2024-2025学年福建省福州十九中九年级（上）月考数学试卷（12月份）

第1页（共1页）2024-2025学年福建省福州十九中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一.选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市文化的缩影．下列图案分别为北京，上海，福州四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列语句所描述的事件中，不可能事件是（）A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国3．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝26°（）A．52° B．56° C．62° D．64°4．（4分）对于二次函数y＝x2﹣2x+1的图象的特征，下列描述正确的是（）A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．最小值是15．（4分）如图，由图案（1）到图案（2）（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（）A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移6．（4分）如图，若设从2019年到2021年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为x，根据这个统计图可知（）A．x＝ B．14.5%（1+x）2＝452.3% C．1.98（1+x）2＝16.9 D．1.73（1+x）2＝3.067．（4分）如图，边长为的正六边形螺帽，OA垂直平分边CD，垂足为B，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为（）A．7.5 B．15π C．15 D．7.5π8．（4分）水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离S与时间t的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（）A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止 C．小球向前滑行的速度不变 D．小球向前滑行的速度越来越大9．（4分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝，则实数n的值为（）A．﹣3 B．﹣ C． D．310．（4分）已知二次函数y＝|a|x2﹣2|a|tx+c（a≠0）上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当1＜x1＜2，2＜x2＜3时，总有y1＜y2，则t的取值范围是（）A． B． C．t≥2 D．t≤2二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是．12．（4分）已知四边形ABCD内接于⊙O，则图中一定与∠ADE相等的角是．13．（4分）一个圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径长为2cm，则将该圆锥沿一条母线展开后得到的扇形的圆心角的度数是．14．（4分）某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）（A）变电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，原电路中已经有一个10Ω的定值电阻，则至少应再串联一个Ω的电阻才可以保证电路安全（已知：串联电路的总电阻等于各电阻之和）．15．（4分）为了测试某种光刻机制作2nm芯片电路图案的不良率，以此判断产生不良电路图案的原因，设计团队开展实验累计不良电路图案数（单位：块）1468101214累计试验芯片数（单位：千块）0.95.5810121416如果需要30块不良电路图案，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断还要准备的试验芯片数（单位：千块）：（结果保留整数）．16．（4分）已知反比例函数与直线AB分别交于C，D两点，若OD⊥CD，且OD＝2CD，则．三.解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：x2﹣6x+2＝0．18．（8分）已知△ABC中，点D与点E分别在边AC与AB上，其中AC＝2AE（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若△ADE的面积为4，求四边形DCBE的面积．19．（8分）已知直线y＝kx+b与双曲线相交于点M（2，3），N（﹣1，n），（1）求直线y＝kx+b与双曲线的解析式；（2）直接写出的x的取值范围．