2014-11-Lévy噪声下分数阶卡尔曼滤波

汇报人：武小鹏专业：控制理论与控制工程时间：2014.11Lévy噪声下分数阶卡尔曼滤波目录1/201、分数阶理论简介分数阶Grünwald-Letnikov差分方程定义式中Δ表示分数阶算子，表示分数阶阶次向量，下标k表示第k时刻，h表示采样时间，对于离散系统，取h=1，2/201、分数阶理论简介给出以下整数阶线性离散系统模型

式中，x是状态向量，y是量测输出向量，下标k表示第k时刻，u是控制输入向量，A,B和C是适当维数已知矩阵，w和v分别表示系统噪声和量测噪声，这里都是高斯白噪声并且协方差矩阵分别为把上面模型状态量的阶次由整数变成分数分数阶线性离散系统模型3/202、分数阶卡尔曼滤波算法卡尔曼滤波是一种递推回归方法，它的基本思想是根据新量测的数据和由前面一步量测数据计算而得的估计值，再来推算出新的估计值，即新估计值＝旧估计值十修正值其本质是求出k+1时刻状态量真值的最优估计值，估计的准则是以状态量的估计误差协方差最小为目标，即考虑分数阶线性离散系统模型→4/202、分数阶卡尔曼滤波算法给定分数阶线性离散系统模型定义1：K时刻状态估计值与状态估计误差协方差

(是k时刻及k时刻之前所有控制量和量测量的累计值

)定义2：K时刻状态预测值与状态预测误差协方差

5/202、分数阶卡尔曼滤波算法(1)、k+1时刻状态预测值表达式(2)、k时刻状态估计值表达式(3)、k时刻卡尔曼滤波增益矩阵分数阶卡尔曼滤波算法包含五大核心公式：6/202、分数阶卡尔曼滤波算法(4)、k+1时刻状态预测误差协方差矩阵(5)、k时刻状态估计误差协方差矩阵分数阶卡尔曼滤波算法图7/202、分数阶卡尔曼滤波算法例1：高斯白噪声下分数阶卡尔曼滤波算法举例状态量X(1)的真实值和估计值状态量X(2)的真实值和估计值8/203、Lévy噪声简介

Lévy过程源于法国数学家保罗·皮埃尔·菜维，是连续时间上的一种拥有独立稳定增量的左极限右连续(Càdlàg)的随机过程。性质：1、独立增量设X(t)是一个连续时间上的随机过程。也就是说，对于任何固定的t≥0，X(t)是一个随机变量。过程的增量为差值X(s)−X(t)(任意的时间t

<

s)。独立增量意味着对于任何时间s

>

t

>

u

>

v，X(s)−X(t)和X(u)−X(v)相独立。2、稳定增量

如果增量X(s)−X(t)的分布只依赖于时间间隔s−t，则称增量是稳定的。3、可分性

Lévy过程与无限可分分布有关：

a、增量的分布是无穷可分的。即对任意给定的n，X(t)的分布可以表示为n个与X(t)/n同分布的随机变量的和的分布。

b、反之，对于每个无穷可分的分布，可以构造出一个与之对应的Lévy过程。Lévy过程的一个例子：Brown运动9/203、Lévy噪声简介Brown运动平面图Brown运动立体图Brown运动:看起来连成一片的液体，在高倍显微镜下看其实是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地随机撞击悬浮微粒。当悬浮的微粒足够小的时候，由于受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用超强的时候，致使微粒又向其它方向运动，这样，就引起了微粒的无规则的运动就是布朗运动。例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。

10/203、Lévy噪声简介Lévy

噪声高斯白噪声11/204、Lévy噪声下分数阶卡尔曼滤波考虑Lévy噪声下分数阶线性离散系统模型式中，系统噪声w和量测噪声v均为非高斯Lévy噪声。对Lévy噪声的处理有两种方法：方法一：对状态向量和量测向量进行处理。12/204、Lévy噪声下分数阶卡尔曼滤波Lévy噪声下分数阶卡尔曼滤波算法五大核心公式：13/204、Lévy噪声下分数阶卡尔曼滤波Lévy噪声下分数阶卡尔曼滤波算法图14/204、Lévy噪声下分数阶卡尔曼滤波例2：非高斯Lévy噪声下分数阶卡尔曼滤波算法举例状态量X(1)的真实值和估计值状态量X(2)的真实值和估计值15/20方法二：对系统噪声和量测输出噪声进行处理。4、Lévy噪声下分数阶卡尔曼滤波Lévy

噪声新分数阶线性离散系统模型新模型下分数阶卡尔曼滤波算法五大核心公式：16/204、Lévy噪声下分数阶卡尔曼滤波上式中新模型下分数阶卡尔曼滤波算法图17/204、Lévy噪声下分数阶卡尔曼滤波例3：非高斯Lévy噪声下分数阶卡尔曼滤波算法举例状态量X(1)的真实值和估计值状态量X(2)的真实值和估计值18/205、结论和展望结论：本文分析了两种非高斯Lévy噪声的近似处理方法，并推导出两种滤波算法，仿真结果表明这两种近似处理方法和滤波算法都是可行的。展望：

(1)、连续系统的分数阶卡尔曼滤波。

(2)、Lév