四川省成都市青羊区成都市石室联合中学2023-2024学年八上期末数学试题（解析版）

石室联合中学教育集团2023-2024学年度上期八年级期末试题数学出题人：熊蓓王太平试卷说明：1．试题分为A卷（满分100分）和B卷（满分50分）2．考试时间为120分钟3．答案请做在答题卡上A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1.随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”，下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．【详解】解：A．标志既不是轴对称又不是中心对称图形，故选项不符合题意；B．标志既是轴对称又是中心对称图形，故选项符合题意；C．标志是轴对称但不是中心对称图形，故选项不符合题意；D．标志既不是轴对称又不是中心对称图形，故选项不符合题意．故选：B．2.在实数，，，，中，无理数的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】此题考查了无理数，求一个数的算术平方根，根据无理数的定义进行判断即可．【详解】解：在实数，，，，0中，无理数是，，共2个，故选：B3.下列是二元一次方程的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程”即可得，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．【详解】解：A、，是一元一次方程，不是二元一次方程，选项说法错误，不符合题意；B、，不是二元一次方程，选项说法错误，不符合题意；C、，不是二元一次方程，选项说法错误，不符合题意；D、，是二元一次方程，选项说法正确，符合题意；故选：D．4.甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，，则身高比较整齐的游泳队是（）．A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】C【解析】【分析】找出方差最小的游泳队即可．【详解】解：，，，，且，身高比较整齐的游泳队是丙游泳队，故选：C．【点睛】本题考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差的意义：方差越小，数据波动越小，越稳定．5.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．【详解】A.，故该选项不正确，不符合题意；B，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项正确，符合题意；D.，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．6.如图，在中，的垂直平分线交于点D，平分，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质和“等边对等角”可得，根据角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线定义和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】∵垂直平分，，．∵平分，，．故选：B7.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程，设绳索长x尺，竿长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺得，根据如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺得，即可得；根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺，故选：A．8.已知点在第四象限，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用第四象限点的坐标的特点得出一元一次不等式组，解出后得到答案．【详解】解：点在第四象限，解得．故答案选：B．【点睛】本题考查了象限内点的特点，一元一次不等式组，其中对象限内点的特点的理解是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共20分）9.若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．【答案】x≥1【解析】【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，∴x≥1，故答案为：x≥1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．10.在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________．【答案】【解析】【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是，故答案为：.【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．11.如图，在中，，将沿着射线平移m个单位长度，得到，若，则__________.【答案】6【解析】【分析】点B平移后的对应点为点E，因此求出的长度即可．【详解】解：由图可知，点B平移后的对应点为点E，，，，故答案为：6．【点睛】本题考查图形的平移，解题的关键是找出平移前后的对应点．12.如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的联系是解题关键．根据两条直线的交点坐标即可得．【详解】解：∵直线与直线相交于点，∴方程组的解是，故答案为：．13.如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点；④过点作交于点，若，则的度数是___________.【答案】##度【解析】【分析】根据作图可得，是的角平分线，则，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：根据作图可得，是的角平分线，则，∵，∴，∵∴，在中，，故答案为：°．【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（共48分）14.