专题05 有理数的乘方及混合运算(含科学记数法)压轴题六种模型全攻略(解析版)

专题05有理数的乘方及混合运算(含科学记数法)压轴题六种模型全攻略

【考点导航】

目录

【典型例题】.......................................................................................................................................................1

【考点一有理数幂的概念理解】......................................................................................................................1

【考点二有理数的乘方运算】..........................................................................................................................2

【考点三用科学记数法表示绝对值大于1的数】.........................................................................................4

【考点四程序流程图与有理数计算】..............................................................................................................5

【考点五含乘方的有理数混合运算】..............................................................................................................6

【考点六乘方的应用】......................................................................................................................................7

【过关检测】.......................................................................................................................................................9

【典型例题】

【考点一有理数幂的概念理解】

例题：（2023·全国·七年级假期作业）若一个算式中，3是底数，4是指数，则这个算式是（）

43

A．34B．3C．43D．4

【答案】B

【分析】根据an中，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，去列式即可．

4

【详解】解：3是底数，4是指数，这个算式是3．

故选：B．

【点睛】本题考查了幂的构造，底数，指数，正确理解幂的意义是解题的关键．

【变式训练】

222

1．（2023·全国·七年级假期作业）算式可以表示为（）

333

33

22322

A．3B．C．D．

3333

【答案】C

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【分析】运用乘方的运算解题即可．

3

2222

【详解】解：=

3333

故选C．

【点睛】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键．

2．（2023·全国·七年级假期作业）式子(3)5表示()

A．3乘5B．5个3相乘C．3个5相乘D．3个5相加

【答案】B

【分析】根据乘方的含义：am表示m个a相乘，即可解答．

【详解】解：(3)5，表示5个3相乘．

故选：B．

【点睛】本题考查了有理数的乘方，充分理解乘方的含义即可，难度不大．

3

3．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）在（）4中，底数是．

8

3

【答案】

8

【分析】对于a2，其中a是底数，2是指数，由此解答即可.

33

【详解】在()4中，底数是.

88

3

故答案为：.

8

【点睛】本题考查了有理数乘方的定义.熟练掌握有理数乘方的有关概念是解答本题的关键.

【考点二有理数的乘方运算】

例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算：

32

(1)(2)3；(2)24；(3)

4

【答案】(1)8

(2)16

9

(3)

4

【分析】（1）根据乘方计算法则计算即可；

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（2）根据乘方法则计算；

（3）根据乘方法则计算．

【详解】（1）解：(2)3[(2)(2)(2)](8)8；

（2）24(2222)16；

32339

（3）．

444

【点睛】此题考查了有理数乘方计算法则：n个相同因数的乘法等于这个数的n次幂，同时可以逆用．

【变式训练】

1.（2023·浙江·七年级假期作业）计算：

23

(1)(5)4；(2)；(3)(0.3)3．

5

【答案】(1)625

8

(2)

5

(3)0.027

【分析】（1）(5)4表示4个5相乘，即可得出答案；

（2）先计算2的立方，即可得出答案；

（3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案．

【详解】（1）(5)4(5)(5)(5)(5)625；

232228

（2）；

555

（3）(0.3)3(0.3)(0.3)(0.3)(0.027)0.027．

【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键．

2.（2023·浙江·七年级假期作业）计算：

2

32123

(1)(3)；(2)(1.5)；(3)；(4)(3)；(5)(2)．

7

【答案】(1)27

(2)2.25

1

(3)

49

(4)9

(5)8

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【分析】根据有理数乘方运算法则逐个计算即可．

【详解】（1）(3)3(3)(3)(3)27；

（2）(1.5)2(1.5)(1.5)2.25；

2

1111

（3）；

77749

（4）(3)2(3)(3)9

（5）(2)3(2)(2)(2)8．

【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键．

【考点三用科学记数法表示绝对值大于1的数】

例题：（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为5923000牛．将

5923000用科学记数法表示应为．

【答案】5.923106

【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1a10，n为整数．确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正整

数；当原数的绝对值1时，n是负整数．

【详解】解：59230005.923106．

故答案为：5.923106．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1a10，n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

【变式训练】

1.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）2016年5月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会的

约有89000人，将89000用科学记数法表示为．

【答案】8.9´104

【分析】科学记数法的表现形式为a10n的形式，其中1a10，n为整数，确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n

是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．

【详解】解：890008.9104,

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故答案为：8.9´104．

【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．

2（.2022秋·山西忻州·七年级校考阶段练习）第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日

在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款约2500亿

元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数据2500亿用科学记数法表示为．

【答案】2.51011

【分析】科学记数法的表现形式为a10n的形式，其中1a10，n为整数，确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n

