中考数学二轮复习冲刺第16讲正多边形与圆（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（解析版）

第16讲正多边形与圆（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【考纲要求】了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识导图】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径.）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆.

(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.

（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB；（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB.··OAB·ABOm·ABOm要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】题型一、正多边形有关计算 例1．如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O与弧AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（） A.4 B.QUOTEC.QUOTE D.5【思路点拨】首先求得弧AE的长，然后利用弧AE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE的长加上半径即为AD的长．【答案】D；【解析】解：∵AB=4，∠B=90°，∴，∵圆锥的底面圆恰好是⊙O，∴⊙O的周长为2π，∴⊙O的半径为1QUOTE，∴AD=BC=BE+EC=4+QUOTE1=QUOTE5.故选D．【总结升华】本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式.【变式1】如图，两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.【答案】解：连结OA、OB、OC，设OA′交AB于K，OE′交CD于H，∵∠AOK=∠AOC-∠KOC=120°-∠KOC，∠COH=120°-∠KOC，∴∠AOK=∠COH，又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，∴△AOK≌△COH，由△AOK≌△COH，得S五边形OKBCH=S四边形ABCO=2S△OBC，∴S阴影=S正六边形ABCDEF-S五边形OKBCH′=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC.S五边形OKBCH：S阴影=.即重叠部分面积与阴影部分面积之比为：.【变式2】已知：正十边形的半径是R，求证：它的边长为.【答案】证明：作∠OAB的平分线AM交OB于M，则∠O=∠OAM=36°，∠AMB=∠B=72°，∴OM=MA=AB，则△ABM∽△OAB得：用R，a10分别表示OA，AB，BM，代入以上比例式整理得a102+Ra10-R2=0,解关于a10的一元二次方程得（负值已舍去）.题型二、正多边形与圆综合运用例2．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．【思路点拨】（1）利用已知得出正八边形，它的内角都为135°，再利用正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，得出∠2+∠3=180°，进而得出答案；（2）根据题意得出△PAH≌△QCB≌△MDE，则PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形，进而求出PQ的长即可得出答案．【答案与解析】解：（1）连接BF，则有BF∥AG．理由如下：∵ABCDEFGH是正八边形，∴它的内角都为135°．又∵HA=HG，∴∠1=22.5°，从而∠2=135°﹣∠1=112.5°．由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，∴即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．（2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°，∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，∴四边形PQMN是矩形．又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，∴△PAH≌△QCB≌△MDE，∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形．在Rt△PAH中，∵∠PAH=45°，AH=2，∴PA=∴．故．【总结升华】此题主要考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定与性质等知识，得出PQ的长是解题关键．【变式】如图所示，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是()A．B．C．D．【答案】连接AD，则AD⊥BC，阴影部分面积．故．答案：B例3．如图，已知在⊙O中，，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请你出这个圆锥的底面圆的半径．【思路点拨】（1）阴影部分是一个扇形，扇形圆心角∠BOD＝2∠BOC＝2×2×30°＝120°，只需通过解直角三角形求出OB的长，即可利用扇形面积求出阴影部分面积．（2）扇形弧长是圆锥的底面周长，由条件求出的长l，利用可求出半径r的长．【答案与解析】解：(1)过O作OE⊥AB于E，则．在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，．∴．又∵OA＝OB，∴∠ABO＝30°．∴∠BOC＝60°．∵AC⊥BD，∴．∴∠COD＝∠BOC＝60°．∴∠BOD＝120°．∴．(2)设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴．∴．【总结升华】用扇形围成圆锥，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥的底面周长.【中考过关真题练】一．选择题（共7小题）1．（2022•安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OAnBn∁nDnEn，当n＝2022时，正六边形OAnBn∁nDnEn的顶点Dn的坐标是（）A．（﹣，﹣3） B．（﹣3，﹣） C．（3，﹣） D．（﹣，3）【分析】由题意旋转8次应该循环，因为2022÷8＝252…6，所以Dn的坐标与D6的坐标相同．