新人教版小学五年级数学上册第七单元《数学广角-植树问题》教案(详案)

新人教版小学五年级数学上册第七单元《数学广角——植树问题》精品教案（详案）第1课时植树问题（1）教学内容：教材P106例1，完成教材P107“做一做”第1题和P109“练习二十四”第1、2、4题。教学目标：1.通过猜测、试验等数学活动，初步体会两端都栽的植树问题的规律。2.经历和体验将复杂问题简单化的解题策略和方法。3.感受数学知识在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养应用意识和解决实际问题的能力。教学重点：发现植树棵数与间隔数之间的关系。教学难点：理解间隔数与棵数之间的规律并运用规律解决问题。教学过程：一、情境引入师：同学们，你们喜欢猜谜语吗？我们一起来猜个谜语好不好？（课件出示）【预设】学生们会回答：手。师：请你们伸出左手并张开手指，仔细观察，大家看到了什么？【预设】学生会回答有5根手指和4个空隙。如果学生只能说出有5根手指，教师要引导学生数一数5根手指之间有几个空隙。师：这4个“空隙”也可以说成4个“间隔”，5根手指之间有4个间隔，那4根手指之间有几个间隔呢？3根手指之间呢？（学生在自己的手上数一数）师追问：2根手指之间呢？（全班一起找）师：通过刚才我们找手指数和间隔数的活动，你们发现了什么？【预设】手指数比间隔数多1或间隔数比手指数少1。师：你们真聪明，发现了手指数与间隔数之间的关系！像这类隐藏着总数和间隔数之间的关系的问题，我们称为植树问题。今天，我们就一起来研究植树问题。［板书课题：植树问题（1）］二、探究新知师：学校开展“美化校园”的活动，同学们在老师的带领下，正认真地植树呢。在植树的过程中，大家遇到了一些问题。（课件出示教材P106例1）1.理解信息。指名学生读题，并要求学生说出从题中知道的信息。师：谁能说一说“一边”“两端要栽”的含义？【预设】学生可能会说“一边”就是一旁，有可能是左边也有可能是右边，“两端要栽”指的是路的一头一尾都要栽。师：“每隔5m”是什么意思？【预设】学生可能会说每两棵树之间的距离是5m。师小结：“全长100m”是指小路的总长；“一边”是小路的一侧，指小路的左边或右边；“每隔5m栽一棵”是指每两棵树之间的距离，简称“间距”；“两端要栽”指小路的起点与终点处都要栽。2.试算。师：一共要栽多少棵树，谁来算一算？学生独立完成后，汇报算法。【预设】学生很可能根据100÷5=20，猜测要栽20棵树；也有学生认为小路的两端都要栽，应该是20+2＝22，所以是22棵；还有学生猜是19棵或21棵。师：实践是检验真理的唯一标准。我们该怎样确定谁的猜测正确呢？【预设】引导学生回答通过验证来寻求答案。师：对，验证是检验答案的最好方法，下面我们就一起想办法来验证一下。但100m的路太长了，我们可以先在短距离的路上试一试，看一看要栽的棵数是多少。我们可以把这条路看成较短的20m、25m、30m……通过画图得出规律，再根据规律求100m的路要植树的棵数，这在数学上是常用的一种方法——化繁为简法。3.简单验证，发现规律。师：现在，我们就以20m为例，看一看20m的路可以栽几棵树。如果这条路的一边用一条线段来表示，每隔5m栽1棵树，一共要栽多少棵树？指名学生上台板演画图并解答。【预设】指导学生作图如下：师：每个间隔长度是几米？有几段间隔？栽了几棵树？【预设】间隔长度是5m，有4段间隔，栽了5棵树。师：观察间隔数和栽树棵数之间的关系，大家发现了什么？【预设】因为两端都要栽树，所以棵数比间隔数多1。师：这样一来，虽然不能直接验证，但可以从简单例子入手，给我们发现间隔的段数和棵数之间的关系提供一个方向。师：一个事例还不能确定植树问题的规律，我们还需要别的例子来帮助发现规律。大家再看看25m的路的一侧可以栽几棵？学生独立思考，小组交流。根据交流结果，完成表格。课件出示表格。