是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．

【详解】解：2500亿2500000000002.51011，

故答案为：2.51011．

【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．

【考点四程序流程图与有理数计算】

例题：（2023秋·山西太原·七年级校考期末）下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果

应为．

【答案】0

【分析】按照程序流程图，把a2代入求解即可．

【详解】解：由题意得，2240.5440.500.50，

故答案为：0．

【点睛】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．

【变式训练】

1.（2023·江苏·七年级假期作业）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为．

【答案】4

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【分析】根据程序流程图的流程，列出算式，进行计算即可．

【详解】解：输入的值为1时，由图可得：122420；

2

输入2可得：22440；

∴输出的值应为4；

故答案为：4．

【点睛】本题考查程序流程图．按照流程图的流程准确的列出算式，是解题的关键．

2.（2023·全国·七年级假期作业）按下图的程序计算，如果输入1，则输出的结果为．

【答案】5

【分析】把x=-1代入程序中计算，判断结果大于3，输出即可．

2

【详解】解：把x=1代入得：1542，

由于第一次所得结果不满足大于3的要求，所以再将x2输入，得：

22545，满足大于3的要求；

则输出结果是5，

故答案为：5．

【点睛】本题考查了程序框图和有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键．

【考点五含乘方的有理数混合运算】

31

例题：（2022秋·陕西西安·七年级西安市东方中学校考期末）计算：251115

5

【答案】5

【分析】按照先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法的运算顺序求解即可．

31

【详解】解：251115863=5．

5

【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

【变式训练】

12

1.（2023春·吉林松原·七年级统考期末）计算：1315327

4

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【答案】2

【分析】根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解．

121

【详解】解：1315327112531632．

44

【点睛】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．

5

2.（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算：12022(5)2()15．

3

【答案】22

【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可．

3

【详解】原式125()6115622．

5

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．

3.（2022秋·广东深圳·七年级校考阶段练习）混合运算：

21420134213

(1)24(1)．(2)12(3)．

4922

【答案】(1)7

17

(2)

3

【分析】（1）先算乘方，再算乘除法，最后算加减；

（2）先算乘方，再算除法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先

做绝对值内的运算．

1419

【详解】（1）解：224(1)20134411917；

4944

421312117

（2）解：12(3)12917．

222333

【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再

算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注

意乘法运算定律的应用．

【考点六乘方的应用】

例题：（2023·全国·七年级假期作业）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在

一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合

到第6次后可拉出几根面条？

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【答案】第6次后可拉出64根面条．

【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．

【详解】解：根据题意得：2664，

答：这样捏合到第6次后可拉出64根面条．

【点睛】此题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的意义．

【变式训练】

1（.2023·全国·七年级假期作业）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根

据此规律可得：

(1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？

(2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？

【答案】(1)16

(2)3

【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案；

（2）根据题意，得到规律，设经过n个30分钟得到64个细胞，列方程求解即可得到答案．

【详解】（1）解：经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成2416个细胞，

经过2小时后，可分裂成16个细胞；

（2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即21个细胞；

第2个30分钟分裂成4个，即22个；

…

依此类推，第n个30分钟分裂为2n个细胞；

\2n=64，解得n6，

经过6个30分钟，即3小时后可分裂成64个细胞．

【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键．

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【过关检测】

一、单选题

1．（2023·甘肃平凉·校考三模）22等于（）

11

A．B．C．4D．4

44

【答案】D

【分析】根据有理数的乘方法则，进行计算即可．

【详解】解：224；

故选D

【点睛】本题考查有理数的乘方运算．熟练掌握有理数的乘方法则，是解题的关键．

2．（2023·广东·统考中考真题）2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成

功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（）

A．0.186105B．1.86105C．18.6104D．186103

【答案】B

【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1a10，n为整数．确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，

n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．

【详解】解：将数据186000用科学记数法表示为1.86105；

故选B

【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．

3．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）下列各组数中互为相反数的是（）

1

A．1与(1)2B．2与C．2与2D．2与3

232

【答案】A

【分析】只有符号不同两个数互为相反数，化简判断．

【详解】A.(1)2=1，符合相反数的定义，本选项符合题意；

1

B.2与，不合题意；

2

C.2=2，不合题意；

D.32=9，-23=-8，不合题意；

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故选：A

【点睛】本题考查相反数的定义、乘方运算、绝对值的化简，理解相关定义是解题的关键．

2005

4．（2023春·黑龙江绥化·六年级校联考期末）已知4个数中：(1)，(1.5)，32，0，其中正数的个数

有（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【分析】利用乘方的意义计算出(1)20051和329，利用相反数的定义得到(1.5)1.5，从而得到正