【解答】解：由题意旋转8次应该循环，∵2022÷8＝252…6，∴Dn的坐标与D6的坐标相同，如图，过点D6H⊥OE于点H，∵∠DOD6＝90°，∠DOE＝30°，OD＝OD6＝2，∴OH＝OD6•cos60°＝，HD6＝OH＝3，∴D6（﹣，﹣3），∴顶点Dn的坐标是（﹣，﹣3），故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆，坐标与图形变化﹣性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．2．（2022•安顺）如图，边长为的正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（）A．5﹣π B．5﹣ C．﹣ D．﹣【分析】连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD＝90°，根据切线的性质得到∠PAO＝∠PDO＝90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE＝3，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．【解答】解：连接AC，OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴AC是⊙O的直径，∠AOD＝90°，∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，∴∠PAO＝∠PDO＝90°，∴四边形AODP是矩形，∵OA＝OD，∴矩形AODP是正方形，∴∠P＝90°，AP＝AO，AC∥PE，∴∠E＝∠ACB＝45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∵AB＝，∴AC＝2AO＝2，DE＝CD＝2，∴AP＝PD＝AO＝1，∴PE＝3，∴图中阴影部分的面积＝（AC+PE）•AP﹣AO2•π＝（2+3）×1﹣×12•π＝（5﹣π）＝﹣，故选：C．【点评】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（）A．（2﹣2，3） B．（0，1+2） C．（2﹣，3） D．（2﹣2，2+）【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．【解答】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，∴点C的横坐标为﹣（2﹣2）＝2﹣2，纵坐标为1+2＝3，∴点C的坐标为（2﹣2，3），故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．4．（2022•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（）A．30° B．36° C．45° D．60°【分析】由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理求出∠CME＝60°．【解答】解：连接OC，OD，OE，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝∠DOE＝60°，∴∠COE＝2∠COD＝120°，∴∠CME＝∠COE＝60°，故选：D．【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠COM＝120°是解决问题的关键．5．（2022•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．4， B．3，π C．2， D．3，2π【分析】连接OB、OC，根据正六边形的性质求出∠BOC，根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，根据垂径定理求出BM，根据勾股定理求出OM，根据弧长公式求出的长．【解答】解：连接OB、OC，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴BC＝OB＝6，∵OM⊥BC，∴BM＝BC＝3，∴OM＝＝＝3，的长为：＝2π，故选：D．【点评】本题考查的是正多边形和圆、弧长的计算，正确求出正六边形的中心角是解题的关键．6．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（）A．3 B． C． D．3【分析】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD＝60°，进而可求出∠COG＝30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OG的长．【解答】解：连接OC，OD，∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周长等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故选：C．【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．7．（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A． B． C．3 D．2【分析】连接OB、OC，根据⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径OB＝OC＝3，而六边形ABCDEF是正六边形，即知∠BOC＝＝60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长为3．【解答】解：连接OB、OC，如图：∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径OB＝OC＝＝3，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，即正六边形的边长为3，故选：C．【点评】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于60°，从而得到△BOC是等边三角形．二．填空题（共6小题）8．（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为54厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．【点评】本题考查等边三角形的性质，正多边形与圆，理解图形的对称性以及等边三角形的判定是解决问题的前提．9．（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝30度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查了正多边形与圆，根据tan∠ACF＝＝＝得出∠ACF＝30°是解题的关键．10．（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．【点评】本题考查正多边形与圆，扇形面积，弧长及圆周长，掌握扇形面积、弧长、圆周长的计算方法是正确解决问题的关键．