沪教版数学八年级下册全册教案

2【学情分析】殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。通过本章学习，学生将数的概念，函数的三种表示法，一次函数的概念、图象、性质和应用3【教学目标】解配方法的意义，会用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简多边形的概念，了解四边形的不稳定性。掌握平行四边形、矩形、菱的刻画，会计算简单数据的方差，体会样本与总体的关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差，并能解释统【教学重难点】4【教学措施】与学的全过程。认真学习教育教学理论，落实课标理念，让学生通过2、重视学生知识的建构和能力的培养，重视学的导向。引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探究、合作、交流、分享发现快乐的高效的学习课堂，让学生体3、教学中要树立全新的学习观。学习要转习的主体地位。倡导自主学习、探究学习、合作学习和研究性学习，素，弥补智力上的不足。运用新课程标准的理念指导教学，积极更新个别辅导，优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知52．已知圆的面积是6π,你能求出该圆的半径吗？61④-5；⑤5，其中二次根式的个数有()④-5；⑤5，其中二次根式的个数有()选B.【类型二】二次根式有意义的条件A．x≥-1且x≠1B．x≠1C．x≥1且x≠-1D．x≥-1解析：根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥-1且x≠1.故选A.的取值必须使各个被开方数同时为非负数；(3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零.7探究点二：利用二次根式的非负性求值【类型一】利用被开方数的非负性求字母的值可.②当题目中，同时出现a和－a时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a＝0.方法总结：对于二次根式a≥0(a≥0)，可知其有最小值0.三、板书设计8本节课的内容是在我们已式在实数范围内有意义的条件点)9【类型一】利用(a)2＝a(a≥0)计算(1)(0.3;；(3)(23)2;(4)(2x－y)2.解：(1)(0.3＝0.3；2·(2（－；(3)-(-π)2.(3)-(-π)2＝－|-π|=-π.【类型三】利用二次根式的性质化简求值解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答.=3＋4＝7.探究点二：利用二次根式的性质进行化简2.再根据行化简.＜－符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号.＋（根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可.任意两边之和大于第三边)，得出不等关系进行化简.三、板书设计学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件()A．x≤2B．x≥-1解析：根据题意得2－x≥0.解得－1≤x≤2.故选C.·≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件.探究点二：二次根式的乘法(1)(1)122b)·3a(a≥0，1=-=-4)=-=-2＝－3b.相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号.·（－）（－）；b.题.【类型三】二次根式的乘法的应用圆的半径(结果保留根号).解析：根据“矩形的面积＝长宽”“圆的面积=π半径的平方”进行计算.算，体现了转化思想.三、板书设计生运用法则进行二次根式的乘法运算难点)9 . .99999EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up13(48),72)EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up13(12),18)EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up13(2),1)EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up13(7),2)EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up14(a2b3),ab2)再化简.==2＝－活选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式.下列二次根式中，最简二次根式是()aa＋a2b中被开方数用提公因式法因式分解后得a2＋a2b=a2两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.探究点三：商的算术平方根的性质【类型一】利用商的算术平方根的性质确定字母的取值aabb必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件.【类型二】利用商的算术平方根的性质化简二次根式733母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式.探究点四：二次根式除法的应用求长方体的高.解析：因为“长方体的体积＝长³宽³高”，所以“高＝长方体3223这样的二次根式就是同类二次根式.探究点二：二次根式的加减类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并.【类型二】二次根式的加减混合运算起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变.【类型三】二次根式加减法的应用去括号，合并同类二次根式.次根式的加减混合运算.三、板书设计为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成培养学生良好的思维品质11(1)(2)50.3-50.3-3-＝－方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的.【类型二】运用乘法公式进行二次根式的混合运算方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适【类型三】二次根式的化简求值解：原式=xy.果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用.【类型四】二次根式混合运算的应用求这个三角形的面积.解析：根据三角形的面积公式进行计算.选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算.