计算（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，（1）根据二次根式，零指数幂，绝对值，负整数指数幂依次计算各项，再从左往右依次进行计算即可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到”即可得；掌握实数的混合运算的运算法则和运算顺序，解一元一次不等式组是解题的关键．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式的解集为．15.如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．（1）画出关于x轴对称的（要求：A与，B与，C与相对应）；（2）将绕O点逆时针旋转后得到，请在图中画出旋转后的（要求；：A与，B与，C与相对应）；（3）求的面积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】本题考查了作图：作轴对称图形及旋转图形，割补法求图形面积；（1）：作三个顶点A、B、C关于x轴对称的对应点，，，依次连接这三个点即可；（2）作三个顶点A、B、C绕O点逆时针旋转对应点，，，依次连接这三个点即可；（3）正方形面积减去三个三角形面积即可得到的面积．【小问1详解】解：关于x轴对称图形如下：【小问2详解】解：绕点O逆时针旋转后的三角形如下图所示：【小问3详解】解：．16.某校组织全体1500名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读本书，活动结束后从各年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据得到的数据绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查的学生共有______人，并补全条形统计图；（2）求本次被调查学生读书数量的中位数为______，众数为______．（3）求被调查学生读书数量的平均数，并估计全校1500名学生共读书多少本？【答案】（1）200，见解析（2）2，2（3）本，估计全校1500名学生共读书本【解析】【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、中位数和众数、加权平均数、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．（1）根据读书数量为2本的条形统计图和扇形统计图可得本次调查的学生总人数，据此求出读书数量为4本的学生人数，补全条形统计图即可；（2）根据中位数和众数的定义求解即可得；（3）先利用加权平均数公式秋求出平均数，再利用全校学生总人数乘以样本的平均数即可得．【小问1详解】解：本次调查的学生总人数为（人），故答案为：200；读书数量为4本的学生人数为（人），补全条形统计图如下：．【小问2详解】解：将本次被调查学生读书数量按从小到大排序后，第100个数和第101个数的平均数为中位数，所以本次被调查学生读书数量的中位数为，因为本次被调查学生读书数量为2的人数最多，所以本次被调查学生读书数量的众数为2，故答案为：2，2．【小问3详解】解：被调查学生读书数量的平均数为（本），则（本），答：被调查学生读书数量的平均数为本，估计全校1500名学生共读书3450本．17.如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将沿直线对折，使点A和点B重合，直线与x轴交于点C，与交于点D．（1）求A，B两点的坐标：（2）求的长（3）设P是坐标轴上一动点，若使是直角三角形，直接写出点P的坐标（不需计算过程）【答案】（1）（2）（3）点P的坐标为或或【解析】【分析】（1）在中，分别令及，即求得A、B的坐标；（2）设，由题意得的长，在中，由勾股定理建立方程即可求解；（3）由（2）知得点C的坐标，可求得D的坐标，进而求出直线的解析式；当点P为直角顶点时，则P与O重合；当A为直角顶点时，则点P在y轴上，可求得直线的解析式，从而求得点的坐标；当B为直角顶点时，则点P在x轴上，同理可求得点的坐标，综合上述情况即可．【小问1详解】解：在中，令，得；令，得，∴；【小问2详解】解：∵，∴；设，则；由折叠性质得：，在中，由勾股定理得：，解得：，即；【小问3详解】解：由（2）知，点C的坐标为，由折叠知，点D为中点，∴D的坐标为；设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：，解得：，即直线的解析式为；当点P为直角顶点时，则P与O重合，此时坐标为；如图，当A为直角顶点时，则点P在y轴上，∵，∴设直线的解析式为，把点A坐标代入得，即直线的解析式为，∴点的坐标为；当B为直角顶点时，则点P在x轴上，∵，∴设直线的解析式为，把点B坐标代入得，即直线的解析式为，当时，，∴点的坐标为；综上，点P的坐标为或或．【点睛】本题是一次函数的综合，考查了一次函数图象与坐标轴的交点，求一次函数解析式，直角三角形，折叠的性质，勾股定理，两一次函数图象平行的性质等知识，涉及分类讨论思想．有一定的综合性与难度．18.（1）【问题】如下图，中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则线段，之间满足的数量关系式为______；直线，相交所夹的锐角的度数为______；（2）【探索】如图2，中，，，D为外一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长，交于点F．试问：（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）【应用】在（2）的条件下，，．求四边形的面积．【答案】（1），；（2）成立，证明见解析；（3）【解析】【分析】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质等知识，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．（1）先证出，再根据全等三角形的性质求解即可得；（2）先证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质求解即可得；（3）先求出，过点作于点，过点作于点，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：（1）∵在中，，，，，由旋转的性质得：，，，在和中，，，，，∴直线，相交所夹的锐角的度数为，故答案为：，；（2）（1）中的结论成立，证明如下：同理可得：，在和中，，，，，又，，解得，即直线，相交所夹的锐角的度数为；（3），∴，如图，过点作于点，过点作于点，，，，，，，，，在中，，即，解得（负值已舍），则，所以四边形的面积为．