11．（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为12度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．【点评】本题主要考查正多边形与圆，会求正多边形的中心角是解题关键．12．（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA＝1，则，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了正多边形与圆，正确运用扇形面积公式是解题的关键．13．（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是4．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，解法二：利用对称性，DN＝AM＝2，由M向下作垂线，利用勾股定理求解，可得结论．故答案为：4．【点评】本题考查了正多边形和圆，掌握正六边形的特点，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．三．解答题（共1小题）14．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1．作直径AF．2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3．连接AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度数．（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．（3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．【分析】（1）根据正五边形内角和，可以计算出∠ABC的度数；（2）先判断，然后根据题意和图形说明理由即可；（3）根据题意和（2）中的结果，计算出∠NOD的度数，然后即可计算出n的值．【解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝＝108°，即∠ABC＝108°；（2）△AMN是正三角形，理由：连接ON，NF，如图，由题意可得：FN＝ON＝OF，∴△FON是等边三角形，∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°，同理可得：∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形；（3）连接OD，如图，∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°，∵∠AOD＝＝144°，∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，∵360°÷24°＝15，∴n的值是15．【点评】本题考查正多边形和圆、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【中考挑战满分模拟练】一．填空题（共6小题）1．（2023•抚州一模）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有10．【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4＝10个．故答案为：10．【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．2．（2023•琼山区一模）一个正n边形的中心角为36°，则它的一个内角的度数为144°．【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数，再利用公式（n﹣2）×180°÷n计算即可．【解答】解：由题意可得：边数为360°÷36°＝10，一个内角的度数为：（10﹣2）×180°÷10＝144°．故答案为：144°．【点评】本题考查正多边形的内角度数，根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题是关键．3．（2023•汉阳区校级一模）线段AB是圆内接正十二边形的一条边，则AB边所对的圆周角是15°或165°．【分析】求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．【解答】解：圆内接正十二边形的边所对的圆心角360°÷12＝30°和360°﹣30°＝330°，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，AB所对的圆周角的度数是15°或165°，故答案为15°或165．【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，属于基础题，要注意分两种情况讨论．4．（2023•雁塔区校级模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．若该正六边形的边长为5，则⊙O的面积等于25π．【分析】连接OB，OC，易证△OBC是等边三角形，由等边三角形的性质可得⊙O的半径．【解答】解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝5，∴⊙O的面积＝25π．故答案为：25π．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．5．（2023•泸县校级模拟）已知⊙O的半径为1，则它的内接正三角形边心距为．【分析】首先根据题意画出图形，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，由含30°角的直角三角形的性质得出OD即可．【解答】解：如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB＝90°，∵∠BOC＝×360°＝120°，∵OB＝OC＝1，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴OD＝OB＝，故答案为：．【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．6．（2023•定远县校级一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为144°．【分析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．【解答】解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠E＝∠D＝108°，连接OA、OC，∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，故答案为：144°．【点评】本题考查了正五边形的内角和、内角的度数、切线的性质，本题的五边形内角可通过外角来求：180°﹣360°÷5＝108°．【名校自招练】一．选择题（共9小题）1．