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规范解答五统计与概率典例(2024新高考Ⅱ,18,17分)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.切入点:阅读理解题意,明确比赛规则,转化为相互独立事件同时发生的概率问题.(2)假设0<p<q,(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,则该由谁参加第一阶段比赛?关键点:分别计算甲、乙参加第一阶段比赛成绩为15分的概率,作差比较大小.(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?关键点:分别计算甲、乙参加第一阶段比赛成绩的数学期望,作差比较大小.题意理解

序号解题入门破题环节1若3次都未投中,则该队被淘汰只有三次均未投中才淘汰2该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和第一阶段只决定是否淘汰,第二阶段才计算得分3甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次4使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分即第一阶段至少投中1次,且第二阶段3次都投中5使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大分类讨论,每类情况下先列出成绩的所有可能取值,并计算概率,再计算期望解

(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,不少于5分,所以第一阶段必须过关,且第二阶段至少投中1次

当类似题目中分类求解情况较多时,可以考虑其对立事件

(1-p)3表示甲参加第一阶段比赛被淘汰的概率,q3表示乙参加第二阶段比赛3次投中的概率作差比较,并进行因式分解,转化为若干个能判断正负的项的积

(ⅱ)若甲参加第一阶段比赛,比赛成绩X(单位:分)的所有可能的取值为0,5,10,15,3.第(2)问:(ⅰ)首先各自计算出P甲=[1-(1-p)3]q3,P乙=[1-(1-q)3]·p3,再作差因式分解即可判断;(ⅱ)首先得到X和Y的所有可能取值,再按步骤列出分布列,计算出各自期望,再次作差比

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