20．（8分）漫步三坊七巷，可以看到很多具有福州特色的小玩偶，其中特别受到游客喜欢的是“爱心树玩偶T”，“鱼丸玩偶Y”，游客小森购买了几个玩偶准备送给朋友．（1）如果小森是这三种玩偶各买一个，从中随机选取一个，求选到的玩偶是“鱼丸玩偶Y”的概率；（2）如果小森是“爱心树玩偶T”，“佛跳墙玩偶F”各买两个，从中不放回地随机选取两个21．（8分）已知点O是△ABC的外心，连接OB，以点O为圆心，过点A作AF∥BC交CO延长线于点F，若AO∥BE．（1）求证：AF与⊙O相切；（2）求证：AO平分∠BAC．22．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D（1）将△DBC绕点D逆时针旋转至△DEF，其中点B的对应点E落在BC边上，请作出△DEF（要求：用无刻度直尺与圆规作图，保留作图痕迹）；（2）若BD＝1，求DF的长．23．（10分）方程是我们将现实问题转化为数学问题的重要模型之一，利用方程的基本性质，我们可以解决一些较为复杂的代数证明问题．下面是两个关于x的一元二次方程：x2+2nx﹣4n2＝0，x2+3mx﹣9m2＝0，其中mn≠0．（1）求证：这两个方程都有两个不相等的实数根；（2）若p和q分别是x2+2nx﹣4n2＝0和x2+3mx﹣9m2＝0的其中一个实数根，请求证：（3mp﹣2nq）（pq+6mn）＝0．24．（12分）已知四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD（1）求证：＝；（2）连接OC交BD于点E，已知∠BDC＝30°，AB＝10，①求⊙O的半径；②在边AC上找点G，使得点G在△BEC的外接圆上，连接EG25．（14分）请阅读下面关于演唱会有关的一次数学建模的材料．小纳是一位数学功底扎实的歌迷，有同学问道：怎么才能买到高性价比的演唱会门票呢？小纳思索良久，决定建立数学模型来解决这个问题，小纳在歌迷群中设置了一个调查问卷：在“歌手相同，灯光舞美效果大致相同”，现场的舞台大小小纳根据问卷进行了总结：①将演唱会门票与通勤费等费用之和作为费用因素p（单位：元）；②舞台面积s（单位：m）越大性价比越高；③相同票价对应的位置与舞台中央的直线距离d越小性价比越高．小纳利用Matlab软件通过量化的方式建立了性价比函数．（1）若费用p为600元，舞台面积s为300m2，请写出y与d2之间的函数解析式；（2）已知歌迷小曼与小彻准备要去的演唱会都是在形如图中的体育场进行的，即水平线为南北方向，竖直线为东西朝向的体育场①歌迷小曼利用小纳设计的性价比函数对这次在K体育场举行的演唱会中的两个座位A，B进行了对比，为了方便计算，分别以向南和向东分别为x，y轴正方向，规定一个单位长度为10m，则可得点A（6，3），B（a，1）A＝700元，pB＝600元，若yA＜yB，则a的最大值（a为正整数）．②小彻想去的歌手的演唱会是在两个不同的城市举办的，其中在M城市的舞台预计为300m2，pM＝600元，在N城市的舞台预计为500m2，pN＝1200元，在M城与N城小彻可选的座位都是一排水平并排列紧凑的座位，这排座位与舞台中央所在水平线的竖直距离为20m，且体育场的南北向距离都不超过300m，请判断小彻去M城听演唱会的性价比是否一定高于N城听演唱会的性价比∩

2024-2025学年福建省福州十九中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析题号12345678910答案CCDADCDAAB一.选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市文化的缩影．下列图案分别为北京，上海，福州四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；B、该图形不是中心对称图形，不符合题意；C、该图形是中心对称图形；D、该图形不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．2．（4分）下列语句所描述的事件中，不可能事件是（）A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国【解答】解：A．“黄河入海流”是必然事件；B．“大漠孤烟直”是随机事件；C．“手可摘星辰”是不可能事件；D．“红豆生南国”是必然事件；故选：C．3．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝26°（）A．52° B．56° C．62° D．64°【解答】解：连接BO并延长交⊙O于D，连接CD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠OBC＝26°，∴∠D＝180°﹣∠D﹣∠∠DBC＝180°﹣90°﹣26°＝64°，∵，∴∠A＝∠D＝64°，故选：D．4．（4分）对于二次函数y＝x2﹣2x+1的图象的特征，下列描述正确的是（）A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．