教师巡视，观察学生完成情况，对于有困难的小组，教师及时给予帮助。（课件出示正确结果）师：观察表格，你有什么发现？把你的结论在小组内说一说。【预设】学生会说棵数比间隔数多1，也有学生会说间隔数比棵数少1。师：同学们做得非常好，通过猜测、讨论、验证，可以发现植树问题中一个非常重要的规律，那就是在一条路的一边植树，如果两端都要栽的话，那么栽树的棵数比间隔数多1。师：现在，我们用研究出的这个规律再来做一做教材P106例1，看看你们之前的猜测对不对。【预设】指导学生得出算式：100÷5=20，20+1=21（棵）。师生交流并板书。师：通过探究，我们找出了间隔数和棵数之间的关系。现在请你们仔细观察表格，你们还有什么发现？【预设】学生会说发现：路长÷间隔长=间隔数。三、巩固练习师：在日常生活中，也有很多类似于植树问题的例子。下面就请同学们应用我们今天发现的规律，去解决身边的一些问题吧。1.完成教材P107“做一做”第1题。学生独立思考后，全班交流。2.完成教材P109“练习二十四”第1、2题。学生独立完成，全班交流。3.完成教材P109“练习二十四”第4题。师：这一题和教材P106例1有什么不同之处吗？【预设】学生可能回答例1是知道了路线长度求栽树的棵数，而这一题是知道树的棵数求路线长度。师：根据“36棵树”这个条件可以知道什么？【预设】学生可能回答，可以知道间隔数共有：36-1=35（个）。师：“每隔6m”是什么意思？路线长多少米呢？【预设】每个间隔是6m。路线长为35×6=210（m）。四、课堂小结：通过这节课的学习，你们有什么收获？五、板书设计植树问题（1）两端要栽100÷5=2020+1=21（棵）棵树=间隔数+1【教学后记】第2课时植树问题（2）教学内容：教材P107例2及“做一做”第2题，完成教材P109～110“练习二十四”第6、7题。教学目标：1.通过画图发现在一条线段上两端都不栽、一端栽一端不栽的植树问题的规律。2.经历和体验“复杂问题简单化”的解题策略和方法。3.激发学习兴趣，培养认真读题、审题的学习习惯。教学重点：探究发现一条线段上两端都不栽、一端栽一端不栽的不同情况植树问题的规律。教学难点：尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。教学过程：一、复习引入师：老师听说同学们的植树问题学得很好，我要考考大家，你们敢接受老师的挑战吗？（课件出示题目）【预设】大多数学生都能给出解答算式：21÷3+1=8（棵）。师：同学们的解答是正确的。植树问题可是一门大学问，生活中根据需要有时要道路两端都栽，有时要道路两端都不栽，有时一端栽一端不栽。这节课，我们继续来探究植树问题中的另外两种情况。［板书课题：植树问题（2）］二、探究新知1.探寻“两端都不栽”植树问题的规律。课件出示教材P107例2。指名学生读题。师：从题中同学们都知道了哪些信息？你觉得哪些信息比较重要？【预设】学生会说“两旁”“两端都不栽”等信息比较重要。师：谁能说一说“两旁”“两端都不栽”的含义？【预设】“两旁”指的是道路两边，“两端都不栽”指的是道路的一头一尾都不栽。师：请同学们联系我们学过的例1，找一找两端都不栽时，间隔数与棵数之间的关系。学生先独立思考，然后小组互相讨论，集体汇报。【预设】预设1：先画一个简单的线段图看看，以20m长的路为例，每隔5m栽一棵树，在两端都栽的情况下“棵数=间隔数+1”，需要栽5棵树。预设2：同样长的线段，每隔5m栽一棵树，在两端都不栽的情况下只需要栽3棵树，“棵数=间隔数-1”，也就是说栽的棵数比间隔数少1。师：运用这一模型，例2可以怎样解答呢？【预设】引导学生列出算式60÷3=20，20-1=19(棵），19×2=38（棵）。师：为什么要“×2”？（因为小路两旁都要栽树。）今天研究的植树问题和前面有什么不同？【预设】今天研究的是两端都不栽的植树问题，植树棵数比间隔数少1。