数的个数．

2005

【详解】解：(1)1，(1.5)1.5，329，0，

所以正数为(1.5)．

故选：A．

【点睛】本题考查了有理数的分类，涉及乘方、化简多重符号等知识，熟练掌握相关的运算法则以及相关

概念是解题的关键．

5．（2023秋·广东中山·七年级校考期末）我们规定这样一种运算：a&babab1，例如：

2&3232313，那么3&2值为（）

A．14B．2C．4D．16

【答案】D

【分析】根据题意列式计算即可．

2

【详解】解：3&2332196116，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是理解题意，列出算式，准确计算．

6．（2023·浙江温州·校考二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数

量，即“结绳计数”．母亲甲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子1出生后的天数，

如图1所示，孩子1出生后的天数是173+372+271+470=508（天），母亲乙按照母亲甲的做法记录孩

子2出生后的天数，如图2所示，则孩子2出生后的天数比孩子1出生后的天数（）

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A．少41天B．少42天C．多41天D．多42天

【答案】A

【分析】根据已知算法求出孩子2出生后的天数，相减即可得到答案．

【详解】解：由已知算法可知，孩子2出生后的天数是173272371570467（天），

46750841（天），

孩子2出生后的天数比孩子1出生后的天数少41天，

故选A．

【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，理解题意，掌握“结绳计数”满七进一的计算方法是解题关键．

二、填空题

2

7．（2023春·上海宝山·六年级校考期中）底数是，指数是2的幂可写成．

5

2

2

【答案】

5

【分析】根据幂的书写规则即可求解．

2

【详解】解：底数为，指数为2，

5

2

2

得，

5

2

2

故答案为：．

5

【点睛】本题考查了幂的概念，关键是注意分数为底时，需要把底数加括号．

33

2223

8．（2023·全国·七年级假期作业）计算：；；．

333

888

【答案】

27273

【分析】根据有理数的乘方运算法则计算即可．

33

2828238

【详解】解：,;，

32732733

888

故答案为：①，②，③．

27273

【点睛】本题考查了有理数的乘方计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

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2

12023

9．（2023秋·重庆秀山·七年级统考期末）计算：151．

2

【答案】2

【分析】先算乘方，再乘除，最后加减，计算即可．

2

12023

【详解】解：151

2

1

41

4

11

2．

【点睛】本题考查了有理数的混合计算，解题的关键是掌握有理数的运算顺序，先算乘方，再乘除，最后

加减，如果有括号，先算括号里面的．

10．（2023春·上海闵行·六年级校联考期末）4月28日，铁路上海站迎来今年以来单日最高客流，共计发送

旅客55.8万人次，这个数据用科学记数法表示为人．

【答案】5.58105

【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变

成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【详解】解：55.8万5580005.58105，

故答案为：5.58105．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为

整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2

11．（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）若a2ab10，那么ba．

【答案】1

【分析】根据非负数的性质求型号a、b的值，再代入计算即可．

2

【详解】解：∵a2ab10

∴a20，ab10，

解得a2，b=-1，

2

所以ba11，

故答案为：1．

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【点睛】本题考查非负数的性质，掌握偶次方和绝对值的非负性是解决问题的关键．

12．（2023·江苏·七年级假期作业）根据如图的程序计算，若输入x的值为﹣1，则输出y的值为．

【答案】4

【详解】解：由图中的程序可得，

当x＝﹣1时，2x2﹣4＝2×（﹣1）2﹣4＝﹣2＜0，

当x＝﹣2时，2x2﹣4＝2×（﹣2）2﹣4＝4＞0，

故输出的y的值为4，

故答案为：4．

三、解答题

13．（2023·全国·九年级专题练习）计算：

3

341

(1)5；(2)(3)；(3)．

2

【答案】(1)125

(2)81

1

(3)

8

【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可．

【详解】（1）53555125；

（2）(3)4(3)(3)(3)(3)81；

3

11111

（3）．

22228

【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方运算法则的是解本题的关键．

14．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）计算：

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3

11311

(1)3；(2)(31)46．

4223

【答案】(1)6

(2)3

【分析】（1）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可；

（2）根据含乘方的有理数的混合运算法则、有理数乘法运算律计算即可．

3

11313

【详解】（1）解：386．

42484

31111

（2）解：(31)46(2)3466，

2323

84322323．

【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、有理数的乘法运算律等知识点，灵活运用运算法则是

解答本题的关键．

15．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）计算题，要求写出具体计算过程：

132

(1)324；(2)()()；

343

21777

(3)23(1)2；(4)(9)(18)；

33131313

21232212