探究点二：二次根式的分母有理化(1)(1)3-(2)23-(2)23-23-23-再运用公式计算.2=2=(1)(2)(2)22分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，·两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如b.大小关系.大的反而小可以比较两个数的大小.三、板书设计二次根式的混合运算可类于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易探究点一：一元二次方程的概念3c为常数，a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程.【类型二】根据一元二次方程的概念求字母的值＝－≠2.当a≠2时，原方程为一元二次方程；＝－解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母”“去括探究点二：根据实际问题建立一元二次方程模型在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程.探究点三：一元二次方程的根方法总结：方程的根(解)一定满足原方程，将根(解)的值代入原的值，这种方法叫做根的定义法.探究点一：用直接开平方法解一元二次方程＝－＝－＝－=-71＝－的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x2=探究点二：用配方法解一元二次方程【类型一】用配方法解一元二次方程m)2＝n(n≥0)的形式，再用直接开平方法求解；当二次项系数-5；＝－【类型二】利用配方法求代数式的值再代入代数式计算即可.＝－³【类型三】利用配方法求代数式的最值或判定代数式的取值范围为正.数的形式.2≥0，4≥4.三、板书设计本节课通过观察、思考、对比使学生掌握一元二次方程的解法：直接的过程，从而培养学生从不同的角度进行探究的习惯和能力方法求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.探究点一：一元二次方程的求根公式 ＝－6.探究点二：用公式法解一元二次方程＝－最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根).三、板书设计经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，通过对公式的推导，认识一元二次方程的求探究点：用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程(2)－5)－6)＝x－5.公因式，若有公因式，就能快速分解因式求解.【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程－2)]2∴原方程的解为＝3.次方程，它们的解就是原方程的解.三、板书设计猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力.探究点：一元二次方程根的判别式【类型一】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是()>0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B.【类型二】根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围数根，则k的取值范围是()(-2）2－4·(-1）>0，k≠0，【类型三】一元二次方程根的判别式与三角形22＋c2－a2－2bc)＝[＋c)2－a2][－c)2－a2]=(b＋c＋a)＋c－a)－c＋a)－c－a)＝(a＋b＋c)[＋c)－a][＋b)<0.∴原方程没有实数根.得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定Δ符号.【类型四】利用根的判别式解决存在性问题若不存在，请说明理由.1-1)]2∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根.解题过程中务必考虑全面.三、板书设计本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应本节课需要注意的地方，应予以特别强调探究点一：一元二次方程的根与系数的关系两根之积.＝－∴方程有两个不相等的实数根.1探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用【类型一】利用根与系数的关系求代数式的值EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up14(x),x)EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up4(1),2)3＝－.＝－＝－【类型二】已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根的值.根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值.6＝－＝－＝－∴-5＋2＝－5，∴k＝－7.项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】判别式及根与系数关系的综合应用的两个不相等的实数根，且满足1，求m的值.方程，求m的值.∴α+β=-(2m＋3)，αβ=m2.化简整理，得m2－2m－3＝0.解得m＝3或m1.此时Δ=92－4³9＞0，综上所述，m＝3.易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要被忽略.绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神题、解决问题的能力，培养学生应用数学的意识.探究点一：一元二次方程的应用【类型一】增长(降低)率问题＝－决平均增长(降低)率问题的关键是明确基础量和变化后的量．如果设【类型二】商品销售问题解：设每件商品涨价x元，根据题意，得2³10=易错提醒：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关据.11＝30舍去，故x＝10.探究点二：可化为一元二次方程的分式方程为了保护环境，充分利用水资源，某市经过“调整水费听证会”讨论后决定：水费由过去每立方米1.8元调整为2.1元，并提出=超计划用水费用＋计划用水费用.是否使实际问题有意义.三、板书设计问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇证明勾股定理.12.建立相等关系，从而验证勾股定理.探究点二：勾股定理【类型一】直接利用勾股定理求长度1B·CD1积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用.【类型二】利用勾股定理求面积·，∠E＝90°,所以S△ABE＝2AEBE＝2AE·2，股定理找到图形面积之间的等量关系.离.【类型四】利用勾股定理证明等式2).+2).