师：少的“1”在哪呢？请你指一指。（出示课件）师小结：我们一起来回顾一下这个题目的解答过程，通过与教材P106例1中两端都栽的植树问题相比较，采用同样的方法得出了两端都不栽的植树问题的数学模型，即棵数=间隔数-1。2.对比反思，提升认识。师：两端都不栽与两端都栽的情况相比有什么相同？有什么不同？【预设】例1中两端都栽时，得出的数学模型为：棵数=间隔数+1；例2采用同样的方法得出了两端都不栽的植树问题的数学模型为：棵数=间隔数-1。教师根据学生回答，出示课件。3.探寻发现“一端栽，一端不栽”植树问题的规律。课件出示教材P107“做一做”第2题。师：这道题与已经学过的植树问题有什么不同？（一端栽一端不栽）先猜一猜结果，再用自己喜欢的方法验证结果是否正确。【预设】预设1：用画线段图的方法得出一共要栽7棵树。预设2：这种一端栽一端不栽的情况，应该是：棵数=间隔数，可直接得出：35÷5=7（棵）。师小结：在一端栽一端不栽的情况下，棵数=间隔数。4.理解规律。师：植树问题有哪几种情况？每种情况中棵数与间隔数之间是什么关系？【预设】学生会回答有三种情况，分别为：两端都栽，棵数=间隔数+1；两端都不栽，棵数=间隔数-1；一端栽一端不栽，棵数=间隔数。（教师适时板书）师：我们是通过什么方法得到这些结论的？【预设】学生会说运用化繁为简的方法。师：如果你忘记或者混淆了这些情况，可以怎样做？【预设】学生会说画线段图。三、巩固提高1.完成教材P109“练习二十四”第6题。学生独立思考后交流。2.完成教材P110“练习二十四”第7题。学生独立思考后交流。四、课堂小结：师：这节课，你们学会了什么?五、板书设计植树问题（2）两端都栽：两端都不栽：一端栽一端不栽：棵数=间隔数+1棵数=间隔数-1棵数=间隔数【教学后记】第3课时植树问题（3）教学内容：教材P108例3，完成教材P108“做一做”和P110“练习二十四”第11题。教学目标：1.通过生活中的事例，体会解决封闭路线植树问题的思考方法。2.能够运用自己发现的规律解决封闭路线的植树问题，进一步培养画图能力和语言表达能力。3.感受数学与生活的联系，培养应用数学的意识。教学重点：理解在一条首尾相接的封闭曲线上植树的基本数学模型。教学难点：培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。教学过程：一、复习引入师：学校开展校园文化建设，下面是五（1）班分到的植树任务。在植树过程中，他们遇到了问题，你们能帮他们解决吗？（课件出示问题）【预设】预设1：两端都栽：8÷2+1=5（棵）。预设2：两端都不栽：8÷2-1=3（棵）。预设3：一端栽一端不栽：8÷2=4(棵）。师：今天这节课，我们继续研究植树问题的另一种情况。［板书课题：植树问题（3）］二、探究新知1.理解题意。课件出示教材P108例3。引导学生读题，找出已知条件和所求问题。师：这个植树问题和以往的植树问题有什么相同和不同的地方？【预设】学生会说相同之处都是已知长度和间隔距离；不同之处在于前两节课学习的是在线段上植树的问题，这道题是在一个圆的周围植树的问题。师：对，这节课我们要学习的内容就是在一条首尾相接的封闭曲线上植树的问题。2.自主探究。师：前两节课中，我们都是通过画图来发现规律再解题的。这道题你们能用同样的方法解决吗？试一试。学生独立画图思考，教师巡视指导。【预设】预设1：学生用列表法发现规律。（课件出示下表，表中答案逐步显示）预设2：学生可能会把圆拉直成线段。（师追问：这种情形相当于在线段上植树问题中的哪种情况？）预设3：学生给出算式：120÷10=12（棵）。3.总结规律。师：通过上面完成的表格，大家发现了什么规律？【预设】学生可能会说在封闭路线上植树，植树的棵数等于间隔数。师：以40m的长度为例，将圆拉直成线段，我们来观察一下。