B卷（50分）一、填空题（每小题4分，共20分）19.比较大小：______．【答案】【解析】【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将化成，根据无理数的估算、二次根式的化简可得，由此即可得．【详解】解：，∵，，即，故答案为：．20.若方程组的解x，y满足，则m的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组及解一元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．首先解二元一次方程组，把x与y的值代入中，得到关于m的一元一次方程，即可求得m的值．【详解】解：得：，即，把代入①，得：，∴；∵方程组的解x，y满足，∴，解得：；故答案为：．21.已知，是一次函数的图象上两点，且，则m的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先判断出与异号，再根据一次函数的增减性求解即可得．【详解】解：∵，∴与异号，∴对于一次函数，随的增大而减小，∴，解得，故答案为：．22.如图，是等腰直角三角形，，D是边的中点，是边上一动点．设，，y关于x的函数图象过点，则该函数图象最低点的纵坐标是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理、轴对称的性质、函数值、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．连接，先求出，利用勾股定理求出，再作点关于的对称点，连接，从而可得该函数图象最低点的纵坐标是的长，然后利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，连接，∵，，关于的函数图象过点，即当时，，，∵是等腰直角三角形，，是边的中点，，，，设，则，，，解得，，，如图，作点关于的对称点，连接，则，，，，由两点之间线段最短可知，当点共线时，取最小值，最小值为，即该函数图象最低点的纵坐标是的长，在中，，所以该函数图象最低点的纵坐标是，故答案为：．23.如图，直线与坐标轴相交于点A，B，点，点P在线段上运动，连接．将沿翻折，使A点落在点处，若平行于坐标轴时，则______．【答案】的长为或2或10【解析】【分析】分三种情况：平行于y轴时，由平行线的性质及等腰三角形性质、对称性质即可求解；平行于x轴时，过点C作于N，设交y轴于点M；设，点，则可得，M的坐标，从而求得，再由折叠性质得，可得；由求得a与m的关系；再由勾股定理得，从而可求得m及a的值；当P靠近A且平行于x轴时，延长交y轴于点M，求法与上面平行x轴的求法类似．【详解】解：当平行于y轴时，如图，则，由折叠知：，，∴，∴，∴；对于，令，得；令，得；∴，∵，∴，∴；平行于x轴时，如图，过点C作于N，设交y轴于点M；设，点，则，则，，∴，；由折叠性质知：，∵，，∴；∵，∴，即；另一方面，，即，因，故；把代入中，得：，解得：（舍去），∴，即；当P靠近A且平行于x轴时，延长交y轴于点M，此时M位于点C上方，如图，设，点，则，则，，∴，；由折叠性质知：，，∴，即，∴，即；另一方面，，即，因，故；把代入中，得：，解得：（舍去），∴，即；综上，的长为或2或10．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质，等腰三角形的性质角平分线的性质，勾股定理，等积法，利用等积法是解题的关键与难点．二、解答题（共30分）24.为美化校园环境，石室联中计划分两次购进杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，每次购进的单价相同．（1）求杜鹃花、四季海棠每盆的价格分别是多少元？（2）若计划购买杜鹃花、四季海棠共500盆，根据实际摆放，要求杜鹃花的盆数不少于四季海棠盆数的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求方案所需费用．【答案】（1）杜鹃花每盆的价格是15元，四季海棠每盆的价格是10元（2）购买杜鹃花334盆，四季海棠166盆，费用最省，最省费用为6670元【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和熟练掌握一次函数的性质是解题关键．（1）设杜鹃花每盆的价格是元，四季海棠每盆的价格是元，根据两次花费建立方程组，解方程组即可得；（2）设购买杜鹃花盆，所需费用为元，则购买四季海棠盆，先求出关于的一次函数关系式，再求出的取值范围，利用一次函数的性质求解即可得．【小问1详解】解：设杜鹃花每盆的价格是元，四季海棠每盆的价格是元，由题意得：，解得，答：杜鹃花每盆价格是15元，四季海棠每盆的价格是10元．【小问2详解】解：设购买杜鹃花盆，所需费用为元，则购买四季海棠盆，由题意得：，∵要求杜鹃花的盆数不少于四季海棠盆数的2倍，，解得，由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大，又是正整数，当时，取最小值，最小值为，此时，答：购买杜鹃花334盆，四季海棠166盆，费用最省，最省费用为6670元．25.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，将直线沿y轴向上平移4个单位与直线l交于点A，与x轴交于点C．（1）求点A坐标；（2）点，连接AD，BD，求△ABD的面积；（3）点P为线段AB上一点，点Q为线段AC延长线上一点，且，连接PQ交x轴于点E，设点P的横坐标为m，四边形APEC的面积为S，求S与m的函数关系式（不需求自变量的取值范围）．【答案】（1）点A的坐标为（2）18（3）【解析】【分析】（1）由一次函数图象的平移可求得平移后的直线解析式，与直线l的解析式联立起来即可求得点A的坐标；（2）设直线l交y轴于点F，由割补法得，即可求得结果．（3）过点P作轴于F，过Q作于G，由判定，可得；再由证明，可得；设点P的坐标，则可得，由即可得到函数关系式．【小问1详解】解：直线沿y轴向上平移4个单位后的解析式为：，解方程组，得：，∴点A的坐标为；【小问2详解】解：设直线l交y轴于点F，如图，对于，令，得；令，得；即，，∴，；∵，∴∴，则；【小问3详解】解：如图，过点P作轴于F，过Q作于G，在中，令，得，∴，∴；∵