系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，路去分析问题.【类型五】运用勾股定理解决折叠中的有关计算)解答.【类型六】分类讨论思想在勾股定理中的应用三、板书设计中国古代的研究，激励学生发奋学习力.探究点：勾股定理的应用后船向岸边移动了多少(假设绳子是直的，结果保留根号)?【类型二】利用勾股定理解决方位角问题解：∵AD∥BE，∴∠ABE=∠DAB＝60°.∵∠CBF＝30°,∴∠ABC＝180°-∠ABE-∠CBF＝180°-60°-30°=90°在Rt△=【类型三】利用勾股定理解决最短距离问题一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而进行比较取其最小值即可.【类型四】勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地AB.解析：Rt△ABC中，∠B＝90°,则满足AB2＋BC2＝AC2.设BC=x＋b＝15解方程组可以求x的值，即可计算解：Rt△ABC中，∠B＝90°,设BC＝am，AC＝bm，AD＝xm，＝2，即AD=2m，∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12(m).答：树高AB为12m.知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用通过观察图形，探索图形间的关系，培养学生的空间观念．在将实际【类型一】利用勾股定理的逆定理判断直角三角形判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形.(1)在△ABC中，∠A＝20°,∠B＝70°;(2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25；定理验证；(3)将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验解：(1)在△ABC中，∵∠A＝20°,∠B＝70°,∴∠C＝180°-∠A-∠B＝90°,即△ABCBC2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形；理的逆定理可知，△ABC是直角三角形.定理描述的是最大边的平方等于另外两边的平方和.【类型二】利用勾股定理的逆定理求角的度数如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC=5，求∠APB的度数.解析：根据已知条件PA＝3，PB＝4，PC＝5，易知PA2＋PB2=解：在△ABC所在的平面内，以A为顶点，AC为边在△ABC外作∠DAC=∠PAB，且AD＝AP.连接DC，PD，则△ADC≌△APB，所以DC＝PB，∠APB=∠ADC.因为PA＝AD，∠PAD=∠BAC＝60°,所以△APD为等边三角形．所以PD＝PA＝AD＝3，∠ADP＝60°.又因为DC＝BP＝4，PC＝5，且PD2＋DC2＝32＋42＝52＝PC2，所以△PDC为直角三角形且∠PDC＝90°.所以∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC＝60°+90°=150°.断此三角形是直角三角形，进而求出角度.【类型三】利用勾股定理的逆定理解决面积问题△.线等分三角形面积求解.△【类型四】利用勾股定理的逆定理证垂直＝BE2，∴△BDE为直角三角形，即∴∠BDE＝90°,则推出两线的垂直关系.下列几组数中是勾股数的是(填序号).111三、板书设计本节课采用以学生为主体，引导发现、操作探究的教学实验，符合学利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理的能力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培养探究点：勾股定理的逆定理的应用然后再解决计算问题.=90°.比较出三条边的大小(若是具体的数值很容易发现；若是一个整式常用作差的方法来确定三条边的大小)，再通过勾股定理的逆(23)°.的应用，充分体现了勾股定理及其逆定理的相互结合，相出，最后再求出两个直角三角形的面积，即可得到答案.2.∴由勾股定理逆1＝90°,∴S△ACD＝234=1【类型四】勾股定理逆定理的实际应用＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°,∴该农民挖的不合格.理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，然后再作进一步解答.【类型五】运用勾股定理逆定理解决方位角问题分别解这两个直角三角形即可得出.1分.学模型，注意提炼题干中的有效信息，并转化成数学语言.三、板书设计由易到难设计例题和练习，收到了较好的教学效果一个长方形剪去一个角，则它有可能是边形.解析：如图所示：沿对角线剪去时，可得到三角【类型二】多边形的内角和与外角和解析：任何多边形的外角和都是360°,即这个多边形的内角和是3360°,n边形的内角和是(n－2)1·80°,如果已知多边形的边数.【类型三】多边形的对角线则从一个顶点最多可引条对角线.线的确定方法是解答此题的关键.【类型四】正多边形2个正多边形的边数.内角和外角的互补关系求解.答：这个正多边形的边数是7.解法2：(间接设元法)设这个正多边形的每个内角为x°,则每个∴每个外角是(7)°,∴这个正多边形的边数为360÷7＝7.答：这个正多边形的边数为7.360°探究点二：多边形的不稳定性下列图形中具有稳定性的是()分割成三角形则多边形的形状就不会改变，因而具有稳定性的是C.故选C.些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.三、板书设计再次感受数学来源于实践，可以激发学生学习数学的兴趣如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形.解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC=∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可.证明：∵∠1+∠B+∠ACB＝180°,∠2+∠D+∠CAD＝180°,∠B=∠D，∠1=∠2，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1=∠2.∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.探究点二：平行四边形的边、角特征【类型一】利用平行四边形的性质求线段长如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD=._______解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB=∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB=∠B，∴∠FEB=∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF.∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关【类型二】利用平行四边形的性质求角度如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°,则∠BCE的度数为()解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°.∵∠A＝125°,∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC=90°,∴∠BCE＝90°-55°=35°.故选A.【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC=∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC=∠DCG，推出∠DCG=∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP=∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC=∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC=∠DCG，∴∠DCG=∠GCB.∵∠DCG+∠DCP＝180°,∠GCB+∠FCP＝180°,∴∠〔CE＝CF，DCP=∠FCP.∵在△PCF和△PCE中，{∠FCP=∠ECP，∴△lCP＝CP，PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.【类型四】判断直线的位置关系如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明.解析：由AB＝2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD∠ADC+∠BCD＝180°,进而可得出DM与MC解：DM与MC互相垂直．证明如下：∵M是AB的中点，∴AB=2AM.又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM=∠AMD.形ABCD，∴AB∥CD，∴∠AMD=∠MDC，∴∠ADM=∠MDC，:，:上探究点三：两平行线间的距离EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up0(1),1)EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up0(1),2)EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up0(1),1)EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up0(1),2)解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明.证明：“EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up0(1),1)ⅡEQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up0(1),2)，:点E，F到EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up0(1),2)之间的距离都相等，设为h.:S1△S△FGH1,:S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH,:△EGO相等，再结合两平行线间的距离即可得出结论.三、板书设计为后期的学习打基础探究点一：平行四边形的对角线互相平分【类型一】利用平行四边形对角线互相平分求线段长角形的周长之差等于邻边边长之差.【类型二】利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质.则首选对角线互相平分的方法解决问题.探究点二：平行四边形的面积△与S与S△CBP等底等高的三角形的面积相等解答.1S1△;S,∴S△-S△-S△CPO,∴S△ABP=S△CBP.三、板书设计察、操作、推理、归纳等过程中，培养学生数学说理的习惯，发展学生的数学思维能力【类型一】一组对边平行且相等的四边形是平是平行四边形吗？请说明理由.的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB.【类型二】两组对边分别相等的四边形是平行四边形解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF+∠FBA=∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF.又∵△ACE是等边三角形，∴AC=形).方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”【类型三】对角线互相平分的四边形是平行四边形∠C=∠D，探究点二：平行四边形判定与性质的综合应用互相平分).键在于根据图形发现平行四边形.三、板书设计【类型一】利用三角形中位线定理求线段的长3∴∠2=∠3.又∵AF平分∠CAB，∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC【类型二】利用三角形中位线定理求角度的中点，∠E＝30°,∠1＝110°,则∠2的度数为()A．80°B．90°.∵∠1＝110°,∠E＝30°,∴∠2=∠ECD＝80°.故选A.【类型三】三角形的中位线性质与三角形其他性质的综合运用如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长.解析：首先证明△AMD≌△AMC，得到DM＝MC题.解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴∠DAM=∠CAM，∠AMD〔∠DAM=∠CAM，=∠AMC.在△AMD与△AMC中，{AM＝AM，∴△AMD≌l∠AMD=∠AMC，△AMC(ASA)，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.∵BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝2BD＝2(AB－AD)＝2(AB－AC)＝2(5－3)＝1.们一个中点.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用三角形的中位线定理解决简单实际问题如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5m.他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长度是()解析：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，EF＝5m，∴BC=12EF＝10m.