（课件出示）师：我们将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭图形和在不封闭图形“一端栽一端不栽”中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。师生交流后板书：封闭曲线上的植树问题：棵数=间隔数三、巩固提高1.完成教材P108“做一做”。学生独立完成，全班汇报。2.课件出示习题。引导学生分析题意，找出已知条件和所求问题。【预设】已知栽树棵数是15棵，也就是间隔数是15个，还知道间距是3m，求距离，用乘法，即间距×间隔数=距离。最后得到：3×15=45（m）。3.完成教材P110“练习二十四”第11题。学生独立思考完成后交流。四、课堂小结：这节课，你们有什么收获呢？五、板书设计植树问题（3）120÷10=12（棵）封闭曲线上的植树问题：棵数＝间隔数【教学后记】第4课时练习课教学内容：完成教材P109～111“练习二十四”第3、5、10、12、13、14*、15*题。教学目标：1.通过熟悉的生活情境，用线段图来表示植树问题中的三种植树情况，培养分析问题的能力。2.能够初步建立植树问题的数学模型，能根据这个模型将生活中类似的问题进行分类，并会应用模型中间隔数与棵数的关系来解决问题。3.培养认真审题的良好学习习惯。教学重点：能理解间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中。教学难点：理解间隔数与棵数之间的规律，并能运用规律解决问题。教学过程：一、复习引入师：我们共同研究了植树问题，想一想植树问题存在几种情况，它们的关系是怎样的。指名回答后，教师总结。（课件出示）师：这节课,我们就针对这些内容进行相关练习。二、巩固练习1.不封闭路线两端都栽树的问题。（1）课件出示习题。学生读题，找出已知条件和要求的问题。师：这是哪种类型的植树问题？【预设】学生会说是两端都栽的植树问题。师：根据题目的已知条件，我们可以先求出什么？【预设】学生会说可以先求出间隔数，已知公路全长1800m，相邻两棵树之间的距离都是6m，1800÷6=300，即有300个间隔。根据棵数=间隔数+1，可求出一共需要准备的树苗数量为300+1=301（棵）。（2）完成教材P109“练习二十四”第5题。师：大钟敲响5下，可以知道什么？那敲响12下呢？【预设】学生会说敲响5下有4个间隔，敲响12下有11个间隔。2.不封闭路线两端都不栽树的问题。课件出示习题。学生读题，找出已知条件和要求的问题。师：这是哪种类型的植树问题？【预设】学生会说因为是在两棵大树之间补种39棵小树，所以是两端都不栽的植树问题。师：根据题目的已知条件，我们可以先求出什么？再求什么？【预设】根据间隔数比棵数多1，可以先求出间隔有39+1=40（个），然后根据“间距=路长÷间隔数”，可以知道每两棵小树之间的间距为160÷40=4（m）。3.不封闭路线一端栽树一端不栽树的问题。课件出示习题。学生读题，找出已知条件和要求的问题。师：这是哪种类型的植树问题？【预设】学生会回答是不封闭路线中的一端栽一端不栽的植树问题。师：根据题目的已知条件，我们可以先求什么？再求什么？【预设】可以先求出间隔数有80÷5=16(个），然后根据棵数=间隔数，可以知道需要插16面彩旗。4.封闭路线上的植树问题。（1）完成教材P111“练习二十四”第12题。学生读题，找出已知条件和要求的问题。师：这是哪种类型的植树问题？【预设】学生会说这是封闭路线上的植树问题。师：根据题目的已知条件，我们可以先求出什么？再求什么？【预设】可以先求出间隔数有60÷5=12（个），然后根据棵数=间隔数，可以知道这条项链上共有12颗水晶。（2）完成教材P111“练习二十四”第14*题。学生读题，找出已知条件和要求的问题。师：这是哪种类型的植树问题？【预设】学生会说这是封闭路线