（2017•双流区校级自主招生）如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，4） B．（45°，4） C．（60°，2） D．（50°，2）【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD＝OA，∠AOD＝60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．【解答】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，∵∠ADO＝360°÷6＝60°，OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD＝OA＝2，∠AOD＝60°，∴OC＝2OD＝2×2＝4，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°，4）．故选：A．【点评】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．2．（2018•蔡甸区校级自主招生）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A． B． C． D．【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．【解答】解：如图1，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；如图2，∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝；如图3，∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝，则该三角形的三边分别为：1，，，∵（1）2+（）2＝（）2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是：×1×＝．故选：A．【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．3．（2019•顺庆区校级自主招生）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（）A．50 B．40 C． D．100【分析】连接OA、OB、ON，设OG＝x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得到答案．【解答】解：如图所示：设圆心为O，GH与AB交点为P，连接OA、OB、ON，∵PG垂直平分NF，OA＝OB＝ON，∴O在PG上，AP＝PB＝AB＝2.5，设OG＝x，则OP＝PG﹣OG＝10﹣x，在Rt△APO中，OA2＝AP2+OP2在Rt△NGO中，ON2＝NG2+OG2∴AP2+OP2＝NG2+OG2∴2.52+（10﹣x）2＝52+x2解得：x＝，则ON＝＝，∴圆形硬纸板的最小直径为，故选：C．【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正方形的性质、勾股定理、垂径定理是解题的关键．4．（2020•和平区校级自主招生）如图是边长为2的正方形及其内切圆和外接圆，则图中阴影部分的总面积为（）A．3π﹣4 B．π+4 C．5π﹣4 D．3π+4【分析】阴影部分的面积＝大圆面积减去正方形面积+小圆面积．【解答】解：阴影部分的面积＝大圆面积减去正方形面积+小圆面积＝π•（）2﹣4+π•12＝3π﹣4，故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，圆的面积等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．5．（2021•和平区校级自主招生）我国魏晋时期数学家刘徽在公元263年撰写的《九章算术》中提出了一种估计π的方法，也就是“割圆术”：用圆内接正6n边形的周长估计圆的周长进而估计π的近似值，且n越大时圆内接正6n边形的周长越接近圆的周长，估计值越接近π．当n＝1时，如图，用这种方法估计此时π的近似值为（）A．3 B．3.1 C．3.14 D．3.141【分析】连接OC、OD，根据正六边形的性质得到∠COD＝60°，得到△COD是等边三角形，得到OC＝CD，根据题意计算即可．【解答】解：连接OC、OD，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝60°，又OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴OC＝CD，正六边形的周长：圆的直径＝6CD：2CD＝3，故选：A．【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．6．（2019•汉阳区校级自主招生）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为40mm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：mm）（）A．80 B．40 C．25 D．100【分析】连接OA、OB、ON，设OG＝x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得到答案．【解答】解：如图所示：设圆心为O，GH与AB交点为P，连接OA、OB、ON，∵PG垂直平分NF，OA＝OB＝ON，∴O在PG上，AP＝PB＝AB＝20，设OG＝x，则OP＝PG﹣OG＝80﹣x，在Rt△APO中，OA2＝AP2+OP2在Rt△NGO中，ON2＝NG2+OG2∴AP2+OP2＝NG2+OG2∴202+（80﹣x）2＝402+x2解得：x＝，则ON＝＝，∴圆形硬纸板的最小直径为25，故选：C．【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正方形的性质、勾股定理、垂径定理是解题的关键．7．（2018•青羊区校级自主招生）将正多边形ABCDEF放入直角坐标系中，顶点B，D，E的坐标分别为（n，m），（﹣n，m），（a，b），则点A的坐标可以为（）A．（﹣m，﹣n） B．（m，﹣n） C．（﹣a，b） D．（﹣b，﹣a）【分析】根据正六边形的性质，对称性解决问题即可．【解答】解：∵正多边形ABCDEF中，AB∥DE，AB＝DE，∵B，D，E的坐标分别为（n，m），（﹣n，m），（a，b），∴B，D关于x轴对称，∴A，E关于x轴对称，∴A（﹣a，b），故选：C．【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（2017•平阳县自主招生）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为（）A． B． C． D．2【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF＝r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF＝60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出EF：GH的值是多少即可．