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC.∴BE＝CF＝2BC=5m.∴篱笆的长为BE＋BC＋CF＋EF＝5＋10＋5＋5＝25(m)．故选管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么(动矩形定义.是矩形.形的所有性质.【类型一】矩形的四个角都是直角如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC.若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为()解析：如图，过E作EF⊥AC，垂足为F.∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，BE⊥AB，∴EF＝BE＝4，³15³4＝30.故选B.件.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】矩形的对角线相等如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD选B.有等边三角形，可以利用等边三角形的性质解题.探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半°.可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合探究点三：矩形的性质的运用【类型一】利用矩形的性质求有关线段的长度∴∠A=∠D＝90°,°.∴∠AEF+∠CED＝90°,∴∠AEF=∠ECD.∴△AEF≌△DCE，角形全等，可借助直角的条件解决直角三角形中的问题.【类型二】利用矩形的性质求有关角度的大小解析：由∠BAE与∠DAE之和为90°及这两个角之比可求得这的度数.∴∠BAE＝22.5°,∠DAE＝67.5°.∴∠ABE＝90°-∠BAE＝90°-22.5°=67.5°,∴∠OAB=∠ABE＝67.5°,∴∠EAO＝67.5°-22.5°=45°.及线段平行或垂直的重要依据.【类型三】利用矩形的性质求图形的面积时，通常运用割补法将阴影部分转化为较规则的图形，再求其解析：这是一道折叠问题，折后的图形与原图形全等，从而得∴AD∥BC，∠A＝90°,∴∠2=∠3.又由折叠知△BC≌△BCD，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴BE＝DE.方法总结：矩形的折叠问题是常见的问题，本题的易错点是对△BED是等腰三角形认识不足，解题的关键是对折叠后的几何形状三、板书设计【类型一】对角线相等的平行四边形是矩形:平行四边形是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).首先考虑能否用对角线的条件证明矩形.【类型二】有三个角是直角的四边形是矩形°.则这个四边形就是矩形.【类型三】有一个角是直角的平行四边形是矩形由.∠ADB＝90°.由等腰三角形“三线合一”的性质可∴∠AFE=∠DCE.∴△AEF≌△DEC(AAS).°.有“一个角是直角的平行四边形是矩形”是解本题的关键.探究点二：矩形的性质和判定的综合运用).等.三、板书设计过程，并会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力行演示)如图，改变平行四边形的边，使一组邻边相等，从而引出菱让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子.【类型一】菱形的四条边相等如图所示，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°,AB＝5，则△ABD的周长是()解析：根据菱形的性质可判断△ABD是等边三角形，再根据AB=5求出△ABD的周长.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长＝3AB＝15.方法总结：如果一个菱形的内角为60°或120°,则两边与对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】菱形的对角线互相垂直如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长.边长．由菱形性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算.解：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.因为AC＝6cm，BD＝12cm，所以AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB＝AO2＋BO2＝32＋62＝35(cm).所以菱形的周长＝4AB＝4形，所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解.【类型三】菱形是轴对称图形如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F.求证：AE＝AF.解析：要证明AE＝AF，需要先证明△ACE≌△ACF.证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC=∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC=∠AFC＝90°.在△ACE和△ACF中，〔∠AEC=∠AFC，{∠EAC=∠FAC， lAC＝AC，∴△ACE≌△ACF，∴AE＝AF.探究点二：菱形的面积的计算方法如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离.解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12，△AOB＝2OA²OB＝2³5³12＝30，³30＝120.菱形ABCD△AOB所以S＝AB·h＝13h，菱形ABCD方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小本节课不仅安排了菱形性使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方∵∠B＝90°,AB＝6cm，用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便.探究点二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形互相垂直且平分.探究点三：菱形的判定和性质的综合运用＝120°,求菱形BCFE的面积.(2)解：∵∠BCF＝120°,∴∠EBC＝60°,∴△EBC是等边三方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边三、板书设计经历菱形的猜想、证明的过程，进一步提高学生的推理论证能力，体维能力行四边形是正方形.