

其中一定正确的是（）

A．①②B．①②③C．①④D．①②④

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【变式3】（2022·河北保定·校考一模）已知，如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，A（1，0），

AB＝2．

（1）点C坐标为_____．

（2）若y轴上存在点M，使得∠AMB＝∠BCA，则这样的点有_____个．

【变式4】（2021·天津河北·统考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点A、B、

C均落在格点上．

（I）ABC的面积为________；

（II）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的M与AB

相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________．

【变式5】（2023·陕西西安·校考二模）如图，以ABC的一边AB为直径作O，O与BC边的交点恰好为

BC的中点D，与AC边的交点为F，过点D作DEAC于点E．

(1)求证：直线DE是O的切线；

(2)若AB5，tanACB2，求弦AF的长度．

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核心考点三圆的切线的性质

例1（2022·广东深圳·统考中考真题）如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，ABE90，BC为O

切线，C为切点，CACD,则ABC和CDE面积之比为（）

A．1:3B．1:2C．2:2D．21:1

例2（2022·四川泸州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，C90，AC6，BC23，半径为1

的O在Rt△ABC内平移（O可以与该三角形的边相切），则点A到O上的点的距离的最大值为________．

例3（2022·四川巴中·统考中考真题）四边形ABCD内接于O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与O

相切于点B．

(1)如图1，若PBA30，且EOEA，求证：BA平分PBD；

(2)如图2，连接OB，若DBA2PBA，求证：VOAB∽VCDE．

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1.切线的判定与性质

（1）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。

拓展

推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；

②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。

圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过

圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二

推一”。

【变式1】（2023·山东·统考一模）．如图，在ABC中，AC4，以点C为圆心，2为半径的圆与边AB相

切于点D，与AC，BC分别交于点E和点F，点H是优弧EF上一点，EHF70，则BDF的度数是（）

A．35B．40C．55D．60

【变式2】（2023·浙江舟山·统考一模）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，ACB90，A25，过点C

作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则D的度数是（）

A．40B．50C．55D．65

【变式3】（2023·陕西·交大附中分校校考模拟预测）如图，在ABC中，ACB90，A30，BC8，

O的半径为3．O在ABC内平移（O可以沿边界移动），则点A到O上的点的距离最大值________．

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【变式4】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，PA，PB分别切O于点A，B，APB50，CD切O于

点E，交PA，PB于C，D两点，连接OC，OD，则COD_________．

【变式5】（2023·安徽亳州·校考模拟预测）如图，AB是O的弦，半径OEAB，垂足为G，点P在AB的

延长线上，PC与O相切于点C，连接CE，交AB于点F．

(1)若BEC30，OE8，求BC的长；

(2)求证：PCPF．

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核心考点四与切线的判定与性质有关的问题

例1（2022·重庆·统考中考真题）如图，AB是O的切线，B为切点，连接AO交O于点C，延长AO交

O于点D，连接BD．若AD，且AC3，则AB的长度是（）

A．3B．4C．33D．42

例2（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知AB为⊙O的直径且长为2r，C为⊙O上异于A，B的点，

1

若AD与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形AOC的顶角为120度，则CDr；

2

3

②若AOC为正三角形，则CDr；③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则CDr；④无论点C

2

在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为_________．

例314．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，ABC中，ABAC，D为AC上一点，以CD为直径的

O与AB相切于点E，交BC于点F，FGAB，垂足为G．

(1)求证：FG是O的切线；

(2)若BG1，BF3，求CF的长．

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【变式1】（重庆大渡口·统考二模）如图，已知等腰ABC，ABBC，以AB为直径的圆交AC于点D，过

点D的O的切线交BC于点E，若CD45,CE8，则O的半径是（）

915

A．B．5C．6D．

22

【变式2】（2022·河北邢台·统考二模）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），

以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线ABl将O以2cm/h的速度向右移动（点O始终在直线l上），

则O与直线AB相切时，时间为（）

A．3sB．3.5sC．3s或4sD．3s或3.5s

【变式3】（2021·浙江宁波·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，P是对角线BD上的动点，以BP

为直径作圆，BP的长为_______．

【变式4】（2022·内蒙古包头·校考三模）如图，A是O上一点，BC是O的直径，BA的延长线与O的

切线CD相交于点D，E为CD的中点，AE的延长线与BC的延长线交于点P．

下列结论：（1）AP是O的切线；（2）AOP60；（3）AP2CPBP；（4）若OCCP,AB23，则

43

CD的长为．其中正确的是___________．（填正确的序号）

3

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【变式5】（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交BC、AC