最小值是1【解答】解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，顶点为（5，对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，函数有最小值5，故选：A．5．（4分）如图，由图案（1）到图案（2）（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（）A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移【解答】解：由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，用作的图形变化是旋转，轴对称变化．故选：D．6．（4分）如图，若设从2019年到2021年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为x，根据这个统计图可知（）A．x＝ B．14.5%（1+x）2＝452.3% C．1.98（1+x）2＝16.9 D．1.73（1+x）2＝3.06【解答】解：依题意得：1.98（1+x）4＝16.9．故选：C．7．（4分）如图，边长为的正六边形螺帽，OA垂直平分边CD，垂足为B，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为（）A．7.5 B．15π C．15 D．7.5π【解答】解：连接OD，OC．∵∠DOC＝60°，OD＝OC，∴△ODC是等边三角形，∴，∵OB⊥CD，∴，∴，∵AB＝12cm，∴OA＝OB+AB＝15cm，∴点A在该过程中所经过的路径长＝．故选：D．8．（4分）水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离S与时间t的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（）A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止 C．小球向前滑行的速度不变 D．小球向前滑行的速度越来越大【解答】解：如图所示：滑行的距离s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，即此时小球停止，速度是越来越小．故选：A．9．（4分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝，则实数n的值为（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，B分别作x轴的垂线、D，点B在函数y＝上∵四边形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC＝S△OBD＝＝，∵点A在第二象限，∴n＝﹣3，故选：A．10．（4分）已知二次函数y＝|a|x2﹣2|a|tx+c（a≠0）上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当1＜x1＜2，2＜x2＜3时，总有y1＜y2，则t的取值范围是（）A． B． C．t≥2 D．t≤2【解答】解：∵y＝|a|x2﹣2|a|tx+c＝|a|（x﹣t）5+c﹣|a|t2，|a|＞0，∴二次函数y＝|a|x3﹣2|a|tx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝t，开口向上，∴距离对称轴越远的点，其函数值越大．又∵当2＜x1＜2，4＜x2＜3时，总有y5＜y2，∴t≤＝．故选：B．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2）．【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，2），∴点A关于原点对称的点的坐标是（6，﹣2）．故答案为：（1，﹣3）．12．（4分）已知四边形ABCD内接于⊙O，则图中一定与∠ADE相等的角是∠ABC．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠ADE＝180°，∴∠ADE＝∠ABC，故答案为：∠ABC．13．（4分）一个圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径长为2cm，则将该圆锥沿一条母线展开后得到的扇形的圆心角的度数是120°．【解答】解：设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为n°，根据题意得2π×2＝，解得n＝120，即扇形的圆心角的度数是120°．故答案为：120°．14．（4分）某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）（A）变电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，原电路中已经有一个10Ω的定值电阻，则至少应再串联一个2Ω的电阻才可以保证电路安全（已知：串联电路的总电阻等于各电阻之和）．