等数学补充知识

力学高等数学补充知识11/22一、微积分基础知识1.函数，导数与微分函数：自变量，因变量，定义域，对应法则，值域等；函数一些基本性质（如连续性，对称性，周期性，奇偶性等），（基本）初等函数等。导数：设函数y=f(x)当自变量在点x处有一增量△x时，函数y对应有一改变量△y=f(x+△x)-f(x)，则当△x趋于零时，若比值△y/△x极限存在（为一确定有限值），则这个极限为函数y=f(x)在点x处导数，记作：这时称函数y=f(x)在点x处是可导。22/22函数y=f(x)在x处导数f’(x)等于曲线y=f(x)在点x处切线斜率，即：

导数几何意义：在物理上，动点位置矢量对时间一阶导数就是该动点速度矢量；位置矢量对时间二阶导数（也是：速度矢量对时间一阶导数）是动点加速度矢量，详见运动学部分——速度矢量与加速度矢量。33/22注意：以下是易混同两个表示：和前者：只要是在上面加一点，都是对时间一阶导数，即：，当然加两点，则是对时间二阶导数，即：后者：永远是函数对自变量导数。如对于函数y=y(x)，则44/22若自变量有多个，则应该用偏导，是函数y=y(x,t)(同时又有x=x(t))对时间偏导。（注意：，对于多元函数，普通）。55/22基本求导公式：(1)(C)

=0，(2)(xm)

=m

xm-1，(3)(sinx)

=cosx，(4)(cosx)

=-sinx，(5)(tanx)

=sec2x，(6)(cotx)

=-csc2x，(7)(secx)

=secxtanx，(8)(cscx)

=-cscxcotx，(9)(ax)

=ax

lna，(10)(ex)

=ex，，66/22函数和、差、积、商求导法则：(1)(u

v)

=u

v

，(2)(Cu)

=Cu

(C是常数)，(3)(uv)

=u

v+u

v

，复合函数求导法则：

反函数求导法：求导法则77/22复合函数求导法则：

解：函数y=lntanx是由y=lnu，u=tanx复合而成，

例1y=lntanx

，求dxdy。

88/22

例2y=3xe，求dxdy。

99/22

例3212sinxxy+=，求dxdy。

1010/22函数y=y(x)微分存在充分必要条件是：函数存在有限导数y’=f’(x)，这时函数微分是：微分：若函数y=y(x)改变量可表示为：式中dx=△x，则此改变量线性主部A(x)dx称为函数y微分，记作：1111/222.不定积分不定积分：对函数y=y(x)，假如在给定区间[a,b]上有则其逆运算就是求G(x)不定积分（即：求G(x)原函数）：上式中能够看出：G(x)（被积函数）原函数为y(x)+C，不止一个。其中，C为积分常数。1212/223.定积分由上面不定积分,再加上一定初始条件，被积函数原函数就是唯一确定。几何意义：由y=f(x)函数曲线，初始条件表示直线，x轴所围成曲边梯形面积。牛顿——莱布尼兹公式（Newton-Leibnizformula）：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，或分段连续，则y=f(x)在[a,b]上有原函数，设F(x)是f(x)在[a,b]上一个原函数，则(定积分与不定积分内在联络)1313/22基本积分表

k

x

C(k是常数)，

arctanx

C，

arcsinx

C，

ln|x|

C，

sinx

C，

cosx

C，1414/22基本积分表1515/22不定积分性质

性质1函数和不定积分等各个函数不定积分和，即

性质2求不定积分时，被积函数中不为零常数因子能够提到积分号外面来，即1616/22例4例51717/22

arctanx

ln|x|

C．例6例7例8定积分1818/22三、矢量分析基础(因为物理学研究需要而产生了矢量)1.矢量定义：含有一定大小和方向，且加法遵从平行四边形法则量。矢量表示：2.矢量加法、减法：矢量加法应满足平行四边形法则，而减法是加法逆运算，可用三角形法则；如图所表示。普通计算矢量加法、减法时，对各分量分别相加减：1919/223.矢量数乘

以实数

乘以矢量称为矢量数乘，记作，显然有：实数只是一个系数，矢量数乘能够看作是把原矢量模伸缩为原来倍。方向为：时，与方向不变；时，与方向相反。4.矢量正交分解

把矢量分解成沿着几个正交单位矢量方向上分矢量，各分矢量按照平行四边形法则，又可合成原矢量。2020/225.矢量标积和矢积

已知两矢量和，夹角记作：，则：（1）矢量标积（又称：数量积、点乘、点积、内积）：（结果为标量）（2）矢量矢积（又称：叉乘、叉积、外积）：∴矢积结果为矢量；大小为以A、B为边平行四边形面积：2121/226.矢量对t导数对矢量函数（简称矢函数），假如极限：存在，就称它为矢函数导数，