【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，设⊙O的半径是r，则OF＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，∵OA＝OF，∴∠OFA＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r•sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r，∵AO＝2OI，∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，∴＝＝，∴GH＝BD＝r，∴＝＝．故选：C．【点评】此题主要考查了正多边形与圆的关系、相似三角形的判断和性质以及特殊角的锐角三角函数值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念．9．（2020•温江区校级自主招生）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣“，早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术“，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积．如图，连接⊙O的内接正十二边形顶点得到AB，BC，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．2 B．2 C．π D．【分析】根据已知条件得到∠AOE＝＝30°，求得∠OAE＝∠OEA＝75°，∠AOB＝90°，得到AB＝2，过E作EH⊥AB于H，EG⊥OF于G，解直角三角形得到FG＝2﹣，EH＝AE＝，根据梯形的面积公式即可得到结论．【解答】解：如图，∵正十二边形，∴∠AOE＝＝30°，∴∠OAE＝∠OEA＝75°，∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝2，∴AB＝2，过E作EH⊥AB于H，EG⊥OF于G，∴∠OEG＝60°，∴，∴FG＝2﹣，∴EF＝AE＝＝2，∵∠EAH＝30°，∴EH＝AE＝，∵S四边形AEFB＝（EF+AB）•EH＝（2+2）＝1，∴阴影部分的面积为2S四边形AEFB＝2，方法二：，∵正十二边形，∴∠AOE＝＝30°，∴∠OAE＝∠OEA＝75°，∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝2，∴AB＝2，过E作EH⊥AB于H，EG⊥OF于G，∴∠OEG＝60°，∴，∴△EOF的面积为1，∴△AOE的面积＝△BOF的面积＝1，∴一个阴影部分面积为3﹣△AOB的面积＝1．故选：B．【点评】本题考查了正多边形与圆，梯形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．二．填空题（共8小题）10．（2019•宝山区校级自主招生）如图，ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为．【分析】直接利用圆环面积求法进而得出答案．【解答】解：正五边形的内切圆与外接圆所围圆环的面积为：π（OA2﹣OH2）＝π×AH2＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握圆的面积求法是解题关键．11．（2017•双流区校级自主招生）一个半径为1cm的圆，在边长为6cm的正六边形内任意挪动（圆可以与正六边形的边相切），则圆在正六边形内不能达到的部分的面积为2﹣πcm2．【分析】小圆不能达到的是每个顶点出的六小块，每小块的面积等于四边形的面积，即两个全等的直角三角形的面积的和，减去圆的面积的，据此即可求解．【解答】解：如图，小圆不能达到的是每个顶点出的六小块，每小块的面积是2S△OAM﹣S圆O＝×1﹣π＝．故六小块的面积的和是2﹣π．故答案是：2﹣π．【点评】本题主要考查了正多边形的计算，正确理解小圆不能到达的部分是每个顶点出的六小块，是解决本题的关键．12．（2021•黄州区校级自主招生）如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为2，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于1．【分析】设AD与BE交于点R，AC与BD交于点H，AD与CE交于点J，连接RQ，证明四边形APQR为菱形，再由菱形的性质可得出△APR与△PQR面积相等，由SSS证得△HPQ≌△JRQ，由五角星的性质得出△APR≌△BHP≌△CQH≌△DJQ≌△ERJ，设△APR的面积为S1，△HPQ的面积为S2，则2＝6S1+2S2，进而可得出SAPQD＝3S1+S2＝1，即可得出结果．【解答】解：设AD与BE交于点R，AC与BD交于点H，AD与CE交于点J，连接RQ，如图所示：∵由五角星的性质可知：△APR≌△BHP≌△CQH≌△DJQ≌△ERJ，AP＝AR，JR＝JQ＝HQ＝HP，AR＝CQ，∴RQ∥AC，同理：PQ∥AD，∴四边形APQR为平行四边形，∵AP＝AR，∴四边形APQR为菱形，∴△APR与△PQR面积相等，PQ＝RQ，在△HPQ和△JRQ中，，∴△HPQ≌△JRQ（SSS），∴△HPQ和△JRQ的面积相等，设△APR的面积为S1，△HPQ的面积为S2，则2＝6S1+2S2，∴SAPQD＝3S1+S2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了正多边形和圆、五角星的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；解答此题的关键是由五角星的性质得出△APR≌△BHP≌△CQH≌△DJQ≌△ERJ，四边形APQR为平行四边形，再证明△HPQ≌△JRQ．13．（2020•洪山区校级自主招生）如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG（图中阴影部分）的面积为6，则五边形ABDEF的面积为15．【分析】连接GC并延长交BD于点H，连接AE，根据正六边形和等边三角形的性质可得，△BCG≌△DCG，△GBC≌△DBC，所以得S△BCG＝S△DCG＝S△BCD＝2，S△AEF＝3，进而可得五边形ABDEF的面积．【解答】解：如图，连接GC并延长交BD于点H，连接AE，∵ABCDEF正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，∠F＝∠FAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝120°，∴∠CBD＝∠CDB＝30°∵△BDG是等边三角形，∴BG＝DG＝BD，∠GBD＝∠GDB＝60°，又CG＝CG，∴△BCG≌△DCG（SSS），∵∠GBC＝∠DBC＝60°﹣30°＝30°，∴△GBC≌△DBC（SAS），∴S△BCG＝S△DCG＝S△BCD＝3，∴S△AEF＝3，设CH＝x，则BC＝CG＝2x，BH＝x，∴BD＝2x，∴CG•BH＝3，即×2x×x＝3，∴x2