注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形.【类型一】利用正方形的性质求角度解析：等边△ADE可以在正方形的内部，也可以在正方形∠BAE＝90°+60°=150°,°.°.∴∠BEC＝60°-15°-15°=30°;=90°-60°=30°,°.°.∴∠BEC＝360°-75°-75°-60°=150°综上所述，∠BEC的大小为30°或150°形的内部.【类型二】利用正方形的性质求线段长长，结合已知条件易求解.∴∠B＝90°,∠ACB＝45°,AB＝BC＝1cm.∴∠EFA=∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°,∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE=∠FAE，∠B=∠EFA＝90°,AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，2方形中解决问题时常用到等腰三角形的性质与直角三角形的性质.【类型三】利用正方形的性质证明线段相等分散的条件集中.探究点二：正方形的判定＝90°,∠BAC，∠可.°.又∵∠C＝90°,明它有一个角是直角或对角线相等.＝45°,∠BOC＝90°=∠COH+∴∠BOE+∠BOH＝90°,方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.探究点三：正方形的性质和判定的综合运用解析：(1)证明△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，即可证得EF＝90°,即可证得四边形证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠A=∠D=∠C=∠B，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS)，形.∵△APF≌△BQP，∴∠AFP=∠BPQ.∵∠AFP+∠APF＝90°,∴∠APF+∠BPQ＝90°,∴∠FPQ＝90°,∴四边形EFPQ是正方形.定与性质．注意解题的关键是证得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP.探究点四：正方形、菱形、矩形与平行四边形的综合运用如图，△ABC中，点P是AC边上一个动点，过P作直线EFⅡBC，交上ACB的平分线于点E，交上ACB的外角上ACD平分线于点F.(1)请说明：PE＝PF；(2)当点P在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？为什(3)在(2)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正(4)当点P在边AC上运动时，四边形BEFC可能是菱形吗？请说明理由.解：(1)“CE平分上BCA，:上1＝上2.“EFⅡBC，:上E＝上1，:上E＝上2，:EP＝PC.同理PF＝PC，:EP＝PF；(2)当点P在AC中点时，四边形AECF是矩形．“PA＝PC，PE1=PF，:四边形AECF是平行四边形．又“上ECF＝2上BCD＝90。，:平行四边形AECF是矩形；(3)当上ACB＝90。时，四边形AECF是正方形．“上ACB＝90。，:AC丄BC.“EFⅡBC，:AC丄EF，:平行四边形AECF(4)四边形BECF不可能是菱形．“上ECF＝90。，:EF>CF，:四边形BECF不可能是菱形.边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点点.³180°=540°,所以每个内角周角，故不能作平面镶嵌，如图所示.分)．否则，就不能作平面镶嵌.探究点二：用两种或两种以上的正多边形作平面镶嵌满地面，则ab=.解析：正三角形每个内角是60°,正十二边形的每个内角是8³2＋5b＝12，解得b＝5，正多边形的个数6正三角形，则2³3＋5b＝12，解得b＝5，不符合题意；若在一个顶4边形的个数，得出的数值必须是正整数.受数学活动的乐趣和数学美的魅力若想了解大部分同学处于哪个分数段？成绩的整体分布情况如探究点二：频数分布表操”“三球”“一跑”“二艺”活动的简称)艺目健美操频数(人数)1式中求出每组数据的频数和频率.探究点三：频数直方图和频数直方图(部分未完成)：组别(万人)组中值(万人)频数频率~0.30.3~~~0.33EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up2147483647(～),5)0.15.组别(万人)组中值(万人)频数频率~~~~6630.30.3 是读懂频数分布直方图和从统计图中获取信息的能力.三、板书设计性1＋＋1和时不要漏加数据.是()【类型三】已知一组数据的平均数，求新数探究点二：加权平均数【类型一】根据统计表提供的信息计算加权平均数0.51234这10名同学家庭一个月平均节约用水量是()术平均数实质上是各项权相等的加权平均数.【类型二】根据统计图提供的信息计算加权平均数学生的平均年龄是()统计图，才能做出正确的判断和解决问题.【类型三】以百分数的形式给出各数据的“权”绩为85分，那么小华的总成绩是()【类型四】以比的形式给出各数据的“权”小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分则小王的成绩是()学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩(百分制)如下甲甲乙一成绩看，应选派谁.式，计算甲、乙的平均数，然后根据计算结果比较两数据大小，结果乙甲乙答：综合各项成绩，应选派乙.三、板书设计际问题，体会数学与社会生活的密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心小明和小亮都认为自己的成绩比对方好，如果你是小明或者小【类型一】求中位数和众数14322则这个小组成员年龄的众数和中位数分别是()的数即可；中位数是排序后位于中间位置的数或∵一共有12名队员，∴其中位数应是第6和第7名同学的年龄的平候应该先排序，确定众数的时候一定要仔细观察.【类型二】在统计图中求中位数或众数下图是某俱乐部篮球队队员年龄结构条形图，根据图中信息，求该队队员年龄的众数和中位数.要找出最中间的一个数(或最中间的两个数的平均数)即可，本题是最条形最高的数据写出.212数叫这组数据的众数.探究点二：选择合适的数据代表(2)你认为用(1)中计算出的哪个数据来代水平更为适合？请简要说明理由.解析：本题用加权平均数公式计算平均数，统计表中统计了46元；对于第(2)问的答案不唯一，只要言之有理即可.³2＋6000³4＋4000³8＋3500³20＋3000³8择中位数代表该公司员工的月工资水平更合适.实际情况选择合适的数据代表.确、合理地使用这些特征数．在实际生活中针对同一份材料、同一组数据，当人们怀着不同的目的，选择不同的数据代表，并从不同的角同的实际需要，确定用平均数、中位数还是众数来反映数据的特征，让学生自我探索，并解决问题探究点：用样本平均数估