安徽省黄山市徽州一中2025届高三第四次模拟考试数学试卷含解析

安徽省黄山市徽州一中2025届高三第四次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，其右焦点F的坐标为(c,0)，点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点，O为坐标原点，满足|OA|=A．2 B．2 C．2332．设全集，集合，，则集合（）A． B． C． D．3．数列满足：，，，为其前n项和，则（）A．0 B．1 C．3 D．44．一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（）A． B． C． D．5．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．6．关于函数，下列说法正确的是（）A．函数的定义域为B．函数一个递增区间为C．函数的图像关于直线对称D．将函数图像向左平移个单位可得函数的图像7．一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去件可赚元，乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（）A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件8．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，（其中e是自然对数的底数），若，则实数a的值为()A． B．3 C． D．9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．240 B．264 C．274 D．28210．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门｡该款软件主要设有“阅读文章”､“视听学习”两个学习模块和“每日答题”､“每周答题”､“专项答题”､“挑战答题”四个答题模块｡某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（）A．60 B．192 C．240 D．43211．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为()A． B． C．4 D．212．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设第一象限内的点(x，y)满足约束条件,若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为40，则＋的最小值为_____.14．的角所对的边分别为，且，，若，则的值为__________.15．已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____16．已知向量，满足，，且已知向量，的夹角为，，则的最小值是__．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，长为3的线段的两端点分别在轴、轴上滑动，点为线段上的点，且满足.记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点为曲线上的两个动点，记，判断是否存在常数使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数的值和这个定值；若不存在，请说明理由.18．（12分）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）；（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.参考数据：.19．（12分）在直角坐标系中，曲线的标准方程为.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，点在直线上，求的最小值.20．（12分）分别为的内角的对边.已知.（1）若，求；（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.21．（12分）已知函数，设的最小值为m.（1）求m的值；（2）是否存在实数a，b，使得，？并说明理由.22．（10分）已知集合，，，将的所有子集任意排列，得到一个有序集合组，其中.记集合中元素的个数为，，，规定空集中元素的个数为.当时，求的值；利用数学归纳法证明：不论为何值，总存在有序集合组，满足任意，，都有.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

计算得到Ac,bca【详解】双曲线的一条渐近线方程为y=bax，A故Ac,bca，Fc,0，故Mc,故选：C.【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2、C【解析】∵集合，，∴点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.3、D【解析】

用去换中的n，得，相加即可找到数列的周期，再利用计算.【详解】由已知，①，所以②，①+②，得，从而，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故选：D.【点睛】本题考查周期数列的应用，在求时，先算出一个周期的和即，再将表示成即可，本题是一道中档题.4、B【解析】

计算出样本在的数据个数，再减去样本在的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在的数据个数为，样本在的数据个数为，因此，样本在、内的数据个数为.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5、A【解析】

利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【详解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.6、B【解析】

化简到，根据定义域排除，计算单调性知正确，得到答案.【详解】，故函数的定义域为，故错误；当时，，函数单调递增，故正确；当，关于的对称的直线为不在定义域内，故错误.平移得到的函数定义域为，故不可能为，错误.故选：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.7、D【解析】

由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别，利润为元，由题意，画出可行域如图所示，显然当经过时，最大.故选：D.【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.8、B【解析】

根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得.【详解】由已知可知，，所以函数是一个以4为周期的周期函数，所以，解得，故选：B.【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.9、B【解析】

将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案.【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长交于点，其中，，，所以表面积.故选B项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题10、C【解析】

四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法．注意按“阅读文章”分类．【详解】四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不同的方法数为．故选：C．【点睛】本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题．对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法．11、D【解析】

设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．【详解】解：设，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．12、A【解析】

作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断．【详解】作出函数的图象如图，由图可知，，函数有2个零点，即有两个不同的根，也就是与在上有2个交点，则的最小值为；设过原点的直线与的切点为，斜率为，则切线方程为，把代入，可得，即，∴切线斜率为，∴k的取值范围是，∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】不等式表示的平面区域阴影部分，当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x−y+2=0与直线2x−y−6=0的交点(8,10)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而当且仅当时取等号，则的最小值为.14、【解析】

先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把转化为与边有关的等式，结合可求的值.【详解】因为，故，因为，所以.由正弦定理可得三角形外接圆的半径满足，所以即.因为，解得或（舍）.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题.15、【解析】

双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，一条渐近线的斜率为1，即，，，故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．16、【解析】

求的最小值可以转化为求以AB为直径的圆到点O的最小距离，由此即可得到本题答案.【详解】如图所示，设，由题，得，又，所以，则点C在以AB为直径的圆上，取AB的中点为M，则，设以AB为直径的圆与线段OM的交点为E，则的最小值是，因为，又，所以的最小值是.故答案为：【点睛】本题主要考查向量的综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）存在；常数，定值【解析】

（1）设出的坐标，利用以及，求得曲线的方程.（2）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，求得到直线的距离.联立直线的方程和曲线的方程，写出根与系数关系，结合以及为定值，求得的值.当直线的斜率不存在时，验证.由此得到存在常数，且定值.【详解】（1）解析：（1）设，，由题可得，解得又，即，消去得：（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为设，由可得：由点到的距离为定值可得（为常数）即得：即，又为定值时，，此时，且符合当直线的斜率不存在时，设直线方程为由题可得，时，，经检验，符合条件综上可知，存在常数，且定值【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题.18、（1）289200元；（2）能够获批；（3）应选择等额本金还款方式【解析】

（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；（2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；（3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断.【详解】（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，表示数列的前项和，则，，则，故小张该笔贷款的总利息为元.（2）设小张每月还款额为元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，则，所以，即，因为，所以小张该笔贷款能够获批.（3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为：，因为，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解决问题的关键，属于中档题.19、（1）（2）【解析】

（1）直接利用极坐标公式计算得到答案（2）设，，根据三角函数的有界性得到答案.【详解】（1）因为，所以，因为所以直线的直角坐标方程为.（2）由题意可设，则点到直线的距离.因为，所以，因为，故的最小值为.【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方