【解答】解：从图中可以看出：I与R呈反比例函数关系，设I＝（R＞0，代入I＝4，R＝3，得4＝，∴k＝36，∴I＝，令I＝5，则R＝，蓄电池的用电器的安全电流最大为3A，即I≤7A，∵I与R呈反比例函数关系，∴R≥12Ω，∵12Ω﹣10Ω＝2Ω，则至少应再串联一个2Ω的电阻．故答案为：5．15．（4分）为了测试某种光刻机制作2nm芯片电路图案的不良率，以此判断产生不良电路图案的原因，设计团队开展实验累计不良电路图案数（单位：块）1468101214累计试验芯片数（单位：千块）0.95.5810121416如果需要30块不良电路图案，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断还要准备的试验芯片数（单位：千块）：16（结果保留整数）．【解答】解：∵根据如表的数据，随着实验数量的增加，试验芯片数就增加2千块，∴根据实验次数越多频率越稳定，即可估计产生不良电路图案的概率为：＝，∴估计他们还需要准备用以辐射的种子数为（30﹣14）÷＝16（千块）．故答案为：16．16．（4分）已知反比例函数与直线AB分别交于C，D两点，若OD⊥CD，且OD＝2CD，则．【解答】解：过D作DF⊥x轴于点F，过C作CG⊥y轴于点G，则GH⊥FH，∵OD＝2CD，∴＝，由题易得∠OFD＝∠ODC＝∠CDH＝90°，∴∠ODF＝∠DCH＝90°﹣∠CDH，∴△CDH∽△DOF，∴＝，设CH＝m，DH＝n，OF＝3n，∴CG＝2n﹣m．FH＝2m+n，∴C（8n﹣m，2m+n），2m），∵点C和D都在反比例函数上，∴（4n﹣m）（2m+n）＝2n•6m，整理得2m2+nm﹣5n2＝0，解得m＝n，∵∠DOF＝∠AOD，∠OFD＝∠ODA，∴△OFD∽△ODA，∴＝＝＝＝＝，故答案为：．三.解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：x2﹣6x+2＝0．【解答】解：∵x2﹣6x+4＝0，∴x2﹣7x＝﹣2，∴x2﹣7x+9＝﹣2+8，即（x﹣3）2＝4，∴x﹣3＝±，∴x8＝3+，x7＝3﹣．18．（8分）已知△ABC中，点D与点E分别在边AC与AB上，其中AC＝2AE（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若△ADE的面积为4，求四边形DCBE的面积．【解答】（1）证明：已知△ABC中，点D与点E分别在边AC与AB上，AB＝2AD，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC；（2）解：由（1）知△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∴，∴S△ABC＝4×4＝16，∴四边形DCBE的面积＝16﹣4＝12．19．（8分）已知直线y＝kx+b与双曲线相交于点M（2，3），N（﹣1，n），（1）求直线y＝kx+b与双曲线的解析式；（2）直接写出的x的取值范围．【解答】解：（1）∵M（2，3）在双曲线y＝上，∴m＝xy＝7×3＝6，∴反比例函数解析式为：y＝；∵N（﹣1，n）在y＝上，∴n＝＝﹣6，∴N（﹣5，﹣6）．将点M（2，8），﹣6）代入y＝kx+b，得，∴．∴直线AB的解析式为：y＝3x﹣3；（2）如图，不等式．20．（8分）漫步三坊七巷，可以看到很多具有福州特色的小玩偶，其中特别受到游客喜欢的是“爱心树玩偶T”，“鱼丸玩偶Y”，游客小森购买了几个玩偶准备送给朋友．（1）如果小森是这三种玩偶各买一个，从中随机选取一个，求选到的玩偶是“鱼丸玩偶Y”的概率；（2）如果小森是“爱心树玩偶T”，“佛跳墙玩偶F”各买两个，从中不放回地随机选取两个【解答】解：（1）∵小森是这三种玩偶各买一个，∴从中随机选取一个，选到的玩偶是“鱼丸玩偶Y”的概率为；（2）把两个“爱心树玩偶T”分别记为A、B，两个“佛跳墙玩偶F”分别记为C、D，画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能结果，即AB，∴选到的玩偶都是“爱心树玩偶T”的概率为＝．21．（8分）已知点O是△ABC的外心，连接OB，以点O为圆心，过点A作AF∥BC交CO延长线于点F，若AO∥BE．（1）求证：AF与⊙O相切；（2）求证：AO平分∠BAC．【解答】证明：（1）由题意可知，⊙O是△ABC的外心，∴∠CBE＝90°，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠ABC，∵AO∥BE，∴∠OAB＝∠ABE，∴∠OAF＝∠FAB+∠OAB＝∠ABC+∠ABE＝∠CBE＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AF⊥OA，∴AF与⊙O相切．