边于点D、F．过点D作DECF于点E

(1)求证：DE是O的切线；

(2)若O半径为5，且AFDE2，求EF的长．

核心考点五三角形的内切圆

例1（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心

I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（）

A．6B．7C．8D．9

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例2（2022·四川宜宾·统考中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小

正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正

方形的面积为______．

例3（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）已知：ABC．

(1)尺规作图：用直尺和圆规作出ABC内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）

(2)如果ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求ABC的面积．

1.三角形的内切圆

（1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交

点，叫作三角形的内心。

（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。

点拨：

abc

（1）设直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为c，则它的内切圆半径r；

2

（2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等；

1

（3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即abcr,其中r为

SABC2

ABC的内切圆半径，a,b,c分别为ABC的三边长。

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【变式1】（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，O与A90的Rt△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于

点D、E、F，若BE10，CF3，则O的半径为（）

A．5B．4C．3D．2

【变式2】（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，AB为O的直径，C为圆上一点，I为ABC的内心，AI

交O于D，OIAD于I，连接BD，则AB与BD的关系是（）

A．AB2BDB．AB2BDC．AB5BDD．AB3BD

【变式3】（2022·四川宜宾·模拟预测）如图，ABC中，AC8，A30，ABC50，点P为AB边

上任意一点，（P不与点B、C重合），I为△BPC的内心则：

（1）CP的最小值=___________；

（2）CIB的取值范围是___________．

【变式4】（2022·河北·一模）如图，三条笔直的小路a，b，c相交围成一个三角形公园ABC，在ABC的内

心I处修建了一个凉亭，过凉亭的小路d∥c，并分别与ABC的两边AB、AC相交于点D、E，DE150m，

小路c与d之间相距60m，如果从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最

小为_________m；若游人从B处出发，沿B→D→I→E→C的路线，到达C处，那么所走的这段路程长为

_________m．

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【变式5】（2023·四川绵阳·统考二模）如图，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆相交于

点D．

(1)求证：DEDB；

3

(2)已知DE6，tanDAC，求该圆的半径的长度；

4

(3)在（2）的条件下，若DF4，求cosODA的值．

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【新题速递】

1．（2023·江西吉安·校考模拟预测）设O的半径为r，若点P在直线a上，且OPr，则直线a与O的位

置关系为（）

A．相交B．相切C．相离D．相交或相切

2．（2023·湖北省直辖县级单位·校考模拟预测）如图，点A，B，C，D，E都是O上的点，ACAE，

B122，则D（）

A．58B．116C．122D．128

3．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）图中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD

切半圆O于点D，BCAD于点C，AB2，半圆O的半径为2，则BC的长为（）

A．2B．1C．1.5D．0.5

4．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，AC为O的弦，连接AO，OC．若

AOC，则B的度数为（）

11

A．2B．180C．180D．

22

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5．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）如图，点A是O中优弧BAD的中点，ABD70，C为

劣弧BD上一点，则BCD的度数是（）

A．120B．130C．140D．150

6．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，I是Rt△ABC的内切圆，ACB90，过点I作MN∥AB分别交CA，

CB于N，M，若BM3，AN4，则I的半径是（）

751412

A．B．C．D．

2255

7．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，O是ABC的外接圆，AB是直径，过点C的切线交AB的延长线

1

干点D，若tanBCD，AD8cm，则O的半径长为（）

2

35

A．2cmB．5cmC．3cmD．cm

2

8．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）如图，O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线

yx6上的一点，过点P作O的一条切线PQ，Q为切点，则S△PQO的最小值为（）

A．3B．42C．62D．22

第18页共22页.

9．（2023·福建福州·统考一模）已知ABC内接于⊙O，I是ABC的内心，若BICBOC，则BAC的

度数是_____．

10．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）如图所示，已知四边形ABCD是O的一个内接四边形，且BOD110，

则DCE_______．

11．（2023·上海·校考一模）如图，矩形ABCD中，AB8，AD6，以A为圆心，r为半径作A，使得

点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是______．

12．（2023·江西南昌·统考一模）已知点M2,0，M的半径为1，OA切M于点A，点P为M上的动

点，连接OP，AP，若POA是等腰三角形，则点P的坐标为_________．

13．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）如图，BC为ABC外接圆O的直径，点M为ABC的内心，连接AM

并延长交O于点D，①若ABC30，O的直径为4，则扇形AOC的面积为_____；

DM

②若ABC30，AC2，则_____．

AD

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25

14．（2022·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，锐角ABC中，BC45，sinA，BD