（2）延长AO交BC于点L，∵AF∥BC，∠OAF＝90°，∴∠ALC＝∠OAF＝90°，∴AL⊥BC，∴BL＝CL，∵AL垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠BAL＝∠CAL，即∠BAO＝∠CAO，∴AO平分∠BAC．22．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D（1）将△DBC绕点D逆时针旋转至△DEF，其中点B的对应点E落在BC边上，请作出△DEF（要求：用无刻度直尺与圆规作图，保留作图痕迹）；（2）若BD＝1，求DF的长．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACD＝36°，∴∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠B＝∠CDB＝72°，∠A＝∠ACD＝36°，∴CB＝CD＝AD，设BC＝x，∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A，∴△BCD∽△BAC，∴＝，∴BC2＝BD•BA，∴x2＝4•（x+1），解得x＝（负根已经舍去），∴DF＝DC＝BC＝．23．（10分）方程是我们将现实问题转化为数学问题的重要模型之一，利用方程的基本性质，我们可以解决一些较为复杂的代数证明问题．下面是两个关于x的一元二次方程：x2+2nx﹣4n2＝0，x2+3mx﹣9m2＝0，其中mn≠0．（1）求证：这两个方程都有两个不相等的实数根；（2）若p和q分别是x2+2nx﹣4n2＝0和x2+3mx﹣9m2＝0的其中一个实数根，请求证：（3mp﹣2nq）（pq+6mn）＝0．【解答】证明：（1）∵x2+2nx﹣2n2＝0，其中mn≠3，∴Δ＝（2n）2﹣3×（﹣4n2）＝20n5＞0，∴Δ＞0，∴x6+2nx﹣4n8＝0有两个不相等的实数根，∵x2+3mx﹣9m2＝5，其中mn≠0，∴Δ＝（3m）3﹣4×（﹣9m8）＝45m2＞0，∴Δ＞8，∴x2+3mx﹣8m2＝0有两个不相等的实数根；（2）∵p和q分别是x4+2nx﹣4n2＝0和x2+2mx﹣9m2＝4的其中一个实数根，∴p2+2np﹣3n2＝0，q6+3mq﹣9m6＝0，∴（p﹣2n）5＝0，（q﹣3m）8＝0，∴p＝2n，q＝3m，∴（3mp﹣2nq）（pq+3mn）＝（6mn﹣6mn）（2mn+6mn）＝0，即（6mp﹣2nq）（pq+6mn）＝7．24．（12分）已知四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD（1）求证：＝；（2）连接OC交BD于点E，已知∠BDC＝30°，AB＝10，①求⊙O的半径；②在边AC上找点G，使得点G在△BEC的外接圆上，连接EG【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+2∠CAD＝180°，∴∠BAD＝2∠CAD，∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAC+∠CAD＝5∠CAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴＝；（2）解：①连接OB，过点D作DM⊥AB于点M，∵＝，∴BD＝DC，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴∠BAC＝∠BDC＝30°，∠CAD＝∠CBD＝30°，∴∠BAD＝60°．∵DM⊥AB，∴AM＝AD＝，DM＝AD•sin60°＝3，∴BM＝AB﹣AM＝7，∴BD＝＝＝4．∵＝，∴OE⊥BD，BE＝DE＝．∵∠BOC＝7∠BAC＝60°，∴OB＝＝．∴⊙O的半径为；②由①知：OE⊥BD，∴△BEC为直角三角形，∴△BEC的外接圆为以BC为直径的圆，过点B作BG⊥AC于点G，则∠CGB＝90°，连接EG，设AC与BD交于点F，∵DH⊥AC，∠CAD＝30°，∴DH＝AD＝3，∵∠CAB＝30°，BG⊥AC，∴BG＝AB＝5，∵BG⊥AC，DH⊥AC，∴BG∥DH，∴△BGF∽△DHF，∴＝，∴BF＝BD＝BD＝，∵BE＝DE＝BD＝，∴EF＝BF﹣BE＝．∵点G在△BEC的外接圆上，∴四边形BCGE为圆的内接四边形，∴∠EGF＝∠CBD＝30°，∴∠EGF＝∠CAD＝30°，∴EG∥AD，∴△EGF∽△DAF，∴，∴，∴EG＝5．25．（14分）请阅读下面关于演唱会有关的一次数学建模的材料．小纳是一位数学功底扎实的歌迷，有同学问道：怎么才能买到高性价比的演唱会门票呢？小纳思索良久，决定建立数学模型来解决这个问题，小纳在歌迷群中设置了一个调查问卷：在“歌手相同，灯光舞美效果大致相同”，现场的舞台大小小纳根据问卷进行了总结：①将演唱会门票与通勤费等费用之和作为费用因素p（单位：元）；②舞台面积s（单位：m）越大性价比越高；③相同票价对应的位置与舞台中央的直线距离d越小性价比越高．小纳利用Matlab软件通过量化的方式建立了性价比函数．（1）若费用p为600元，舞台面积s为300m2，请写出y与d2之间的函数解析式；（2）已知歌迷小曼与小彻准